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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Mi 03.06.2009 | | Autor: | idonnow |
| Aufgabe | Geben Sie für jede der folgenden Folgen an, ob sie konvergent, divergent, oder uneigentlich
konvergent ist (mit Begründung). Geben Sie den Grenzwert an, falls die Folge konvergent ist.
(a) [mm] a_n=\bruch{-1}{n^2}^n
[/mm]
(b) [mm] b_n=n^4 [/mm]
(c) [mm] c_n=(-1)^nn^4 [/mm]
(d) [mm] d_n=\bruch{2n^3+n^2+1}{n^3+2n^2-1} [/mm]
(e) [mm] f_n= [/mm] 2- 2^-n
(f) [mm] g_n=3^n [/mm] (6^-n -3^-n+1) |
Hallo Ihr Lieben!
(a) divergent
(b) [mm] \to [/mm] uneigentlich konvergent gegen [mm] \infty
[/mm]
(c) [mm] \to [/mm] divergent
(d) [mm] \to [/mm] konvergent gegen 2 ???
(e) [mm] \to [/mm] konvergent gegen 2 ???
(f) [mm] \to [/mm] uneigentlich konvergent gegen - [mm] \infty
[/mm]
Für (a) Wie begründet man sowas?: Ich würde sagen, dass aufgrund des Nenners, die Folge von {-1}/ infinity bis {1}/infinity hin und her springt
Für (b) Wenn man für n Werte einsetzen würde, dann würde die Folge schrittweise bis Unendlich steigen.
Für (c) Die Werte der Folge springen zwischen negativen und positiven Werten hin und her.
Für (d) Wenn man den Grenzwert berechnet, erhält man 2. Die Folge konvergiert gegen 2.
Für (e) Wenn man Werte für n einsetzt, erhält man lediglich Werte unter 2. Diese kommen aber nie bei 2 an.
Für (f) Wenn man Werte für n einsetzt erhält man nur monoton fallend negative Werte bis Unendlich.
Sind die Ergebnisse richtig?
Wie kann man die obigen Sätze "mathematisch" ausdrücken?
Ich kann sowas nicht.
Vielen lieben Dank!
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Hallo idonnow,
> Geben Sie für jede der folgenden Folgen an, ob sie
> konvergent, divergent, oder uneigentlich
> konvergent ist (mit Begründung). Geben Sie den Grenzwert
> an, falls die Folge konvergent ist.
>
>
>
> (a) [mm]a_n=\bruch{-1}{n^2}^n[/mm]
>
> (b) [mm]b_n=n^4[/mm]
>
> (c) [mm]c_n=(-1)^nn^4[/mm]
>
> (d) [mm]d_n=\bruch{2n^3+n^2+1}{n^3+2n^2-1}[/mm]
>
> (e) [mm]f_n=[/mm] 2- 2^-n
>
>
> (f) [mm]g_n=3^n[/mm] (6^-n -3^-n+1)
> Hallo Ihr Lieben!
>
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> (a) divergent ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> (b) [mm]\to[/mm] uneigentlich konvergent gegen [mm]\infty[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (c) [mm]\to[/mm] divergent
> (d) [mm]\to[/mm] konvergent gegen 2 ???
> (e) [mm]\to[/mm] konvergent gegen 2 ???
> (f) [mm]\to[/mm] uneigentlich konvergent gegen - [mm]\infty[/mm] gegen [mm] $\red{+}\infty$
[/mm]
>
>
> Für (a) Wie begründet man sowas?: Ich würde sagen, dass
> aufgrund des Nenners, die Folge von {-1}/ infinity bis
> {1}/infinity hin und her springt
Der Zähler ist doch immer "nur" entweder +1 oder -1, was macht der Nenner?
Was passiert also insgesamt?
>
>
> Für (b) Wenn man für n Werte einsetzen würde, dann würde
> die Folge schrittweise bis Unendlich steigen.
Jo, die Folge ist nicht beschränkt, zeige das mal ...
Nimm dazu an, es gäbe eine obere Schranke [mm] $M\in\IR^+$ [/mm] und finde einen Widerspruch
>
>
> Für (c) Die Werte der Folge springen zwischen negativen
> und positiven Werten hin und her.
Hmm, ja, versuche mal, die Divergenz etwas mathematischer zu bergünden 
>
> Für (d) Wenn man den Grenzwert berechnet, erhält man 2. Die
> Folge konvergiert gegen 2.
Ja. Das folgt aus den Grenzwertsätzen
>
> Für (e) Wenn man Werte für n einsetzt, erhält man lediglich
> Werte unter 2. Diese kommen aber nie bei 2 an.
Das ist wieder ziemlich schwammig; was passiert denn mit den einzelnen Termen in [mm] $2-\frac{1}{2^n}$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$ [/mm] Was treibt der erste, was der zweite ...
>
>
> Für (f) Wenn man Werte für n einsetzt erhält man nur
> monoton fallend negative Werte bis Unendlich.
Hm, so wie es dasteht, lese ich die Folge [mm] $(g_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $g_n=3^n\cdot{}\left(\frac{1}{6^n}-\frac{1}{3^n}+1\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^n-1+3^n$
[/mm]
Was ergibt sich nun für [mm] $n\to\infty$?
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Mi 03.06.2009 | | Autor: | idonnow |
Hi!
a müsste dann wohl konvergent sein, da der Nenner bis ins infinity geht oder?
Konvergiert gegen 0?
lg
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Hallo nochmal,
> Hi!
> a müsste dann wohl konvergent sein, da der Nenner bis ins
> infinity geht oder?
> Konvergiert gegen 0? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Ganz genau!
Packe das mal in einen [mm] $\varepsilon$-Beweis, [/mm] um es formal schön zu beweisen ...
Das ist ne gute Übung
>
> lg
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Mi 03.06.2009 | | Autor: | idonnow |
Hi nochmal!
Wäre das hier ein [mm] \epsilon- [/mm] Beweis?:
konvergent gegen 0: |an-0| = | [mm] \bruch{1}{n} [/mm] | < [mm] \epsilon [/mm] für alle n [mm] \ge \IN [/mm] ( [mm] \epsilon) [/mm] wobei [mm] \IN (\epsilon) [/mm] = kleinste ganze Zahl > [mm] \bruch {1}{\epsilon} [/mm] ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Mi 03.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo idonnow!
Ja, das kann man so argumentieren.
Gruß
Loddar
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal,
so könnte man argumentieren, wenn man die Folge $\left(\frac{(\pm 1)^n}{n}\right)_{n\in\IN}$ gegeben hätte, du hast aber $\left(\frac{(-1)^n}{n^{\red{2}}\right)_{n\in\IN}$ gegeben, damit ergibt sich zwar analog aber doch ein anderes $N(\varepsilon)$
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal,
noch eine Anmerkung:
die Konvergenzen in a) und e) kannst du gut mit der [mm] $\varepsilon$-Definition [/mm] zeigen, die in d) - wie erwähnt - mit den Grenzwertsätzen.
LG
schachuzipus
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