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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Folgerung aus Diffbarkeit
Folgerung aus Diffbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Folgerung aus Diffbarkeit: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:12 Mo 13.07.2009
Autor: nikinho

Aufgabe
Sei f: [mm] R^n [/mm] -> R  eine in 0 diffbare Funktion mit der Eigenschaft:

f(tx) = |t| f(x)
für alle t aus R und x aus [mm] R^n. [/mm]

Beh: f ist die Nullfunktion

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

f ist diffbar in a, falls es die lineare Abb. L gibt, mit
f(a+v) - f(a) = L(v) + r(v)
und r(v) hat die Eigenschaft [mm] lim_v->0 [/mm]   r(v)/||v|| = 0

Meine Idee das zu lösen ist beide Seiten mit dieser Definition zu approximieren. a=0, da ja nur in 0 diffbar.
Also
f(tx) = f(0) + L(tx) + r(tx)
|t|f(x) = |t| [ f(0) + L(x) + r(x) ]

Jetzt würde ich das gerne nach r umformen und dann beide Seiten gleichsetzen. Allerdings habe ich ja einmal [mm] lim_x->0 [/mm]  und einmal lim_tx->0 also hilft mir das nicht wirklich weiter.

Bin ich da auf dem richtigen Weg? Muss ehrlich sagen, dass ich in mehrdimensionaler Differentiation noch die totale Niete bin!

        
Bezug
Folgerung aus Diffbarkeit: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:21 Di 14.07.2009
Autor: generation...x

Ich glaube, es genügt, wenn du auf der linken Seite einfach die Kettenregel anwendest (falls ihr die schon hattet...).

Bezug
                
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Folgerung aus Diffbarkeit: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 01:34 Di 14.07.2009
Autor: nikinho

wenn ich die Kettenregel auf f(tx) anwende erhalte ich doch
t * f'(tx)
aber auf der rechten Seite steht doch nicht die Ableitung sondern das normale f?
oder soll ich beide Seiten ableiten? dann hätte ich (falls man das so darf)

t * f'(tx) = |t| f'(tx)
da es für alle t aus R gilt, insb. für t=(-1)

dann ist -f'(-x) = f'(-x)
und daraus folgt f'(x) = 0

folgt daraus f(x) = 0 für alle x?

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Bezug
Folgerung aus Diffbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:36 Di 14.07.2009
Autor: Marcel

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo,

> wenn ich die Kettenregel auf f(tx) anwende erhalte ich
> doch
>  t * f'(tx)
> aber auf der rechten Seite steht doch nicht die Ableitung
> sondern das normale f?
>  oder soll ich beide Seiten ableiten? dann hätte ich
> (falls man das so darf)
>  
> t * f'(tx) = |t| f'(tx)
>  da es für alle t aus R gilt, insb. für t=(-1)
>  
> dann ist -f'(-x) = f'(-x)
>  und daraus folgt f'(x) = 0
>  
> folgt daraus f(x) = 0 für alle x?

es war $f(t*x)=|t|*f(x)$ für alle $x \in \IR^n$ und alle $t \in \IR\,.$ Daraus ergibt sich, wenn $f\,$ in $x_d \in \IR^n$ diff'bar ist mithilfe der Kettenregel und wegen der Regel der Form " $(\text{const}*f)'=\text{const}*f'$ " (in allen Differenzierbarkeitspunkten von $f\,$), dass
$$\frac{d}{dx}f(t*x_d)=|t|*\frac{d}{dx}f(x_d)\,.$$
Wendet man linkerhand die Kettenregel an, so ergibt sich für alle Punkte $x_d\,,$ in denen $f\,$ diff'bar ist (wir wissen eigentlich nur, dass $x_0=0$ ein Differenzierbarkeitspunkt von $f\,$ ist), gerade
$$f'(t*x_d)*\left(t*I_n)=|t|*f'(x_d)\,,$$
wobei $I_n$ die $n \times n$ - Einheitsmatrix bezeichne. (Beachte: $\frac{d(t*x)}{dx}(x_d)=t*\frac{dx}{dx}(x_d)=t*I_n(x_d)=t*I_n\,.$)

Es folgt also wegen $f'(t*x_d)*I_n=f'(t*x_d)$ gerade
$$(\star)\;\;\;t*f'(t*x_d)=|t|*f'(x_d)\,.$$

(Hier hattest Du rechterhand einen kleinen Fehler, bei Dir stand da $|t|*f'(\red{t}*x)$ anstatt $|t|*f'(x)$).

Weiter kann man ähnlich verfahren, wie Du es gesagt hattest:
Für $t=\,-1$ und $x=x_d=0$ folgt dann aus $(\star)$ sofort $-f'(-0)=f'(0)\,$ bzw. $-f'(0)=f'(0)\,,$ was $f'(0)=0$ liefert.

Ich sehe eigentlich nicht, dass wir mit der Kettenregel mehr folgern können; denn Du hast ja nicht $f\,$ als komplett diff'bar gegeben, sondern Du weißt nur, dass $f\,$ diff'bar in $x_d=0$ ist.

Ich sehe gerade nicht wirklich, wie man hier damit mehr folgern könnte? [keineahnung]

Eine Idee, die ich verfolgen würde, wäre, zu versuchen, zunächst mal zu zeigen, dass aus der Diff'barkeit von $f\,$ in $0\,$ und der Gleichung $f(t*x)=|t|*f(x)$ ($x \in \IR^n$, $t \in \IR$) schon folgt, dass $f\,$ diff'bar auf $\IR^n$ ist. Vielleicht läßt sich dann der []MWS für reellwertige Funktionen mehrerer Veränderlicher irgendwie benutzen, um zu zeigen, dass [mm] $f\!\,'$ [/mm] auf [mm] $\IR^n$ [/mm] verschwindet (wobei ich da skeptisch bin).

