Form eines Kanals bestimmen < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ein offener Kanal hat einen rechteckigen Querschnitt. Welche Form muß das Rechteck bei konstantem Flächeninhalt haben, damit die Betonierungsarbeiten möglichst geringe Kosten verursachen? Die Kosten werden proportional zu der zu betonierenden Fläche angesetzt. |
Hi
Wir haben Übungsaufgaben zum Thema Extremwertprobleme bekommen. Ich sitze momentan vor oben angegebeneer aufgabe und habe keinen Ansatz. Kann mir vieleicht jemand bitte helfen?
Danke schonmal im voraus.
Gruß
Laythuddin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Laythuddin!
Du musst hier eine Haupt- und eine Nebenbedingung aufstellen.
Hauptbedingung ist der zu minimierende Umfang (ohne "Deckel") des Kanals mit [mm] $U_{\text{Kanal}} [/mm] \ = \ U(a,b) \ = \ a+b+a \ = \ 2a+b$ .
Als Nebenbedingung wird hier der konstante Flächeninhalt genannt:
[mm] $A_{\text{Kanal}} [/mm] \ = \ A \ = \ a*b$
Stelle nun die Nebenbedingung z.B. nach $b \ = \ ...$ um und setze dies in die Hauptbedingung ein.
Damit hast Du eine Umfangsformel mit nur noch einer Variablen $U \ = \ U(a)$ . Das ist nun die Zielfunktion, mit der Du die Extremwertberechnung (Nullstellen der 1 . Ableitung etc.) durchführst.
Gruß vom
Roadrunner
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Hi,
Danke erstmal für deine schnelle Hilfe. Hab soweit verstanden. Bekomme auch oben genante gleichung raus. Wie gehts dann weiter?
Danke
gruß
Laythuddin
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Hallo Laythuddin!
Wie oben bereits angedeutet: bestimme die ersten beiden Ableitungen $U'(a)_$ und $U''(a)_$ und bestimme die Nullstellen der 1. Ableitung $U'(a)_$ .
Gruß vom
Roadrunner
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Danke dir nochmal Roadrunner
Hab jetzt das gemacht was du gesagt hast. und habe folgende ergebnisse raus:
U'(a)= [mm] (-A/a^2)+2
[/mm]
U''(a)= [mm] (2*A)/a^3
[/mm]
Als Nullstellen von U'(a) habe ich folgende werte raus:
a1= +sqrt(A/2)
a2= -sqrt(A/2)
Stimmt das soweit? Wäre das dann auch meine Antwort? Sry das ich so frage aber das Problem ist hab das thema noch nicht so lange und verstehe es nicht 100%.
Danke für alles
Gruß Laythuddin
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Hallo Laythuddin!
Deine beiden Ableitungen und die möglichen Extremwerte hast Du richtig ermittelt.
Ist denn der 2. Wert [mm] $a_2 [/mm] \ = \ [mm] -\wurzel{\bruch{A}{2}}$ [/mm] sinnvoll für diese Aufgabe? Muss man diesen Wert weiter verfolgen?
Nun musst Du den Wert [mm] $a_1 [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\bruch{A}{2}}$ [/mm] in die 2. Ableitung einsetzen und überprüfen, ob es sich auch wirklich um ein Minimum handelt. Dafür musst gelten [mm] $U''(a_1) [/mm] \ > \ 0$ .
Gruß vom
Roadrunner
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Hi Roadrunner
Habe gemacht was du gesagt hast. Und bekomme folgendes raus: [mm] (2*A)/(\wurzel{A/2})^3
[/mm]
Ist das auch richtig?! Jetzt weiß ich aber immer noch nicht ob [mm] U''(a_1)>0 [/mm] ist. (oh man sry für meine blöden fragen heute).
Gruß
Laythuddin
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Hallo Laythuddin!
> Und bekomme folgendes raus: [mm](2*A)/(\wurzel{A/2})^3[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt weiß ich aber immer noch nicht ob U"(a1) > 0 ist.
Du multiplizierst / dividierst hier doch ausschließlich positive Zahlen. Was sagt das dann über das Ergebnis aus?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:40 Do 07.02.2008 | | Autor: | Laythuddin |
Ich danke dir vielmals Roadrunner
:-D. Natürlich das es größer als Null ist.
Vielen dank nochmals..;)
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