Folgen und Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Fr 11.03.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | a) Für n [mm] \ge [/mm] 2 sei die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] gegeben durch [mm] a_{n} [/mm] = [mm] n^{3} [/mm] -2 [mm] -\wurzel{n^{6}-5n^{3}}.
[/mm]
Zeigen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
b) Es sei [mm] a_{n} [/mm] definiert wie in Teil a). Begründen Sie mit Hilfe des Ergebnisses aus Teil a), ob die Reihe [mm] \summe_{n=2}^{\infty}a_{n}
[/mm]
konvergiert oder divergiert.
c) Untersuchen Sie, ob folgende Reihe konvergiert oder divergiert:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3^{2n}}{(2n)!}
[/mm]
d) Zeigen Sie, dass die reelle Potenzreihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{n}}{n}
[/mm]
den Konvergenzradius R=1 besitzt und untersuchen Sie Ihr Konvergenzverhalten an den Randpunkten x mit |x| = R. |
a) Für n [mm] \ge [/mm] 2 sei die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] gegeben durch [mm] a_{n} [/mm] = [mm] n^{3} [/mm] -2 [mm] -\wurzel{n^{6}-5n^{3}}.
[/mm]
Zeigen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Komme mit dieser Aufgabe nicht zu Recht.
Habe in den Unterlagen nachgeschlagen, kann aber die Aufgabe trotzdem nicht lösen.
Wenn das -2 nicht da wäre, könnte ich erweitern, sodass im Zähler eine dritte Binomische Formel entsteht.
Was man noch machen könnte wäre durch die höhste Potenz zu teilen,
da komme ich aber nicht auf den Grenzwert [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sondern auf 1.
Bei dieser Aufgabe weis ich nicht, wie ich vorgehen soll.
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Hallo,
> a) Für n [mm]\ge[/mm] 2 sei die Folge [mm](a_{n})[/mm] gegeben durch [mm]a_{n}[/mm] =
> [mm]n^{3}[/mm] -2 [mm]-\wurzel{n^{6}-5n^{3}}.[/mm]
> Zeigen Sie [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> b) Es sei [mm]a_{n}[/mm] definiert wie in Teil a). Begründen Sie
> mit Hilfe des Ergebnisses aus Teil a), ob die Reihe
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}a_{n}[/mm]
> konvergiert oder divergiert.
>
> c) Untersuchen Sie, ob folgende Reihe konvergiert oder
> divergiert:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3^{2n}}{(2n)!}[/mm]
>
> d) Zeigen Sie, dass die reelle Potenzreihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{n}}{n}[/mm]
> den Konvergenzradius R=1 besitzt und untersuchen Sie Ihr
> Konvergenzverhalten an den Randpunkten x mit |x| = R.
> a) Für n [mm]\ge[/mm] 2 sei die Folge [mm](a_{n})[/mm] gegeben durch [mm]a_{n}[/mm]
> = [mm]n^{3}[/mm] -2 [mm]-\wurzel{n^{6}-5n^{3}}.[/mm]
> Zeigen Sie [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Komme mit dieser Aufgabe nicht zu Recht.
> Habe in den Unterlagen nachgeschlagen, kann aber die
> Aufgabe trotzdem nicht lösen.
>
> Wenn das -2 nicht da wäre, könnte ich erweitern, sodass
> im Zähler eine dritte Binomische Formel entsteht.
Gute Idee!
> Was man noch machen könnte wäre durch die höhste Potenz
> zu teilen,
> da komme ich aber nicht auf den Grenzwert [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> sondern auf 1.
Oh, dann ist wohl etwas schief gelaufen. Poste mal deinen Rechenweg; oder erweitere zu einem Bruch mit [mm] \left(n^{3}-2\right)+\wurzel{n^{6}-5n^{3}}
[/mm]
Das sollte Licht in die Situation bringen. 
>
> Bei dieser Aufgabe weis ich nicht, wie ich vorgehen soll.