(Aus [mm] $(\star)$ [/mm] folgte - wenn wir wüßten, dass [mm] $f\,$ [/mm] sogar auf [mm] $\IR^n$ [/mm] diff'bar ist - für [mm] $t=-1\,$ [/mm] leider "nur" [mm] $-f'(-x)=f'(x)\,.$) [/mm]

Jedenfalls:
Wenn es Dir irgendwie gelingt, zu zeigen, dass [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $\IR^n$ [/mm] diff'bar ist und $f'=0$ gilt, dann weißt Du, dass [mm] $f\,$ [/mm] konstant auf [mm] $\IR^n$ [/mm] ist. Und für [mm] $x=0\,$ [/mm] und z.B. [mm] $t=2\,$ [/mm] ergäbe sich dann, dass die dann noch zu bestimmende Konstante gerade die $0 [mm] \in \IR$ [/mm] wäre.

Gruß,
Marcel

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Folgerung aus Diffbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:02 Di 14.07.2009
Autor: nikinho

Danke für die Antwort.
Aber beim Zeigen der Diffbarkeit auf [mm] R^n [/mm] schaffe ich es nichtmal bis zu einem Ansatz.

Allerdings ist mir noch aufgefallen, dass ja gilt f(-x) = f(x) für alle x
und f(0) = 0 gilt. Also leuchtet mir auch ein, falls f' = 0 => f=0.
hm..

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Folgerung aus Diffbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:23 Di 14.07.2009
Autor: fred97

Es genügt die Differenzierbarkeit im Nullpunkt !

Sei  x [mm] \in \IR^n [/mm] (fest) und x [mm] \not= [/mm] 0.

Für t [mm] \in \IR, [/mm] t [mm] \not= [/mm] 0, setze

                   $Q(t) = [mm] \bruch{f(tx)-f(0)-f'(0)*(tx)}{||tx||}$ [/mm]

Fall 1: t>0.

Dann ist

         (1)          $Q(t) = [mm] \bruch{f(x)-f'(0)*x}{||x||}- \bruch{f(0)}{t||x||}$ [/mm]

Da f in 0 differenzierbar ist, gilt $Q(t) [mm] \to [/mm] 0$ für t [mm] \to [/mm] 0, also folgt aus (1):

                       $f(0)=0$

und
           (2)        $f(x) = f'(0)*x$


Fall 2: t<0.

Dann ist (beachte $f(0)=0$)

            (3)           $Q(t) = [mm] \bruch{f(x)+f'(0)*x}{||x||}$ [/mm]

Wegen $Q(t) [mm] \to [/mm] 0$ für t [mm] \to [/mm] 0, folgt

            (4)            $f(x) = -f'(0)*x$.

Aus  (2) und (4) erhalten wir:

                           $f(x) = -f(x)$, also        $f(x) = 0$

FRED

      



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Folgerung aus Diffbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:51 Di 14.07.2009
Autor: nikinho

Danke für die Antwort.
Dieses Q(t) ist dann ja sozusagen das Restglied bei meiner Definition aus der Vorlesung oder?

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Folgerung aus Diffbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:58 Di 14.07.2009
Autor: Marcel

Hallo,

> Danke für die Antwort.
>  Dieses Q(t) ist dann ja sozusagen das Restglied bei meiner
> Definition aus der Vorlesung oder?

das ist schlecht formuliert. Das "Restglied" [mm] $r(v)/\|v\|$ [/mm] ($v [mm] \not=0$) [/mm] (mit [mm] $r(v)/\|v\| \to [/mm] 0$ bei $v [mm] \to [/mm] 0$) ist doch eine von einem Vektor [mm] $v\,$ [/mm] abhängige Funktion, die Funktion [mm] $Q(t)\,$ [/mm] ist abhängig von einer Skalaren [mm] $t\,.$ [/mm] Aber wenn Du so willst:
[mm] $f\,$ [/mm] diff'bar in [mm] $0\,$ [/mm] (mit der linearen Abbildung $f'(0)$)
[mm] $\Rightarrow$ $\blue{\frac{f(x)-f(0)-f'(0)*x}{\|x\|}}=\frac{r(x)}{\|x\|}$ [/mm] für alle $x [mm] \not=0\,.$ [/mm]

Wenn man nun, für festes [mm] $x\,,$ [/mm] linkerhand [mm] $x\,$ [/mm] durch [mm] $t*x\,$ [/mm] ersetzt und das ganze dann als Funktion von [mm] $t\,$ [/mm] ($t [mm] \in \IR \setminus \{0\}$) [/mm] auffasst, dann erhält man gerade die Funktion [mm] $Q(t)\,$ [/mm] (vll. etwas deutlicher: [mm] $Q_x(t)\,,$ [/mm] denn für beliebiges, aber festes $x [mm] \in \IR^n \setminus \{0\}$ [/mm] definiert man [mm] $Q=Q_x:\; \IR \setminus \{0\} \to \IR: [/mm] t [mm] \mapsto Q_x(t)=Q(t):=\blue{\frac{f(t*x)-f(0)-f'(0)*(t*x)}{\|t*x\|}}$). [/mm]

Wenn Du so willst: Die Funktion [mm] $Q(t)\,$ [/mm] kann man "mithilfe des Restgliedes erzeugen".

Oder meintest Du das Restglied der (für festes $x [mm] \not=0$) [/mm] verketteten Funktion [mm] $g=g_x:\IR \to \IR\,,\;\;t \mapsto g_x(t)=g_x(t):=f(t*x)$? [/mm]

Gruß,
Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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