Folgen von Funktionen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich wollte wissen, ob ich auf dem richtigen Weg bin:
fn(x)= (1 + [mm] \bruch{x}{n})^n [/mm] , x [mm] \in [/mm] D = [mm] \IR
[/mm]
so zunächst habe ich überprüft ob punktweise konvergenz vorliegt:
= ( 1 + x * [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm] --> wir wissen ja, dass [mm] \bruch{1}{n} [/mm] eine
Nullfolge ist, abgesehen von der Konstanten x , wird immer Null rauskommen.
d.h. es bleibt [mm] (1)^n [/mm] übrig, so , jetzt war unser Definitionsbereich [mm] \IR [/mm] müsste ich denn irgendwie so etwas wie eine Fallunterscheidung durchführen ??
Die Folge wäre ja alternierend -1,1,-1,1 ... oder habe ich ein Denkfehler??
Kann mir jmd helfen?
|
|
| |
|
Hallo Jessica,
> Hallo,
>
> ich wollte wissen, ob ich auf dem richtigen Weg bin:
>
> fn(x)= (1 + [mm]\bruch{x}{n})^n[/mm] , x [mm]\in[/mm] D = [mm]\IR[/mm]
>
> so zunächst habe ich überprüft ob punktweise konvergenz
> vorliegt:
>
> = ( 1 + x * [mm]\bruch{1}{n})^n[/mm] --> wir wissen ja, dass
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] eine
>
> Nullfolge ist, abgesehen von der Konstanten x , wird immer
> Null rauskommen.
Nein, das ist sehr falsch!
Für [mm]x=1[/mm] hast du die Folge [mm]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/mm].
Und die kennst du sicher und weißt, dass sie für [mm]n\to\infty[/mm] gegen [mm]e[/mm] konvergiert.
>
> d.h. es bleibt [mm](1)^n[/mm] übrig, so , jetzt war unser
> Definitionsbereich [mm]\IR[/mm] müsste ich denn irgendwie so etwas
> wie eine Fallunterscheidung durchführen ??
>
> Die Folge wäre ja alternierend -1,1,-1,1 ... oder habe ich
> ein Denkfehler??
Ja, das ist arg schlimm.
Für alle [mm]x\in\IR[/mm] konvergiert [mm]\left(1+\frac{x}{n}\right)^n[/mm] gegen [mm]e^x[/mm]
Das ist eine Möglichkeit, die Exponentialfunktion einzuführen.
> Kann mir jmd helfen?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Ahjajaj :S ...
stimmt das entspricht ja der Form ( 1 + [mm] \bruch{a}{n})^{bn} [/mm] = e^(ab)
also ist meine funktion punktweise konvergent gegen [mm] e^x [/mm] und den Definitionsbereich [mm] \IR [/mm] muss ich nicht weiter beachten, oder wie?
Jetzt müsste ich ja noch auf gleichmäßige Konvergenz überprüfen, dafür habe ich folgendes gemacht:
|f(x) - fn(X)| [mm] <\varepsilon
[/mm]
| [mm] e^x [/mm] - ( 1 + [mm] \bruch{x}{n})^{n}) [/mm] | [mm] <\varepsilon
[/mm]
| [mm] e^x [/mm] - [mm] e^x [/mm] | [mm] <\varepsilon
[/mm]
| 0 | [mm] <\varepsilon [/mm] ?? :S
das stimmt so bestimmt nicht, oder ? :S
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Sa 21.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, [mm] f_n(x) [/mm] konvergiert punktweise gegen [mm] f(x)=e^x.
[/mm]
Für die Gleichmäßigkeit müsstest du zeigen:
[mm] \forall \varepsilon>0: \exists n_0(\varepsilon)\in\IN: [/mm] Sodass für alle [mm] x\in\IR [/mm] und [mm] n>n_0(\varepsilon) [/mm] gilt:
[mm] ||f_n(x)-f(x)||=((1+\frac{x}{n})^n-e^x||<\varepsilon.
[/mm]
Aber setze mal x=n ein. Dann hast du immer [mm] ||(1+\frac{n}{n})^n-e^n||=||2^n-e^n|| [/mm] und das ist schon ab n=2 größer als 1. Daher kann das nicht gleichmäßig konvergent sein!
Und du hast bei deiner Variante den Fehler gemacht, [mm] (1+\frac{x}{n})^n=e^x [/mm] zu setzen, aber das stimmt ja nicht!
|
|
|
| |
|
Hmm, danke das habe ich zwar verstanden, aber wie gehe ich denn an folgende Aufgabe ran ? :/
sn (x) = [mm] x^n [/mm] * [mm] (1-x)^n [/mm] , x [mm] \in [/mm] D=[0,1]
Kann mir da jmd ein Tipp geben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Sa 21.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Teile das Intervall D mal so auf:
[mm] $D=\{0\}\cup [/mm] (0,1) [mm] \cup \{1\}$.
[/mm]
Was passiert nun auf den einzelnen Intervallen für [mm] $n\to\infty$?