>
>
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Fr 11.03.2011 | | Autor: | zoj |
ok, mit [mm] (n^{3}-2)+\wurzel{n^{6}-5n^{3}} [/mm] erweitert ergibt:
[mm] \bruch{ (n^{3}-2)-\wurzel{n^{6}-5n^{3}} * ( (n^{3}-2)+\wurzel{n^{6}-5n^{3} } )}{(n^{3}-2)+\wurzel{n^{6}-5n^{3}}}
[/mm]
Zähler ausmultiplizieren:
[mm] \bruch{ (n^{3}-2)^{2}-(n^{6}-5n^{3})}{(n^{3}-2)+\wurzel{n^{6}-5n^{3}}}
[/mm]
Weiter ausmultiplizieren und zusammenfassen:
[mm] \bruch{ n^{9} - n^{6} + n^{3} + 4 } {(n^{3}-2)+\wurzel{n^{6}-5n^{3}}}
[/mm]
Nun würde ich durch die höhste Potenz teilen:
[mm] \bruch{ 1 - \bruch{n^{6}}{n^{9}} + \bruch{n^{3}}{n^{9}} + \bruch{4}{n^{9}} } {(\bruch{n^{3}}{n^{9}}-\bruch{2}{n^{9}})+\wurzel{\bruch{n^{6}}{n^{11}} - 5 * \bruch{n^{3}}{n^{11}}}}
[/mm]
Dies ergibt:
[mm] \bruch{ 1 - 0 + 0 + 0 } {(0-0)+\wurzel{0-0}}
[/mm]
Irgendwas mache ich verkehrt.
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Huhu,
> Weiter ausmultiplizieren und zusammenfassen:
> [mm]\bruch{ n^{9} - n^{6} + n^{3} + 4 } {(n^{3}-2)+\wurzel{n^{6}-5n^{3}}}[/mm]
Wo kommt die [mm] n^9 [/mm] her? Die ist falsch da.
Machs nochmal und diesmal Potenzgesetze richtig anwenden 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Fr 11.03.2011 | | Autor: | zoj |
Nochmal:
Zähler ausmultiplizieren:
$ [mm] \bruch{ (n^{3}-2)^{2}-(n^{6}-5n^{3})}{(n^{3}-2)+\wurzel{n^{6}-5n^{3}}} [/mm] $
$ [mm] \bruch{ n^{3} + 4 } {(n^{3}-2)+\wurzel{n^{6}-5n^{3}}} [/mm] $
Jetzt durch die höhste Potenz teilen:
[mm] \bruch{ \bruch{n^{3}}{n^{3}} + \bruch{4}{n^{3}} } {(\bruch{n^{3}}{n^{3}}-\bruch{2}{n^{3}})+\wurzel{\bruch{n^{6}}{n^{6}}-\bruch{5n^{3}}{n^{6}}}} [/mm]
dies Ergibt:
[mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Ist es soweit richtig?
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Hallo zoj,
> Nochmal:
>
> Zähler ausmultiplizieren:
> [mm]\bruch{ (n^{3}-2)^{2}-(n^{6}-5n^{3})}{(n^{3}-2)+\wurzel{n^{6}-5n^{3}}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{ n^{3} + 4 } {(n^{3}-2)+\wurzel{n^{6}-5n^{3}}}[/mm]
>
> Jetzt durch die höhste Potenz teilen:
>
> [mm]\bruch{ \bruch{n^{3}}{n^{3}} + \bruch{4}{n^{3}} } {(\bruch{n^{3}}{n^{3}}-\bruch{2}{n^{3}})+\wurzel{\bruch{n^{6}}{n^{6}}-\bruch{5n^{3}}{n^{6}}}}[/mm]
>
> dies Ergibt:
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Ist es soweit richtig?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Fr 11.03.2011 | | Autor: | zoj |
Zu der Aufgabe b)
Es sei $ [mm] a_{n} [/mm] $ definiert wie in Teil a). Begründen Sie mit Hilfe des Ergebnisses aus Teil a), ob die Reihe $ [mm] \summe_{n=2}^{\infty}a_{n} [/mm] $
konvergiert oder divergiert.
