Folgerung aus Diffbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Mo 13.07.2009 | | Autor: | nikinho |
| Aufgabe | Sei f: [mm] R^n [/mm] -> R eine in 0 diffbare Funktion mit der Eigenschaft:
f(tx) = |t| f(x)
für alle t aus R und x aus [mm] R^n.
[/mm]
Beh: f ist die Nullfunktion |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
f ist diffbar in a, falls es die lineare Abb. L gibt, mit
f(a+v) - f(a) = L(v) + r(v)
und r(v) hat die Eigenschaft [mm] lim_v->0 [/mm] r(v)/||v|| = 0
Meine Idee das zu lösen ist beide Seiten mit dieser Definition zu approximieren. a=0, da ja nur in 0 diffbar.
Also
f(tx) = f(0) + L(tx) + r(tx)
|t|f(x) = |t| [ f(0) + L(x) + r(x) ]
Jetzt würde ich das gerne nach r umformen und dann beide Seiten gleichsetzen. Allerdings habe ich ja einmal [mm] lim_x->0 [/mm] und einmal lim_tx->0 also hilft mir das nicht wirklich weiter.
Bin ich da auf dem richtigen Weg? Muss ehrlich sagen, dass ich in mehrdimensionaler Differentiation noch die totale Niete bin!
|
|
| |
|
Ich glaube, es genügt, wenn du auf der linken Seite einfach die Kettenregel anwendest (falls ihr die schon hattet...).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:34 Di 14.07.2009 | | Autor: | nikinho |
wenn ich die Kettenregel auf f(tx) anwende erhalte ich doch
t * f'(tx)
aber auf der rechten Seite steht doch nicht die Ableitung sondern das normale f?
oder soll ich beide Seiten ableiten? dann hätte ich (falls man das so darf)
t * f'(tx) = |t| f'(tx)
da es für alle t aus R gilt, insb. für t=(-1)
dann ist -f'(-x) = f'(-x)
und daraus folgt f'(x) = 0
folgt daraus f(x) = 0 für alle x?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:36 Di 14.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> wenn ich die Kettenregel auf f(tx) anwende erhalte ich
> doch
> t * f'(tx)
> aber auf der rechten Seite steht doch nicht die Ableitung
> sondern das normale f?
> oder soll ich beide Seiten ableiten? dann hätte ich
> (falls man das so darf)
>
> t * f'(tx) = |t| f'(tx)
> da es für alle t aus R gilt, insb. für t=(-1)
>
> dann ist -f'(-x) = f'(-x)
> und daraus folgt f'(x) = 0
>
> folgt daraus f(x) = 0 für alle x?
es war $f(t*x)=|t|*f(x)$ für alle $x \in \IR^n$ und alle $t \in \IR\,.$ Daraus ergibt sich, wenn $f\,$ in $x_d \in \IR^n$ diff'bar ist mithilfe der Kettenregel und wegen der Regel der Form " $(\text{const}*f)'=\text{const}*f'$ " (in allen Differenzierbarkeitspunkten von $f\,$), dass
$$\frac{d}{dx}f(t*x_d)=|t|*\frac{d}{dx}f(x_d)\,.$$
Wendet man linkerhand die Kettenregel an, so ergibt sich für alle Punkte $x_d\,,$ in denen $f\,$ diff'bar ist (wir wissen eigentlich nur, dass $x_0=0$ ein Differenzierbarkeitspunkt von $f\,$ ist), gerade
$$f'(t*x_d)*\left(t*I_n)=|t|*f'(x_d)\,,$$
wobei $I_n$ die $n \times n$ - Einheitsmatrix bezeichne. (Beachte: $\frac{d(t*x)}{dx}(x_d)=t*\frac{dx}{dx}(x_d)=t*I_n(x_d)=t*I_n\,.$)
Es folgt also wegen $f'(t*x_d)*I_n=f'(t*x_d)$ gerade
$$(\star)\;\;\;t*f'(t*x_d)=|t|*f'(x_d)\,.$$
(Hier hattest Du rechterhand einen kleinen Fehler, bei Dir stand da $|t|*f'(\red{t}*x)$ anstatt $|t|*f'(x)$).
Weiter kann man ähnlich verfahren, wie Du es gesagt hattest:
Für $t=\,-1$ und $x=x_d=0$ folgt dann aus $(\star)$ sofort $-f'(-0)=f'(0)\,$ bzw. $-f'(0)=f'(0)\,,$ was $f'(0)=0$ liefert.
Ich sehe eigentlich nicht, dass wir mit der Kettenregel mehr folgern können; denn Du hast ja nicht $f\,$ als komplett diff'bar gegeben, sondern Du weißt nur, dass $f\,$ diff'bar in $x_d=0$ ist.
Ich sehe gerade nicht wirklich, wie man hier damit mehr folgern könnte? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Eine Idee, die ich verfolgen würde, wäre, zu versuchen, zunächst mal zu zeigen, dass aus der Diff'barkeit von $f\,$ in $0\,$ und der Gleichung $f(t*x)=|t|*f(x)$ ($x \in \IR^n$, $t \in \IR$) schon folgt, dass $f\,$ diff'bar auf $\IR^n$ ist. Vielleicht läßt sich dann der ![[]](/images/popup.gif) MWS für reellwertige Funktionen mehrerer Veränderlicher irgendwie benutzen, um zu zeigen, dass [mm] $f\!\,'$ [/mm] auf [mm] $\IR^n$ [/mm] verschwindet (wobei ich da skeptisch bin).