[/mm]
Damit erhältst du deine Grenzfunktion f. (Ergebnis: [mm] $f\equiv [/mm] 0$)
Für die gleichmäßige Konvergenz bestimme z.B. die Supremumsnorm [mm] $||f_n-f||=||f_n||$ [/mm] (einfach ableiten und Maximum bestimmen). Die Maximumsnorm (unabhängig von x!) sollte dann gegen 0 streben für [mm] $n\to\infty$, [/mm] wenn [mm] f_n [/mm] gleichmäßig gegen f konvergiert. Wenn nicht, dann nicht.
|
|
|
| |
|
Ich habe das mal nach einem Video das ich bei Youtube gesehen habe, versucht zu lösen:
|0- [mm] (x^n* [/mm] (1-x)^(n))| = | [mm] (x^n* [/mm] (1-x)^(n) | [mm] \le [/mm] 0
auf die Null komme ich jetzt durch den Definitionsbereich da der betrag von x maximal 1 sein kann.
Somit liegt bei dieser Folge sowohl konvergente als auch gleichmäßige Konvergenz vor.
Wäre das so richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Sa 21.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Hmm das verstehe ich jetzt nicht. Also das Ergebnis stimmt, aber die Begründung leider nicht.
Zuerst mal musst du die punktweise Konvergenz zeigen, damit du zu deinem f kommst.
Für x=0 ist [mm] f_n=0, [/mm] also auch der Limes für [mm] $n\to\infty$. [/mm] Für x=1 das gleiche.
Und wenn 0<x<1 gilt, dann gehen sowohl [mm] x^n [/mm] als auch [mm] (1-x)^n [/mm] gegen 0. Somit kommst du auf f(x)=0.
Jetzt musst du prüfen, ob [mm] $||f_n-f||=||f_n||$ [/mm] gegen 0 geht, wobei [mm] ||f_n|| [/mm] der (betragsmäßig) größte Wert von [mm] f_n [/mm] auf [0,1] ist.
|
|
|
| |
|
Ich habe doch den betragsmäßig größten Wert genommen.
Ich versteh nicht was ich falsch gemacht haben soll :/
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:02 So 22.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Hm ja, [mm] f_n [/mm] nimm auf [0,1] für alle n höchstens den Wert 1 an, aber daraus kannst du nicht folgern, dass [mm] f_n [/mm] gleichmäßig gegen 0 konvergiert, weil 1 ja keine Nullfolge ist!
Du musst ein bisschen schärfer abschätzen.
Die Funktion [mm] f_n [/mm] nimmt ihr Maximum immer bei [mm] x=\frac{1}{2} [/mm] an für alle n (einfach ein Hochpunkt). Und das ist auch immer der betragsmäßig größte Wert auf [0,1]. Dann ist [mm] f_n(\frac{1}{2})=(\frac{1}{2})^n*(1-\frac{1}{2})^n=(\frac{1}{2})^{2n}=(\frac{1}{4})^n, [/mm] also [mm] $||f_n||=(\frac{1}{4})^n.
[/mm]
|
|
|
| |
|
:O wie kommst du jetzt auf die 1/2 ?? :S
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:19 So 22.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> :O wie kommst du jetzt auf die 1/2 ?? :S
Was hast Du schon in der Schule gemacht, wenn nach Hochpunkten, ... gefragt war ?
Richtig ! Ableitung =0 setzen
FRED
|
|
|
| |
|
Meine Ableitung lautet (gelöst mit der Produktregel) folgendermaßen:
-n*(2x-1)(-(x-1)x)^(n-1)=0
jedoch seh ich immer noch nicht wie man auf die 1/2 kommt :/
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 So 22.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, du hast [mm] n(x(1-x))^{n-1}*(1-2x)=0.
[/mm]
Wann kann denn ein Produkt aus ein paar Zahlen 0 werden?
Richtig, wenn mindestens ein Faktor 0 ist.
Jetzt kannst du mal alle durchgehen. n wird nicht 0. [mm] (x(1-x))^{n-1} [/mm] wird 0, wenn x=0 oder x=1 ist. Dann ist aber [mm] f_n(0)=f_n(1)=0, [/mm] also nicht wirklich das betragsmäßige Maximum, das du suchst. Nun kannst du noch 1-2x=0 lösen und du erhältst hier die [mm] x=\frac{1}{2}.
[/mm]
|
|
|
| |
|
okay das versteh ich zwar, aber du hattest doch folgendes gesagt:
Die Maximumsnorm (unabhängig von x!) sollte dann gegen 0 streben für [mm] n\to\infty [/mm] , wenn [mm] f_n [/mm] gleichmäßig gegen f konvergiert. Wenn nicht, dann nicht.
[mm] f_n=(1/4)^n [/mm] war ja das endergebnis
also ist diese Folge nur punktweise konvergent, aber nicht gleichmäßig oder wie? :S
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 So 22.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Okay, also für die Maximumsnorm gilt:
[mm] $||f_n-f||=||f_n-0||=||f_n||=(\frac{1}{4})^n$.
[/mm]
Nun gibt es einen Satz (steht bestimmt auch irgendwo bei dir), der sagt:
[mm] f_n [/mm] konvergiert genau dann gleichmäßig gegen f, wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}||f_n-f||=0.
[/mm]
In deinem Fall gilt ja [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}||f_n-f||= \limes_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{4})^n=0, [/mm] also konvergiert [mm] f_n [/mm] gleichmäßig gegen f.
|
|
|
|