Aus der Vorlesung weiß ich, dass die Reihe dann konvergent ist, wenn der Grenzwert der Folge [mm] a_{n} [/mm] = 0 ist.
In unserem Fall ist der Grenzwert der Folge [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und demnach ist die Reihe nicht konvergent. => Die Reihe ist divergent.
Zu c)
Untersuchen Sie, ob folgende Reihe konvergiert oder divergiert:
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3^{2n}}{(2n)!} [/mm] $
In diesem Fall würde ich das Quoientenkriterium anwenden.
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}
[/mm]
[mm] \bruch{3^{2n+1}(2n)!}{(2n+1)!3^{2n}}
[/mm]
Jetzt kürzen
[mm] \bruch{3(2n)!}{(2n+1)!}
[/mm]
Einer Fakultät ausgeklammert. (Geht das?)
[mm] \bruch{3(2n)!}{(2n)!(1)!}
[/mm]
[mm] =\bruch{3}{1} [/mm] > 1 => Die Reihe ist divergent
Stimmt das?
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Hi,
> Zu der Aufgabe b)
> Es sei [mm]a_{n}[/mm] definiert wie in Teil a). Begründen Sie mit
> Hilfe des Ergebnisses aus Teil a), ob die Reihe
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}a_{n}[/mm]
> konvergiert oder divergiert.
>
> Aus der Vorlesung weiß ich, dass die Reihe dann konvergent
> ist, wenn der Grenzwert der Folge [mm]a_{n}[/mm] = 0 ist.
Das ist notwendig, aber nicht hinreichend!
Die harmonische Reihe divergiert, aber 1/n ist eine Nullfolge.
>
> In unserem Fall ist der Grenzwert der Folge [mm]a_{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und demnach ist die Reihe nicht konvergent. =>
> Die Reihe ist divergent.
>
> Zu c)
> Untersuchen Sie, ob folgende Reihe konvergiert oder
> divergiert:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> In diesem Fall würde ich das Quoientenkriterium
> anwenden.
>
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{3^{2n+1}(2n)!}{(2n+1)!3^{2n}}[/mm]
Nein. Es muss heißen (ordentlich ausklammern)
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=\bruch{3^{2n\red{+2}}(2n)!}{(2n\red{+2})!3^{2n}}
[/mm]
>
> Jetzt kürzen
> [mm]\bruch{3(2n)!}{(2n+1)!}[/mm]
> Einer Fakultät ausgeklammert. (Geht das?)
> [mm]\bruch{3(2n)!}{(2n)!(1)!}[/mm]
Nein??? Überleg mal selbst:
Ist [mm] (2n+1)!=1\cdot(2n!) [/mm] ?
>
> [mm]=\bruch{3}{1}[/mm] > 1 => Die Reihe ist divergent
>
> Stimmt das?
Nein.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Fr 11.03.2011 | | Autor: | zoj |
Ich verstehe nicht ganz wieso anstatt der Eins eine Zwei eingesetzt wird.
$ [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=\bruch{3^{2n\red{+2}}(2n)!}{(2n\red{+2})!3^{2n}} [/mm] $
Ich habe eine Vermutung. Wenn ich für n eine 1 einsetze, bekomme ich:
[mm] \bruch{3^{2}}{(2)!} [/mm]
[mm] a_{n}=\bruch{3^{2n}}{(2n)!} [/mm] + [mm] \bruch{3^{2}}{(2)!} [/mm] = [mm] \bruch{3^{2n\red{+2}}}{(2n\red{+2})!} [/mm]
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=\bruch{3^{2n\red{+2}}(2n)!}{(2n\red{+2})!3^{2n}} [/mm] = [mm] \bruch{3^{2}(2n)!}{(2n{+2})!}
[/mm]
Jetzt weiss man:
(n+2)! = 1*2*3*...*(n-2)*n*(n+2)
= [mm] \bruch{3^{2}(2n)!}{(2n-2)*2n*(2n+2)}
[/mm]
Ist es soweit ok?
