Formale Exponentialreihe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien X und X nicht kommutierende Variabeln und exp bezeichne die formale Exponentialreihe. Zeigen Sie über [mm] \IQ [/mm] die Identität
$ exp(X+Y)= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \big( exp(\frac{X}{n}) [/mm] exp( [mm] \frac{Y}{n}) \big)^{n} [/mm] $ |
Hallo,
irgendwie krieg ich es nicht hin, diese Identität zu zeigen. Auf der linken Seite kann man ja nicht viel machen, außer in den Summanden den binomischen Lehrsatz anzuwenden, der irgendwie nicht zu hilfreich zu sein scheint.
Die rechte Seite wäre ohne Limes, wenn ich nicht Unsinn gemacht hab
[mm] \sum_{\alpha, \beta \in \IN_{0}^{n}} \frac{X^{|\alpha|}Y^{|\beta|}}{\alpha ! \beta ! n^{|\alpha|+|\beta|}} [/mm] wobei [mm] \alpha!= \alpha_{1}! \dots \alpha_{n}! [/mm] und [mm] |\alpha|=\alpha_{1}+ \dots [/mm] + [mm] \alpha_{n} [/mm]
Und geht das nicht für n gegen unendlich gegen 1?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:40 So 07.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Seien X und X nicht kommutierende Variabeln
Du meinst wohl X und Y
> und exp
> bezeichne die formale Exponentialreihe. Zeigen Sie über
> [mm]\IQ[/mm] die Identität
>
> [mm]exp(X+Y)= \limes_{n\rightarrow\infty} \big( exp(\frac{X}{n}) exp( \frac{Y}{n}) \big)^{n}[/mm]
>
> Hallo,
>
> irgendwie krieg ich es nicht hin, diese Identität zu
> zeigen. Auf der linken Seite kann man ja nicht viel machen,
> außer in den Summanden den binomischen Lehrsatz
> anzuwenden, der irgendwie nicht zu hilfreich zu sein
> scheint.
> Die rechte Seite wäre ohne Limes, wenn ich nicht Unsinn
> gemacht hab
> [mm]\sum_{\alpha, \beta \in \IN_{0}^{n}} \frac{X^{|\alpha|}Y^{|\beta|}}{\alpha ! \beta ! n^{|\alpha|+|\beta|}}[/mm]
> wobei [mm]\alpha!= \alpha_{1}! \dots \alpha_{n}![/mm] und
> [mm]|\alpha|=\alpha_{1}+ \dots[/mm] + [mm]\alpha_{n}[/mm]
>
> Und geht das nicht für n gegen unendlich gegen 1?
Deine Freunde GOOGLE und FRED helfen Dir:
Lie–Trotter Produktformel:
FRED
|
|
|
|
