Folgenraum l^2 und Teilraum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich soll zeigen, dass
$ [mm] W=\{ (a_1,a_2,...)\in l^2 (\IR) | \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i}a_i=0\}$
[/mm]
ein abgeschlossener linearer Teilraum von $ [mm] l^2(\IR)$ [/mm] ist.
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Also, ich wollte so vorgehen, dass ich zeige, dass der Grenzwert jeder konvergenten Folge wieder in W liegt:
Dazu betrachte ich die konvergente Folge [mm] $(w^k)_{k\in N}$ [/mm] mit
[mm] $lim_{k\to \infty} w^k=w$. [/mm]
Nun muss gezeigt werden, dass daraus [mm] $\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i}w_i=0$ [/mm] folgt.
Stimmt das soweit erst mal?
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Merle23 |
Richtig; hast nur vergessen hinzuschreiben, das die [mm] w^k [/mm] alle in W liegen sollen.
LG, Alex
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:57 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Baumkind |
Schon mal danke für die Antwort. Weiter habe ich mir folgendes überlegt.
$ [mm] lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i}w_i^n= lim_{n\to \infty} lim_{k\to \infty} \sum_{i=1}^{k} \frac{1}{2^i}w_i^n= lim_{k\to \infty} lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{k} \frac{1}{2^i}w_i^n= lim_{k\to \infty} \sum_{i=1}^{k} \frac{1}{2^i}lim_{n\to \infty}w_i^n=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i}w_i=0$
[/mm]
Ich betrachte am Anfang die Reihe und lasse die Folge gegen unendlich laufen. Weil die Folge für alle n konvergent ist, vertausche ich die Grenzwerte und ziehe den Grenzwert der Folge in die Summe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Merle23 |
Zum Einen hast du nicht begründet, warum du die beiden Limiten vertauschen darfst ("weil die Folge konvergiert" ist hier kein Argument!) und zum Anderen ist die Konvergenz von Folgen in [mm] l^2 [/mm] anders definiert (also -nicht- punktweise!).
LG, Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Baumkind |
Eine Folge in [mm] l^2 [/mm] konvegiert ja, wenn
[mm] $lim_{n\to \infty} ||w_n-w||=lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^{\infty} |w_i^n-w_i|^2 [/mm] =0 $
Leider weiß ich nicht, wie ich das hier einbringen soll.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mo 19.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mo 19.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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