Muss mich mit der Fakultät auseinander setzen.
Komme hier irgendwie nicht weiter.
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Hallo zoj,
> Ich verstehe nicht ganz wieso anstatt der Eins eine Zwei
> eingesetzt wird.
>
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=\bruch{3^{2n\red{+2}}(2n)!}{(2n\red{+2})!3^{2n}}[/mm]
>
> Ich habe eine Vermutung. Wenn ich für n eine 1 einsetze,
> bekomme ich:
> [mm]\bruch{3^{2}}{(2)!}[/mm]
> [mm]a_{n}=\bruch{3^{2n}}{(2n)!}[/mm] + [mm]\bruch{3^{2}}{(2)!}[/mm] =
> [mm]\bruch{3^{2n\red{+2}}}{(2n\red{+2})!}[/mm]
>
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=\bruch{3^{2n\red{+2}}(2n)!}{(2n\red{+2})!3^{2n}}[/mm]
> = [mm]\bruch{3^{2}(2n)!}{(2n{+2})!}[/mm]
>
> Jetzt weiss man:
> (n+2)! = 1*2*3*...*(n-2)*n*(n+2)
Das muss doch so lauten:
[mm](n+2)! = 1*2*3*...*(n-\red{1})*n*(n+\red{1})*(n+2)=n!*\left(n+1\right)*\left(n+2\right)[/mm]
>
> = [mm]\bruch{3^{2}(2n)!}{(2n-2)*2n*(2n+2)}[/mm]
>
> Ist es soweit ok?
> Muss mich mit der Fakultät auseinander setzen.
> Komme hier irgendwie nicht weiter.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Di 15.03.2011 | | Autor: | zoj |
Dann wollen wir nochmal:
Ich muss prüfen, ob die Folge konvergiert oder divergiert.
Nun muss ich diesen Therm so umformen, dass es ersichtlich ist.
$ [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=\bruch{3^{2n{+2}}(2n)!}{(2n{+2})!3^{2n}} [/mm] $
Am Rande:
(2n{+2})! = 2n!(n+1)(n+2)
(Hoffentlich stimmt das.)
[mm] \bruch{3^{2n{+2}}(2n)!}{2n!(n+1)(n+2) 3^{2n}} [/mm]
kürzen
[mm] \bruch{3^{2}}{(n+1)(n+2)} [/mm]
Demnach die Folge für n [mm] \ge [/mm] 2 konvergent.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Di 15.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Dann wollen wir nochmal:
> Ich muss prüfen, ob die Folge konvergiert oder
> divergiert.
>
> Nun muss ich diesen Therm so umformen, dass es ersichtlich
> ist.
>
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=\bruch{3^{2n{+2}}(2n)!}{(2n{+2})!3^{2n}}[/mm]
>
> Am Rande:
> (2n{+2})! = 2n!(n+1)(n+2)
> (Hoffentlich stimmt das.)
Es stimmt nicht. (2n+2)!=(2n)!(2n+1)(2n+2)
>
> [mm]\bruch{3^{2n{+2}}(2n)!}{2n!(n+1)(n+2) 3^{2n}}[/mm]
Korrekt: [mm]\bruch{3^{2n{+2}}(2n)!}{(2n)!(2n+1)(2n+2) 3^{2n}}[/mm]
>
> kürzen
>
> [mm]\bruch{3^{2}}{(n+1)(n+2)}[/mm]
Korrekt: [mm]\bruch{3^{2}}{(2n+1)(2n+2)}[/mm]
>
> Demnach die Folge für n [mm]\ge[/mm] 2 konvergent.
