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Folgenkonvergenz, n angeben: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:17 Sa 24.11.2012
Autor: Frosch20

Aufgabe
Sei [mm] an:=n^k*a^n. [/mm]

Geben Sie für k=69 und [mm] a=\bruch{1}{3} [/mm] ein [mm] N\in\IN [/mm] an, sodass [mm] |an|<10^{-6} [/mm]

Also es ist ein  [mm] N\in\IN [/mm] gesucht, sodass:

[mm] |n^{69}*\bruch{1}{3}^n|<10^{-6} [/mm]

<=> [mm] n^{69}*\bruch{1}{3}^n<10^{-6} [/mm]

[mm] \le n^{69}*\bruch{1}{3}<10^{-6} [/mm]

<=> [mm] n^{69}<\bruch{3}{10^6} [/mm]

<=> n < [mm] 69\wurzel{\bruch{3}{10^6}} [/mm]

Also würde die Ungleichung für dieses n gelten.

Das sieht mir aber doch etwas willkürlich aus.
Darf ich hier überhaupt abschätzen ?

mfg. lé Frog :)

        
Bezug
Folgenkonvergenz, n angeben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:50 Sa 24.11.2012
Autor: Fulla

Hallo Frosch,

> Sei [mm]a_n:=n^k*a^n.[/mm]
>  
> Geben Sie für k=69 und [mm]a=\bruch{1}{3}[/mm] ein [mm]N\in\IN[/mm] an,
> sodass [mm]|a_n|<10^{-6}[/mm]
>  Also es ist ein  [mm]N\in\IN[/mm] gesucht, sodass:
>  
> [mm]|n^{69}*\bruch{1}{3}^n|<10^{-6}[/mm]
>  
> <=> [mm]n^{69}*\bruch{1}{3}^n<10^{-6}[/mm]
>  
> [mm]\le n^{69}*\bruch{1}{3}<10^{-6}[/mm]
>  
> <=> [mm]n^{69}<\bruch{3}{10^6}[/mm]
>  
> <=> n < [mm]69\wurzel{\bruch{3}{10^6}}[/mm]
>  
> Also würde die Ungleichung für dieses n gelten.
>  
> Das sieht mir aber doch etwas willkürlich aus.
>  Darf ich hier überhaupt abschätzen ?

so geht das nicht. Das hieße ja [mm]n<0,83...[/mm] und so eine natürliche Zahl gibt es nicht.

Einen "hübschen" Lösungsweg habe ich zwar auch nicht, aber einen Vorschlag.
Es gilt ja ein [mm]n\in\mathbb N[/mm] zu finden, so dass [mm]\frac{n^{69}}{3^n}<10^{-6}[/mm] bzw. [mm]10^6\cdot n^{69}<3^n[/mm].
Zunächst: So ein n gibt es, da die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Potenzfunktion.

Ich würde aus der Ungleichung erstmal eine Gleichung machen, vielleicht ein bisschen umformen und dann z.B. das Newton-Verfahren anwenden.

Es ist
[mm]10^6* n^{69}=3^n=e^{n*\ln(n)}[/mm] [mm]\Leftrightarrow\ 6*\ln(10)+69*\ln(n)=n*\ln(3)[/mm]

Jetzt wende das Newton-Verfahren auf [mm]f(n):=n*\ln(3)-69*\ln(n)-6*\ln(10)[/mm] an, um die Nullstelle zu finden.
Das habe ich zwar nicht durchgerechnet, aber durch Probieren habe ich als kleinstes n 387 gefunden.

Vielleicht hat ja noch jemand anderes eine "elegantere" Lösung...


Lieben Gruß,
Fulla



Bezug
                
Bezug
Folgenkonvergenz, n angeben: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:24 Sa 24.11.2012
Autor: Frosch20


> so geht das nicht. Das hieße ja [mm]n<0,83...[/mm] und so eine
> natürliche Zahl gibt es nicht.

Genau das habe ich mir gedacht. Vielleicht war die Abschätzung etwas zu grob, wenn abschätzen überhaupt erkaubt ist.

>  
> Einen "hübschen" Lösungsweg habe ich zwar auch nicht,
> aber einen Vorschlag.
>  Es gilt ja ein [mm]n\in\mathbb N[/mm] zu finden, so dass
> [mm]\frac{n^{69}}{3^n}<10^{-6}[/mm] bzw. [mm]10^6\cdot n^{69}<3^n[/mm].
>  
> Zunächst: So ein n gibt es, da die Exponentialfunktion
> schneller wächst als jede Potenzfunktion.
>  
> Ich würde aus der Ungleichung erstmal eine Gleichung
> machen, vielleicht ein bisschen umformen und dann z.B. das
> Newton-Verfahren anwenden.
>  
> Es ist
>  [mm]10^6* n^{69}=3^n=e^{n*\ln(n)}[/mm] [mm]\Leftrightarrow\ 6*\ln(10)+69*\ln(n)=n*\ln(3)[/mm]
>  
> Jetzt wende das Newton-Verfahren auf
> [mm]f(n):=n*\ln(3)-69*\ln(n)-6*\ln(10)[/mm] an, um die Nullstelle zu
> finden.
>  Das habe ich zwar nicht durchgerechnet, aber durch
> Probieren habe ich als kleinstes n 387 gefunden.
>  
> Vielleicht hat ja noch jemand anderes eine "elegantere"
> Lösung...
>  
>
> Lieben Gruß,
>  Fulla
>  
>  

Vielen dank, allerdings kenne ich das Newton-Verfahren garnicht. Ich bin mir auch unsicher ob wir diesen Weg überhaupt verwenden dürfen. Immerhin haben wir in der Vorlesung noch keine e-funktionen oder sonstiges definiert. Wir sind also grademal bei Folgen.

Aber einen anderen Weg, als über die e-funktion oder sonstiges würde mir auch nicht einfallen.

LG. Frosch

Bezug
        
Bezug
Folgenkonvergenz, n angeben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:40 So 25.11.2012
Autor: Helbig


> Sei [mm]an:=n^k*a^n.[/mm]
>  
> Geben Sie für k=69 und [mm]a=\bruch{1}{3}[/mm] ein [mm]N\in\IN[/mm] an,
> sodass [mm]|an|<10^{-6}[/mm]
>  Also es ist ein  [mm]N\in\IN[/mm] gesucht, sodass:
>  
> [mm]|n^{69}*\bruch{1}{3}^n|<10^{-6}[/mm]
>  
> <=> [mm]n^{69}*\bruch{1}{3}^n<10^{-6}[/mm]
>  
> [mm]\le n^{69}*\bruch{1}{3}<10^{-6}[/mm]

Hier hast Du Blödsinn gemacht.

Bestimme durch Probieren mit dem Taschenrechner ein $n$, so daß
     [mm] $n^{63}< 10^{-6}*3^n\,.$ [/mm]

Grüße
Wolfgang


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