(Aus [mm] $(\star)$ [/mm] folgte - wenn wir wüßten, dass [mm] $f\,$ [/mm] sogar auf [mm] $\IR^n$ [/mm] diff'bar ist - für [mm] $t=-1\,$ [/mm] leider "nur" [mm] $-f'(-x)=f'(x)\,.$)
[/mm]
Jedenfalls:
Wenn es Dir irgendwie gelingt, zu zeigen, dass [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $\IR^n$ [/mm] diff'bar ist und $f'=0$ gilt, dann weißt Du, dass [mm] $f\,$ [/mm] konstant auf [mm] $\IR^n$ [/mm] ist. Und für [mm] $x=0\,$ [/mm] und z.B. [mm] $t=2\,$ [/mm] ergäbe sich dann, dass die dann noch zu bestimmende Konstante gerade die $0 [mm] \in \IR$ [/mm] wäre.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Di 14.07.2009 | | Autor: | nikinho |
Danke für die Antwort.
Aber beim Zeigen der Diffbarkeit auf [mm] R^n [/mm] schaffe ich es nichtmal bis zu einem Ansatz.
Allerdings ist mir noch aufgefallen, dass ja gilt f(-x) = f(x) für alle x
und f(0) = 0 gilt. Also leuchtet mir auch ein, falls f' = 0 => f=0.
hm..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Di 14.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Es genügt die Differenzierbarkeit im Nullpunkt !
Sei x [mm] \in \IR^n [/mm] (fest) und x [mm] \not= [/mm] 0.
Für t [mm] \in \IR, [/mm] t [mm] \not= [/mm] 0, setze
$Q(t) = [mm] \bruch{f(tx)-f(0)-f'(0)*(tx)}{||tx||}$
[/mm]
Fall 1: t>0.
Dann ist
(1) $Q(t) = [mm] \bruch{f(x)-f'(0)*x}{||x||}- \bruch{f(0)}{t||x||}$
[/mm]
Da f in 0 differenzierbar ist, gilt $Q(t) [mm] \to [/mm] 0$ für t [mm] \to [/mm] 0, also folgt aus (1):
$f(0)=0$
und
(2) $f(x) = f'(0)*x$
Fall 2: t<0.
Dann ist (beachte $f(0)=0$)
(3) $Q(t) = [mm] \bruch{f(x)+f'(0)*x}{||x||}$
[/mm]
Wegen $Q(t) [mm] \to [/mm] 0$ für t [mm] \to [/mm] 0, folgt
(4) $f(x) = -f'(0)*x$.
Aus (2) und (4) erhalten wir:
$f(x) = -f(x)$, also $f(x) = 0$
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 Di 14.07.2009 | | Autor: | nikinho |
Danke für die Antwort.
Dieses Q(t) ist dann ja sozusagen das Restglied bei meiner Definition aus der Vorlesung oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 Di 14.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die Antwort.
> Dieses Q(t) ist dann ja sozusagen das Restglied bei meiner
> Definition aus der Vorlesung oder?
das ist schlecht formuliert. Das "Restglied" [mm] $r(v)/\|v\|$ [/mm] ($v [mm] \not=0$) [/mm] (mit [mm] $r(v)/\|v\| \to [/mm] 0$ bei $v [mm] \to [/mm] 0$) ist doch eine von einem Vektor [mm] $v\,$ [/mm] abhängige Funktion, die Funktion [mm] $Q(t)\,$ [/mm] ist abhängig von einer Skalaren [mm] $t\,.$ [/mm] Aber wenn Du so willst:
[mm] $f\,$ [/mm] diff'bar in [mm] $0\,$ [/mm] (mit der linearen Abbildung $f'(0)$)
[mm] $\Rightarrow$ $\blue{\frac{f(x)-f(0)-f'(0)*x}{\|x\|}}=\frac{r(x)}{\|x\|}$ [/mm] für alle $x [mm] \not=0\,.$
[/mm]
Wenn man nun, für festes [mm] $x\,,$ [/mm] linkerhand [mm] $x\,$ [/mm] durch [mm] $t*x\,$ [/mm] ersetzt und das ganze dann als Funktion von [mm] $t\,$ [/mm] ($t [mm] \in \IR \setminus \{0\}$) [/mm] auffasst, dann erhält man gerade die Funktion [mm] $Q(t)\,$ [/mm] (vll. etwas deutlicher: [mm] $Q_x(t)\,,$ [/mm] denn für beliebiges, aber festes $x [mm] \in \IR^n \setminus \{0\}$ [/mm] definiert man [mm] $Q=Q_x:\; \IR \setminus \{0\} \to \IR: [/mm] t [mm] \mapsto Q_x(t)=Q(t):=\blue{\frac{f(t*x)-f(0)-f'(0)*(t*x)}{\|t*x\|}}$).
[/mm]
Wenn Du so willst: Die Funktion [mm] $Q(t)\,$ [/mm] kann man "mithilfe des Restgliedes erzeugen".
Oder meintest Du das Restglied der (für festes $x [mm] \not=0$) [/mm] verketteten Funktion [mm] $g=g_x:\IR \to \IR\,,\;\;t \mapsto g_x(t)=g_x(t):=f(t*x)$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
