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Forum "Stetigkeit" - Folgenkriterium für Stetigkeit
Folgenkriterium für Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Folgenkriterium für Stetigkeit: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:55 Mi 20.04.2016
Autor: Ulquiorra

Aufgabe
Man untersuche folgende Funktionen auf Stetigkeit and der Stelle [mm] x_{0}! [/mm]
f(x) = [mm] x^{2} [/mm] * [mm] e^{x}; x_{0} [/mm] = 1



Hallo,
ich wollte nur mal fragen, ob ich das mit dem Folgekriterium richtig verstanden habe.

Also zur Aufgabe:
[mm] f(x_{0}) [/mm] = e
nun muss ich zeigen, dass [mm] f(x)=\limes_{x\rightarrow x_{0}} x^{2} [/mm] * [mm] e^{x} [/mm] bzw.  [mm] f(x)=\limes_{x\rightarrow 1} x^{2} [/mm] * [mm] e^{x} [/mm] auch gegen [mm] f(x_{0})=e [/mm] geht.

Und jetzt? Also es stimmt schon, denke ich mal.
Schreibe ich dann einfach:  
[mm] f(x)=\limes_{x\rightarrow 1} x^{2} [/mm] * [mm] e^{x} [/mm] = e
und habe es damit "bewiesen".

Mit freundlichen Grüßen,
Ulq

        
Bezug
Folgenkriterium für Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:42 Do 21.04.2016
Autor: HJKweseleit

Das Folgekriterium sähe so aus:

Bilde eine allgemeine Folge [mm] x_n, [/mm] die gegen 1 konvergiert, und zeige, dass [mm] f(x_n) [/mm] gegen e konvergiert. Dazu nimmst du als Folge [mm] x_n=1+k_n, [/mm] wobei [mm] k_n [/mm] eine beliebige Nullfolge ist. Dann ist

[mm] f(x_n)=(1+k_n)^2*e^{1+k_n}=(1+2k_n+k_n^2)*e^1*e^{k_n}=*e*e^{k_n}+2k_n*e*e^{k_n}+k_n^2*e*e^{k_n}. [/mm]

Nun musst du zeigen, dass [mm] \limes_{k_n\rightarrow 0} [/mm] den Wert e ergibt. Da [mm] e^x [/mm] stetig ist, ist [mm] \limes_{k_n\rightarrow 0}e^{k_n}=e^0=1 [/mm] ...

Rest kriegst du sicher alleine hin.

Wenn du allerdings nicht benutzen darfst, dass [mm] e^x [/mm] stetig ist, geht es nur mit dem [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium. [/mm]


Bezug
                
Bezug
Folgenkriterium für Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:15 Fr 22.04.2016
Autor: Ulquiorra

Hallo,
also könnte ich z.B. schreiben: [mm] k_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm]
[mm] f(x_n)=\limes_{n\rightarrow\infty} (1+k_n)^2*e^{1+k_n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 1^{2}*e^{1}*e^{k_{n}} [/mm] = 1 * e * 1 = e
?

Und muss ich das beidseitig überprüfen? Also wenn ich mich richtig erinnere nannte man es rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert. Oder reicht es von einer "Seite" aus?
Bei diesem Beispiel wäre es ja ein rechtsseitiger Grenzwert. Müsste ich das gleiche jetzt von links machen mit [mm] x_{n} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und zeigen, dass sowohl von links als auch von rechts der Grenzwert dem Funktionswert [mm] f(x_{0})=e [/mm] gleicht.

Mit freundlichen Grüßen

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Bezug
Folgenkriterium für Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:37 Fr 22.04.2016
Autor: fred97

Wir wederholen das Folgenkriterium:

Se D eine nichtleere Teilmenge von [mm] \IR, [/mm] $f:D [mm] \to \IR$ [/mm] eine Funktion und [mm] x_0 \in [/mm] D.

f ist in [mm] x_0 [/mm] stetig

  [mm] \gdw [/mm]

für jede(!!!!!!) Folge [mm] (x_n) [/mm] in D mit [mm] x_n \to x_0 [/mm] gilt [mm] f(x_n) \to f(x_0). [/mm]



Siehst Du die 6 Ausrufezeichen ?  Da steht "jede" und "jede" ist auch gemeint.

Für den Nachweis der Stetigkeit in [mm] x_0 [/mm] reicht es alao nicht , sich nur von einer Seite an das [mm] x_0 [/mm] anzunähern, wenn es beidseitig möglich ist.


Ebenso reicht es nicht spezielle Folgen, wie bei Dir $ [mm] x_{n} [/mm]  = 1 -  [mm] \bruch{1}{n} [/mm] $ und  $ [mm] x_{n} [/mm]  = 1 +  [mm] \bruch{1}{n} [/mm] $, zu betrachten.

fred

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Folgenkriterium für Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:23 Sa 23.04.2016
Autor: Ulquiorra


> Siehst Du die 6 Ausrufezeichen ?  Da steht "jede" und
> "jede" ist auch gemeint.

Es stört mich zwar nicht wirklich, aber andere vielleicht. (Milder) Sarkasmus kommt schnell passiv-aggressiv und verhöhnend rüber. Nicht, dass du unsichere Neulinge hier noch mehr verunsicherst.

> Für den Nachweis der Stetigkeit in [mm]x_0[/mm] reicht es alao
> nicht , sich nur von einer Seite an das [mm]x_0[/mm] anzunähern,
> wenn es beidseitig möglich ist.
>  
>
> Ebenso reicht es nicht spezielle Folgen, wie bei Dir [mm]x_{n} = 1 - \bruch{1}{n}[/mm]
> und  [mm]x_{n} = 1 + \bruch{1}{n} [/mm], zu betrachten.