??????????????????
Es folgt: [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Was bedeutet das für die Reihe [mm] \sum a_n [/mm] ??
FRED
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Di 15.03.2011 | | Autor: | zoj |
> > Demnach die Folge für n [mm]\ge[/mm] 2 konvergent.
>
> ??????????????????
>
> Es folgt: [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty.[/mm]
>
> Was bedeutet das für die Reihe [mm]\sum a_n[/mm] ??
>
> FRED
>
> >
>
Meine Aussage über die Konvergenz der Folge beruht aud diesen Satz.
Unter Quotientenkriterium habe ich bei Wikipedia folgendes gefunden:
"
[mm] \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \le [/mm] q<1,
so ist die Reihe absolut konvergent. "
Das ist doch bei uns der Fall.
Deswegen habe ich geschrieben "Demnach die Folge für n $ [mm] \ge [/mm] $ 2 konvergent".
Vielleich hätte ich schreiben sollen, dass die Folge konvergiert?
Upps! Ich meine die Reihe nicht die Folge!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:37 Di 15.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > Demnach die Folge für n [mm]\ge[/mm] 2 konvergent.
> >
> > ??????????????????
> >
> > Es folgt: [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty.[/mm]
>
> >
> > Was bedeutet das für die Reihe [mm]\sum a_n[/mm] ??
> >
> > FRED
> >
> > >
> >
> Meine Aussage über die Konvergenz der Folge beruht aud
> diesen Satz.
> Unter Quotientenkriterium habe ich bei Wikipedia folgendes
> gefunden:
> "
> [mm]\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \le[/mm] q<1,
> so ist die Reihe absolut konvergent. "
>
> Das ist doch bei uns der Fall.
> Deswegen habe ich geschrieben "Demnach die Folge für n
> [mm]\ge[/mm] 2 konvergent".
>
> Vielleich hätte ich schreiben sollen, dass die Folge
> konvergiert?
>
> Upps! Ich meine die Reihe nicht die Folge!
Eben !
FRED
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Mi 23.03.2011 | | Autor: | zoj |
d) Zeigen Sie, dass die reelle Potenzreihe
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{n}}{n} [/mm] $
den Konvergenzradius R=1 besitzt und untersuchen Sie Ihr Konvergenzverhalten an den Randpunkten x mit |x| = R.
Habe solche Aufgaben noch nicht gerechnet.
Bei Wikipedia steht folgendes:
Der Konvergenzradius lässt sich mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnen. Es gilt
[mm] r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}.
[/mm]
Wenn ab einem bestimmten Index alle an von 0 verschieden sind und der folgende Limes existiert, dann kann der Konvergenzradius einfacher durch
[mm] r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg|
[/mm]
berechnet werden.
Da alle an von 0 verschieden sind, habe ich die zweite Gleichung genommen.
[mm] r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg|
[/mm]
[mm] r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{(-1)^{n}\bruch{x^{n}}{n}}{(-1)^{n+1}\bruch{x^{n+1}}{n+1}} \bigg|
[/mm]
Ist es soweit richtig?
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Hallo zoj,
> d) Zeigen Sie, dass die reelle Potenzreihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{n}}{n}[/mm]
> den Konvergenzradius R=1 besitzt und untersuchen Sie Ihr
> Konvergenzverhalten an den Randpunkten x mit |x| = R.
>
> Habe solche Aufgaben noch nicht gerechnet.
>
> Bei Wikipedia steht folgendes:
> Der Konvergenzradius lässt sich mit der Formel von
> Cauchy-Hadamard berechnen. Es gilt
>
> [mm]r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}.[/mm]
>
> Wenn ab einem bestimmten Index alle an von 0 verschieden
> sind und der folgende Limes existiert, dann kann der
> Konvergenzradius einfacher durch
>
> [mm]r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg|[/mm]
>
> berechnet werden.
Na, ob das hier wirklich einfacher ist?
