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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Mi 01.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Beweisen Sie: Eine Folge [mm] (a_{n})_{n \varepsilon \IN} \varepsilon K^{\IN}konvergiert [/mm] genau dann, wenn die drei Teilfolgen
[mm] (a_{2k})_{k \varepsilon \IN } [/mm]
[mm] (a_{2k+1})_{k \varepsilon \IN} [/mm]
[mm] (a_{3k})_{k \varepsilon \IN}
[/mm]
konvergieren. |
Kann mir dabei jemand helfen?
Ich weiß, dass, wenn jede Teilfolge konvergiert, dann auch die eigentliche Folge. Aber das hilft mir hier ja nicht.
Danke im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie: Eine Folge [mm](a_{n})_{n \varepsilon \IN} \varepsilon K^{\IN}konvergiert[/mm]
> genau dann, wenn die drei Teilfolgen
> [mm](a_{2k})_{k \varepsilon \IN }[/mm]
> [mm](a_{2k+1})_{k \varepsilon \IN}[/mm]
> [mm](a_{3k})_{k \varepsilon \IN}[/mm]
> konvergieren.
> Kann mir dabei jemand helfen?
>
> Ich weiß, dass, wenn jede Teilfolge konvergiert, dann auch
> die eigentliche Folge. Aber das hilft mir hier ja nicht.
>
> Danke im voraus.
Sei a der Limes von [mm] (a_{2k}), [/mm] b der Limes von [mm] (a_{2k+1}) [/mm] und c der Limes von [mm] (a_{3k})
[/mm]
Die Teilfolge
[mm] (a_6, a_{12}, a_{18}, [/mm] ... ) ist Teilfolge von [mm] (a_{2k}) [/mm] und von [mm] (a_{3k}),
[/mm]
Damit ist a=b.
Die Teilfolge
[mm] (a_3, a_{9}, a_{15}, [/mm] ... ) ist Teilfolge von [mm] (a_{2k+1}) [/mm] und von [mm] (a_{3k}),
[/mm]
Damit ist b=c.
Fazit: a=b=c.
Hilft das weiter ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:46 Do 02.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Vom Prinzip hilft mir das schon, also verstehe, was du da machst, nur kann man doch jetzt trotzdem nicht sagen, ob die eigentliche Folge konvergiert? Das Einzige, was man jetzt doch sagen kann, ist, dass die drei Teilfolgen gegen denselben Grenzwert konvergieren. Oder irre ich mich da und man hat schon die Konvergenz der eigentlichen Folge bewiesen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Vom Prinzip hilft mir das schon, also verstehe, was du da
> machst, nur kann man doch jetzt trotzdem nicht sagen, ob
> die eigentliche Folge konvergiert? Das Einzige, was man
> jetzt doch sagen kann, ist, dass die drei Teilfolgen gegen
> denselben Grenzwert konvergieren. Oder irre ich mich da und
> man hat schon die Konvergenz der eigentlichen Folge
> bewiesen?
Natürlich nicht. Du sollst ja auch noch was tun !
Zeige: [mm] (a_n) [/mm] ist beschränkt und hat genau einen Häufungswert.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Do 02.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Sry, möchte nicht blöd rüberkommen (xD) aber ich hab da gar keine konkrete Folge gegeben? Wie soll man dann diese beiden Sachen zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sry, möchte nicht blöd rüberkommen (xD) aber ich hab da
> gar keine konkrete Folge gegeben? Wie soll man dann diese
> beiden Sachen zeigen?
Man glaubt es nicht .....
Die Teilfolgen $ [mm] (a_{2k})_{k \varepsilon \IN } [/mm] $ und $ [mm] (a_{2k+1})_{k \varepsilon \IN} [/mm] $ sind konvergent, also beschränkt
Kann dann [mm] (a_n) [/mm] unbeschränkt sein ??
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Do 02.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Und weil [mm] a_{n} [/mm] nun beschränkt ist, muss die Folge einen Grenzwert besitzen, und zwar den selben wie die Teilfolgen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Und weil [mm]a_{n}[/mm] nun beschränkt ist, muss die Folge einen
> Grenzwert besitzen, und zwar den selben wie die Teilfolgen?
Die Teilfolgen $ [mm] (a_{2k})_{k \varepsilon \IN } [/mm] $ und $ [mm] (a_{2k+1})_{k \varepsilon \IN} [/mm] $ haben den gemeinsamrn Grenzwert a.
Zeige damit:
zu jedem [mm] \varepsilon> [/mm] 0 gibt es ein N [mm] \in \ION [/mm] mit:
[mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für n>N
Oder (alternativ) zeige: die beschränkte Folge [mm] (a_n) [/mm] hat genau einen Häufungspunkt.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Do 02.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ne sry, das ist mir einfach zu hoch. Ich weiß doch garnicht, was [mm] a_{n} [/mm] genau ist. Deswegen komm ich auch nicht drauf. :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:10 Fr 03.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] \varepsilon>0.
[/mm]
1.Für "wieviele" k gilt: $ [mm] |a_{2k}-a| \ge \varepsilon [/mm] $ ?
Antwort: für höchstens endlich viele
2. Für "wieviele" k gilt: $ [mm] |a_{2k+1}-a| \ge \varepsilon [/mm] $ ?
Antwort: für höchstens endlich viele
Aus1. u. 2. folgt:
$ [mm] |a_{n}-a| \ge \varepsilon [/mm] $ für höchstens endlich viele n
Also gibt es ein N mit: $ [mm] |a_{n}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $ für n>N
FRED
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