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| Aufgabe | | Sei X ein topologischer Raum, welcher das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Dann ist Y $ [mm] \subset [/mm] $ X genau dann kompakt, wenn für jede Folge $ [mm] x_j [/mm] $ mit $ [mm] x_j \in [/mm] $ Y eine Teilfolge $ [mm] x_{j_k} [/mm] $ existiert , welche gegen $ [mm] y_0 \in [/mm] $ Y konvergiert. |
=>
Angenommen es gibt eine Folge $ [mm] x_j [/mm] $ in Y, welche keine konvegente Teilfolge enthält. Dann kann sich diese Folge an keinen Punkt voun Y häufen, das heisst , es gibt für jedes y $ [mm] \in [/mm] $ Y eine offene Menge $ [mm] U_y [/mm] $ , welche nur endlich viele Punkt aus $ [mm] {x_j} [/mm] $ enthält. Da $ [mm] U_y [/mm] $ eine eindliche Teilübdereckung hat, ist die Wertemenge von $ [mm] x_j [/mm] $ endlich, was ein Widerspruch ist.
Ich verstehe den Beweis des Professors nicht!
Wo ist da der widerspruch und warum?
Liebe Grüße
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Hallo,
> Sei X ein topologischer Raum, welcher das zweite
> Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Dann ist Y [mm]\subset[/mm] X genau
> dann kompakt, wenn für jede Folge [mm]x_j[/mm] mit [mm]x_j \in[/mm] Y eine
> Teilfolge [mm]x_{j_k}[/mm] existiert , welche gegen [mm]y_0 \in[/mm] Y
> konvergiert.
> =>
> Angenommen es gibt eine Folge [mm]x_j[/mm] in Y, welche keine
> konvegente Teilfolge enthält. Dann kann sich diese Folge
> an keinen Punkt voun Y häufen, das heisst , es gibt für
> jedes y [mm]\in[/mm] Y eine offene Menge [mm]U_y[/mm] , welche nur endlich
> viele Punkt aus [mm]{x_j}[/mm] enthält.
Ist der Beweis bis hierher klar?
> Da [mm]U_y[/mm] eine eindliche
> Teilübdereckung hat, ist die Wertemenge von [mm]x_j[/mm] endlich,
> was ein Widerspruch ist.
>
> Ich verstehe den Beweis des Professors nicht!
> Wo ist da der widerspruch und warum?
Dazu betrachtet man die Überdeckung [mm] $(U_y)_{y\in Y}$ [/mm] von $Y$. Man hat durch die vorherige Argumentation, dass jedes [mm] $U_y$ [/mm] nur endlich viele Folgenglieder von [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] enthält.
Weil $Y$ kompakt ist, findet man endlich viele [mm] $y_{1},...,y_{m}$ [/mm] mit $Y = [mm] \bigcup_{i=1}^{n}U_{y_i}$. [/mm]
Eine Folge hat per Definition unendlich viele Folgenglieder (deswegen schreibt man ja [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$) [/mm] und liegt in $Y$. Das heißt, [mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN: x_n \in [/mm] Y = [mm] \bigcup_{i=1}^{n}U_{y_i}$.
[/mm]
Das ist ein Widerspruch dazu, dass jedes [mm] $U_{y_i}$ [/mm] nur endlich viele [mm] $x_n$ [/mm] enthält.
Viele Grüße,
Stefan
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Vielen Vielen dank !
Darf ich fragen in welchen Semester du bist? Da du alle Beweise im Kopf hast und immer Rat weißt;)
LG
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Hallo,
> Vielen Vielen dank !
> Darf ich fragen in welchen Semester du bist? Da du alle
> Beweise im Kopf hast und immer Rat weißt;)
Bin gerade noch im 7. Semester (Mathe).
Die Beweise habe ich aber nicht im Kopf 
Wenn du oft genug Beweise führst, kennst du nach einer Weile das grundlegende Vorgehen. Und die wichtigste Regel ist: Sich immer erstmal hinschreiben, was man gegeben hat, was man beweisen möchte.
Viele Grüße,
Stefan
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Wow 7 Semester toll!Gratuliere für das Durchhaltevermögen.
Die andere Richtung verstehe ich bis auf 1 Sache.
<= Erfülle Y die bedingung des Lemmas.