Du musst doch nur wissen, dass [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1[/mm] ist. Und das habt ihr sicher gezeigt ...
>
> Da alle an von 0 verschieden sind, habe ich die zweite
> Gleichung genommen.
>
> [mm]r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg|[/mm]
Ok, kannst du machen!
>
> [mm]r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{(-1)^{n}\bruch{x^{n}}{n}}{(-1)^{n+1}\bruch{x^{n+1}}{n+1}} \bigg|[/mm]
>
> Ist es soweit richtig? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Deine Potenzreihe lautet doch [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\cdot{}x^n[/mm], also [mm]a_n=\frac{(-1)^n}{n}[/mm]
In den Formeln zur Berechnung des Konvergenzradius von Potenzreihen hat die Variable (hier [mm]x[/mm]) nix verloren.
Diese Formeln werden aus dem Quotientenkriterium resp. Wurzelkriterium für "normale" Reihen hergeleitet.
Schaue dir die Herleitung mal an oder versuche sie selbst...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Mi 23.03.2011 | | Autor: | zoj |
>Deine Potenzreihe lautet doch $ [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\cdot{}x^n [/mm] $, also $ [mm] a_n=\frac{(-1)^n}{n} [/mm] $
Das heißt das x kann man weglassen.
Nach dem Qoutientenkriterium:
[mm] \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \le [/mm] q<1
[mm] \bruch{(-1)^{n+1}}{n+1} [/mm] * [mm] \bruch{n}{(-1)^{n}}
[/mm]
= [mm] \bruch{-n}{n+1} \le [/mm] 1 => Die Reihe ist absolut konvergent.
Aber wie bestimme ich den Konvergenzradius?
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Hallo zoj,
> >Deine Potenzreihe lautet doch
> [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\cdot{}x^n [/mm], also
> [mm]a_n=\frac{(-1)^n}{n}[/mm]
>
> Das heißt das x kann man weglassen.
>
> Nach dem Qoutientenkriterium:
> [mm]\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \le[/mm] q<1
>
> [mm]\bruch{(-1)^{n+1}}{n+1}[/mm] * [mm]\bruch{n}{(-1)^{n}}[/mm]
> = [mm]\bruch{-n}{n+1} \le[/mm] 1 => Die Reihe ist absolut
> konvergent.
Die Anwendung hilft hier nicht viel. Du musst den Grenzwert des Betrags des Quotienten betrachten und der ist hier 1. Es ist auch $ [mm] \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)=1$. [/mm] Also muss es anders gehen.
>
> Aber wie bestimme ich den Konvergenzradius?
Für |x|>1 musst du dir überlegen, dass die Folge divergent ist (z.B. allgemeines ![[]](/images/popup.gif) Quotientenkriterium).
Für |x|<1 folgt Konvergenz aus dem allgemeinen Quotientenkriterium.
Bleibt noch |x|=1
Gruß
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Hallo nochmal,
> >Deine Potenzreihe lautet doch
> [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\cdot{}x^n [/mm], also
> [mm]a_n=\frac{(-1)^n}{n}[/mm]
>
> Das heißt das x kann man weglassen.
>
> Nach dem Qoutientenkriterium:
> [mm]\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \le[/mm] q<1
Ich befürchte, du unterliegst einem Missverständnis:
Du kannst die Potenzreihe [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\cdot{}x^n[/mm] als "normale" Reihe [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] mit [mm]a_n=\frac{(-1)^n}{n}\cdot{}x^n[/mm] auffassen und das QK anwenden (oder WK):
[mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}\cdot{}x^{n+1}}{n+1}\cdot{}\frac{n\cdot{}x^n}{(-1)^n}\right|[/mm]
[mm]=|x|\cdot{}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=|x|\cdot{}1=|x|[/mm]
Und du hast gem. QK Konvergenz, falls das [mm]<1[/mm] ist, also für [mm]|x|<1[/mm] und Divergenz für [mm]|x|>1[/mm]
Fasst du die Reihe als Potenzreihe [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\cdot{}x^n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n\cdot{}x^n[/mm] mit [mm]b_n=\frac{(-1)^n}{n}[/mm] auf, so berechnet sich der Konvergenzradius durch [mm]\rho=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|}=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{b_n}{b_{n+1}}\right|[/mm] - so alles wohldefiniert ist (bzw. mit der Formel von Cauchy-Hadamard)
>
> [mm]\bruch{(-1)^{n+1}}{n+1}[/mm] * [mm]\bruch{n}{(-1)^{n}}[/mm]
> = [mm]\bruch{-n}{n+1} \le[/mm] 1 => Die Reihe ist absolut
> konvergent.