Danke, müsste ich dann einfach, dass [mm] \bruch{1}{n} [/mm] weglassen und einfach schreiben [mm] x_n [/mm] = 1 + [mm] k_n [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n [/mm] = 1 bzw [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}k_n [/mm] = 0 und dann weiter:
[mm] f(x_n)=\limes_{k_n\rightarrow 0} (1+k_n)^2*e^{1+k_n} [/mm] =  [mm] (1+0)^{2}*e^{1}*e^{0} [/mm] = 1 * e * 1 = e = [mm] f(x_{0}) [/mm]

und wie genau mach ich das jetzt nochmal auf der anderen Seite? Kann ich dann hier, wenn ich die Zuordnung einer bestimmten Folge für [mm] k_n [/mm] weglasse, einfach das Vorzeichen von [mm] k_n [/mm] ändern? Also [mm] x_n [/mm] = 1 - [mm] k_n [/mm] und dann das selbe Prozedere wie oben durchgehen?

Mit freundlichen Grüßen

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Bezug
Folgenkriterium für Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:32 Sa 23.04.2016
Autor: HJKweseleit


> > Siehst Du die 6 Ausrufezeichen ?  Da steht "jede" und
> > "jede" ist auch gemeint.
>  
> Es stört mich zwar nicht wirklich, aber andere vielleicht.
> (Milder) Sarkasmus kommt schnell passiv-aggressiv und
> verhöhnend rüber. Nicht, dass du unsichere Neulinge hier
> noch mehr verunsicherst.
>  
> > Für den Nachweis der Stetigkeit in [mm]x_0[/mm] reicht es alao
> > nicht , sich nur von einer Seite an das [mm]x_0[/mm] anzunähern,
> > wenn es beidseitig möglich ist.
>  >  
> >
> > Ebenso reicht es nicht spezielle Folgen, wie bei Dir [mm]x_{n} = 1 - \bruch{1}{n}[/mm]
> > und  [mm]x_{n} = 1 + \bruch{1}{n} [/mm], zu betrachten.
>  
> Danke, müsste ich dann einfach, dass [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> weglassen und einfach schreiben [mm]x_n[/mm] = 1 + [mm]k_n[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n[/mm] = 1 bzw
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}k_n[/mm] = 0

und dann weiter:

>  [mm]f(x_n)=\limes_{k_n\rightarrow 0} (1+k_n)^2*e^{1+k_n}[/mm] =  
> [mm](1+0)^{2}*e^{1}*e^{0}[/mm] = 1 * e * 1 = e = [mm]f(x_{0})[/mm]


Ja, du solltest es vielleicht noch mit den Grenzwertsätzen für Summen und Produkte begründen.

>  
> und wie genau mach ich das jetzt nochmal auf der anderen
> Seite?

Es gibt keine andere Seite: [mm] k_n [/mm] kann positiv, negativ oder alternierend sein, wichtig ist nur, dass es eine Nullfolge ist. Du hast also schon alles gezeigt.

Bei [mm] x_n=1+1/n [/mm] hättest du natürlich einen einseitigen Grenzwert und müsstest das nochmal mit  [mm] x_n=1-1/n [/mm] zeigen, aber das wäre nicht nur aufwändiger, sondern auch unvollständig, da es für alle Folgen gelten muss.



Kann ich dann hier, wenn ich die Zuordnung einer

> bestimmten Folge für [mm]k_n[/mm] weglasse, einfach das Vorzeichen
> von [mm]k_n[/mm] ändern? Also [mm]x_n[/mm] = 1 - [mm]k_n[/mm] und dann das selbe
> Prozedere wie oben durchgehen?
>  
> Mit freundlichen Grüßen


Bezug
                                                
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Folgenkriterium für Stetigkeit: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:38 Mo 25.04.2016
Autor: Ulquiorra


> Ja, du solltest es vielleicht noch mit den Grenzwertsätzen
> für Summen und Produkte begründen.

Achso, deshalb hattest du auch die binomische Formel angewandt und ausmultipliziert. Und ich dachte mir am Anfang nur: "Jetzt siehts doch nur noch komplizierter aus."
Jetzt müsste ich es geschafft haben dann:

[mm] f(x_n)=\limes_{k_n\rightarrow 0}(1+k_n)^2*e^{1+k_n}=\limes_{k_n\rightarrow 0}(1+2k_n+k_n^2)*e^1*e^{k_n}=\limes_{k_n\rightarrow 0} e*e^{k_n}+\limes_{k_n\rightarrow 0} 2k_n*e*e^{k_n}+\limes_{k_n\rightarrow 0} k_n^2*e*e^{k_n} [/mm] = e [mm] =f(x_0) [/mm]

So.Hab ich das nun richtig auf Stetigkeit überprüft?

Wäre es denn "schlimm"/ungenau/unvollständig, wenn ich es nicht ausmultipliziert hätte und gleich für [mm] k_n [/mm] = 0 eingesetzt hätte? Denn in den nächsten Aufgaben sind die Terme komplizierter und die Potenzen sind höherer Ordnung. Also sowas wie [mm] (2+k_n)^4 [/mm] oder ähnliches auszumultiplizieren, wäre doch reine Qual, auch wenn man da dieses Pascal'sche Dreieck anwenden könnte.

Danke fred,Danke HJK

Mit freundlichen Grüßen

Bezug
                                                        
Bezug
Folgenkriterium für Stetigkeit: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Mi 27.04.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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