Sei [mm] U_\alpha [/mm] , [mm] \alpha \in [/mm] A eine offene Überdeckung von Y. Das Y 2 Abz.axiom erfüllt -> A= [mm] \IN.
[/mm]
Ang [mm] U_\alpha [/mm] hat keine endliche Teilüberdeckung, konstruiere Folge [mm] x_j [/mm] mit [mm] x_j \in Y/\bigcup_{k=1}^{j} U_k.
[/mm]
Sei [mm] y_0 \iNY [/mm] Grenzwert einer Teilfolge dieser Folge [mm] x_j.
[/mm]
-> [mm] \exists k_o [/mm] mit [mm] y_0 \in U_{k_0} [/mm] , -> [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] x_j__k \in U_{k_0} \forall [/mm] k [mm] \ge [/mm] N
Widerspruch zur definition von [mm] x_j
[/mm]
Frage:
Ich verstehe die Tatsache nicht :
Das Y 2 Abz.axiom erfüllt -> A [mm] =\IN.
[/mm]
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Hallo,
> Wow 7 Semester toll!Gratuliere für das
> Durchhaltevermögen.
Naja  Hab noch ein paar vor mir...
Welches Semester bist du denn?
> Die andere Richtung verstehe ich bis auf 1 Sache.
>
> <= Erfülle Y die bedingung des Lemmas.
> Sei [mm]U_\alpha[/mm] , [mm]\alpha \in[/mm] A eine offene Überdeckung von
> Y. Das Y 2 Abz.axiom erfüllt -> A= [mm]\IN.[/mm]
> Ang [mm]U_\alpha[/mm] hat keine endliche Teilüberdeckung,
> konstruiere Folge [mm]x_j[/mm] mit [mm]x_j \in Y/\bigcup_{k=1}^{j} U_k.[/mm]
>
> Sei [mm]y_0 \iNY[/mm] Grenzwert einer Teilfolge dieser Folge [mm]x_j.[/mm]
> -> [mm]\exists k_o[/mm] mit [mm]y_0 \in U_{k_0}[/mm] , -> [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN[/mm]
> mit [mm]x_j__k \in U_{k_0} \forall[/mm] k [mm]\ge[/mm] N
> Widerspruch zur definition von [mm]x_j[/mm]
> Ich verstehe die Tatsache nicht :
> Das Y 2 Abz.axiom erfüllt -> A [mm]=\IN.[/mm]
Das ist auch nicht klar.
Der Prof. meint hiermit "Ohne Beschränkung der Allgemeinheit".
Prinzipiell kann man am Anfang ja auch überabzählbar viele [mm] $U_{\alpha}$ [/mm] ausgewählt haben.
Die Idee ist, das jedes [mm] $U_{\alpha}$ [/mm] als Vereinigung von Elementen aus der abzählbaren Basis geschrieben werden kann.
Daher kann man die Überdeckung [mm] $(U_{\alpha})_{\alpha \in A}$ [/mm] reduzieren zu einer Überdeckung [mm] $(V_{\alpha})_{\alpha \in \IN}$, [/mm] die trotzdem noch ganz $Y$ überdeckt. Dies geschieht so:
Die Basis ist abzählbar, wir können sie schreiben als $B = [mm] (B_{n})_{n\in\IN}$. [/mm] Zu jedem $n [mm] \in \IN$ [/mm] wählen wir ein [mm] $\alpha_n \in [/mm] A$ mit [mm] $B_n \subset U_{\alpha}$. [/mm] Eventuell gibt es solch ein [mm] $\alpha_n$ [/mm] nicht (das ist für den weiteren Beweis nicht von Belang)
Der Vorschlag ist, dass [mm] $(U_{\alpha_n})_{n\in\IN}$ [/mm] weiterhin eine offene Überdeckung von $Y$ ist.
Beweis:
Jedes $y [mm] \in [/mm] Y = [mm] \bigcup_{\alpha \in A}U_{\alpha}$ [/mm] befindet sich in einem [mm] $U_{\alpha}$. $U_{\alpha}$ [/mm] lässt sich als Vereinigung von Elementen der Basis $B$ schreiben. Daher gibt es ein $n [mm] \in \IN [/mm] $ mit $y [mm] \in B_n$. [/mm] Entsprechend ist dann $y [mm] \in U_{\alpha_n}$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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