>
> Aber wie bestimme ich den Konvergenzradius?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Fr 25.03.2011 | | Autor: | zoj |
Danke für die Erklärung, so langsam verstehe ich es.
Was ich noch nicht nachvollziehen kann ist die Umformung:
Das verstehe ich
$ [mm] \lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}\cdot{}x^{n+1}}{n+1}\cdot{}\frac{n\cdot{}x^n}{(-1)^n}\right| [/mm] $
Wie kommt man auf |x| ?
$ [mm] =|x|\cdot{}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=|x|\cdot{}1=|x| [/mm] $
Bei mir sieht die Zeile so aus:
$ = [mm] \lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac{-n * x^{2n+1}}{n+1}\right|$
[/mm]
Wie macht man denn jetzt weiter, damit dann nur
$ [mm] =|x|\cdot{}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=|x|\cdot{}1=|x| [/mm] $
da steht?
Weiter:
$ [mm] \rho=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|}=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{b_n}{b_{n+1}}\right| [/mm] $
= [mm] \lim\limits_{n\to\infty}\left| \bruch{(-1)^{n}}{n}*\bruch{n+1}{(-1)^{n+1}} \right|
[/mm]
= [mm] \lim\limits_{n\to\infty}\left| -\bruch{n+1}{n}\right|
[/mm]
= [mm] \lim\limits_{n\to\infty}\left| -1\right|
[/mm]
= [mm] \lim\limits_{n\to\infty}=1
[/mm]
Somit wäre der Konvergenzradius gleich 1.
Stimmt das?
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Hallo zoj,
> Danke für die Erklärung, so langsam verstehe ich es.
>
> Was ich noch nicht nachvollziehen kann ist die Umformung:
>
> Das verstehe ich
>
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}\cdot{}x^{n+1}}{n+1}\cdot{}\frac{n\cdot{}x^n}{(-1)^n}\right|[/mm]
[mm]\blue{x^{n}}[/mm] muß doch im Nenner stehen:
[mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}\cdot{}x^{n+1}}{n+1}\cdot{}\frac{n}{(-1)^n*\blue{x^{n}}}\right|[/mm]
>
> Wie kommt man auf |x| ?
>
> [mm]=|x|\cdot{}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=|x|\cdot{}1=|x|[/mm]
>
> Bei mir sieht die Zeile so aus:
>
> [mm]= \lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac{-n * x^{2n+1}}{n+1}\right|[/mm]
>
> Wie macht man denn jetzt weiter, damit dann nur
>
> [mm]=|x|\cdot{}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=|x|\cdot{}1=|x|[/mm]
>
> da steht?
>
> Weiter:
>
> [mm]\rho=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|}=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{b_n}{b_{n+1}}\right|[/mm]
> = [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left| \bruch{(-1)^{n}}{n}*\bruch{n+1}{(-1)^{n+1}} \right|[/mm]
>
> = [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left| -\bruch{n+1}{n}\right|[/mm]
> =
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left| -1\right|[/mm]
> =
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}=1[/mm]
>
> Somit wäre der Konvergenzradius gleich 1.
> Stimmt das?
Ja.
Gruss
MathePower
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