Folgerung der Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechne Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{\wurzel[n]{n!}}
[/mm]
Zeige zuerst, dass wenn für beliebige Folgen [mm] (b_n) [/mm] positiver Zahlen gilt:
Konvergiert [mm] \bruch{b_{n+1}}{b_n}, [/mm] dann konvergiert [mm] \wurzel[n]{b_n} [/mm] zu demselben Limes |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=433191
Hallo :)
Mein Beweis bisher, da bin ich mir aber ziemlich sicher, dass der falsch ist:
Sei [mm] (b_n) [/mm] eine beliebige Folge
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{b_{n+1}}{b_n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{b_n}{b_n} \underbrace{=}_{kuerze b_n}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1} [/mm] = 1
Ist das soweit korrekt?
Hier komme ich einfach nicht weiter.
Habt ihr mir vlt. einen Tipp hierzu ev, wie ich dann auf die n-te Wurzel von [mm] b_n [/mm] folgern kann ?
Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:33 Do 11.11.2010 | | Autor: | wauwau |
also deine Folgerung ist falsch
[mm] $b_n=2^n$ [/mm] konvergiert [mm] $\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{2^{n+1}}{2^n}=2$ [/mm] und nicht gegen 1!!!
Du hast nur recht wenn [mm] b_n [/mm] selbst konvergent ist!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 Do 11.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> also deine Folgerung ist falsch
> [mm]b_n=2^n[/mm] konvergiert
> [mm]\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{2^{n+1}}{2^n}=2[/mm] und nicht gegen
> 1!!!
>
> Du hast nur recht wenn [mm]b_n[/mm] selbst konvergent ist!
.............. und keine Nullfolge ist ................
FRED
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Danke euch.
Wir habens heute den halben Tag versucht, zu lösen.
Letztens kamen wir nur auf das:
Wenn
Sei q [mm] :=\bruch{b_{n+1}}{b_n} \gdw q*b_n=b_{n+1}
[/mm]
(Hier haben wir irgendwie gefolgert, dass [mm] b_n [/mm] dann ab einem gewissen N eine geometrische Reihe ist für n>N ... das ist aber auch nicht wirklich richtig, vermuten wir.)
Dann ist [mm] q^n=b_n \gdw [/mm] q = [mm] \wurzel[n]{b_n}
[/mm]
...aber irgendwie auch nicht wirklich ein guter Beweis.
Was meint ihr? Habt ihr ev. noch Tipps? Oder ist es denn tatsächlich richtig, dass die Folge, wenn sie nicht konvergiert... eine geometrische Folge sein muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:48 Fr 12.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Ein Beweis für den Hinweis ist nicht so einfach. Daher schau mal in
H: Heuser, Lehrbuch der Analysis (Teil 1), Satz 28.7
FRED
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Danke. Ja, natürlich habe ich genau dieses Buch nun an der Uni gelassen. Wie heisst denn dieser Satz? Worum gehts da?
Natürlich für mögliche Tipps immer noch dankbar.
Grüsse
Roman
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:49 Sa 13.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke. Ja, natürlich habe ich genau dieses Buch nun an der
> Uni gelassen.
Pech für die junge sympatische Mannschaft
> Wie heisst denn dieser Satz?
Der hat keinen Namen
> Worum gehts da?
Darum: "Konvergiert $ [mm] \bruch{b_{n+1}}{b_n}, [/mm] $ dann konvergiert $ [mm] \wurzel[n]{b_n} [/mm] $ zu demselben Limes "
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> Natürlich für mögliche Tipps immer noch dankbar.
Reichen meine denn nicht ?
FRED
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> Grüsse
> Roman
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