Formaler Beweis Aussagen < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Fr 15.05.2015 | | Autor: | KilaZ |
| Aufgabe | Formaliere die Schlüsse, stelle jeweils fest, ob sie korrekt sind und wenn ja, führe den formalen Beweis.
a) Wenn die Musik passt, dass lässt Alex mit sich reden. Alex lässt nicht mit sich reden, also passt die Musik nicht.
b) Wenn es in der Nacht geregnet hat, dann sind die Spuren verwischt worden. Es hat diese Nacht nicht geregnet, deswegen sind die Spuren nicht verwischt woden.
c) Wenn Alex grösser als Bernhard, dann ist Frank kleiner als Dirk. Wenn Alex und Susi gleich gross sind, dann ist Alex grösser als Bernhard.
Frank ist nicht kleiner als Dirk, also sind Alex und Susi nicht gleich gross |
Hi,
ich weiss nicht, ob ich oben gestelle Aufgaben richtig habe. Bei a) habe ich mir gedacht, dass das eine Subjunktion ist.
A [mm] \to [/mm] B, da Alex auch sonst mit sich reden lässt.
A B | A [mm] \to [/mm] B
W W |W
W F |F
F W |F
F F |W
Aufgabe b) geht eigentlich genau gleich. Also wieder A [mm] \to [/mm] B
Bei c) weiss ich nicht, wie anschreiben. Wenn Frank nicht kleiner als Dirk ist, dann muss es nicht sein, dass Alex und Susi nicht gleich gross sind.
Mit formalisieren wird gemeint sein, dass ich die Aussagen wie oben anschreibe (also Bijunktion, Subjunktion,...) doch was heisst, den formalen Beweis machen?
Gruss, und vielen Dank!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Fr 15.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo KilaZ!
> Formaliere die Schlüsse, stelle jeweils fest, ob sie
> korrekt sind und wenn ja, führe den formalen Beweis.
> a) Wenn die Musik passt, dass lässt Alex mit sich reden.
> Alex lässt nicht mit sich reden, also passt die Musik
> nicht.
> b) Wenn es in der Nacht geregnet hat, dann sind die Spuren
> verwischt worden. Es hat diese Nacht nicht geregnet,
> deswegen sind die Spuren nicht verwischt woden.
> c) Wenn Alex grösser als Bernhard, dann ist Frank kleiner
> als Dirk. Wenn Alex und Susi gleich gross sind, dann ist
> Alex grösser als Bernhard.
> Frank ist nicht kleiner als Dirk, also sind Alex und Susi
> nicht gleich gross
> Bei a) habe ich mir gedacht, dass das eine
> Subjunktion ist.
Die Aussage "Wenn die Musik passt, dann lässt Alex mit sich reden." entspricht in der Tat einer Subjunktion:
Wenn wir die Aussage "die Musik passt" mit A abkürzen und die Aussage "Alex lässt mit sich reden" mit B, so lässt sich die Aussage "Wenn die Musik passt, dann lässt Alex mit sich reden." formalisieren durch die Subjunktion [mm] $A\rightarrow [/mm] B$.
> A [mm]\to[/mm] B, da Alex auch sonst mit sich reden lässt.
Du meinst damit wohl: Auch wenn die Musik nicht passt, lässt Alex möglicherweise mit sich reden.
Ja, das schließt die Aussage "Wenn die Musik passt, dann lässt Alex mit sich reden." nicht aus.
> A B | A [mm]\to[/mm] B
> W W |W
> W F |F
> F W |F
> F F |W
Du möchtest also die Wahrheitswertetabelle einer Subjunktion angeben?
Dann muss in der vorletzten Zeile hinten ein W stehen.
Mit obiger Formalisierung haben wir als erste Voraussetzung
[mm] $A\rightarrow [/mm] B$.
Weiterhin wissen wir, dass Alex nicht mit sich reden lässt, also
[mm] $\neg [/mm] B$
gilt.
Die Frage ist nun, ob wir schlussfolgern können, dass die Musik nicht passt (also [mm] $\neg [/mm] A$ gilt).
Können wir also aus [mm] $A\rightarrow [/mm] B$ und [mm] $\neg [/mm] B$ auf [mm] $\neg [/mm] A$ schließen?
> Aufgabe b) geht eigentlich genau gleich. Also wieder A [mm]\to[/mm]
> B
Versuche bei b) ähnlich wie ich es bei a) vorgemacht habe eine Formalisierung vorzunehmen.
> Bei c) weiss ich nicht, wie anschreiben.
Bei c) hast du mit drei "Einzel-Aussagen" zu tun:
A: Alex ist größer als Bernhard
B: Frank ist kleiner als Dirk
C: Alex und Susi sind gleich groß
> Wenn Frank nicht
> kleiner als Dirk ist, dann muss es nicht sein, dass Alex
> und Susi nicht gleich gross sind.
Doch, unter der Annahme der Voraussetzungen von c) schon.
Nimm zunächst wieder mithilfe der von mir benannten Aussagen A, B und C eine Formalisierung der Voraussetzungen von c) vor.
> Mit formalisieren wird gemeint sein, dass ich die Aussagen
> wie oben anschreibe (also Bijunktion, Subjunktion,...) doch
> was heisst, den formalen Beweis machen?
Ich mache dir mal an einem anderen Beispiel vor, wie ich eine Aufgabe vollständig lösen würde:
Wenn ich gerade keine gute Laune habe, scheint heute Sonne nicht. Wenn es heute nicht regnet, scheint heute die Sonne.
Es regnet heute nicht, also habe ich gerade gute Laune.
Wir verwenden folgende Abkürzungen:
A: Ich habe gerade gute Laune.
B: Heute scheint die Sonne.
C: Es regnet heute.
Mit diesen Abkürzungen lassen sich die Voraussetzungen wie folgt formalisieren:
Wenn ich gerade keine gute Laune habe, scheint heute Sonne nicht:
(i) [mm] $(\neg A)\rightarrow(\neg [/mm] B)$:
Wenn es heute nicht regnet, scheint heute die Sonne:
(ii) [mm] $(\neg C)\rightarrow [/mm] B$.
Es regnet heute nicht:
(iii) [mm] $\neg [/mm] C$.
Wir behaupten, dass sich aus diesen Voraussetzungen logisch schlussfolgern lässt, dass ich gerade gute Laune habe, also dass $A$ gilt.
Beweis durch Widerspruch:
Angenommen [mm] $\neg [/mm] A$ würde gelten.
Dann gilt gemäß (i) auch [mm] $\neg [/mm] B$.
Gemäß (ii) und (iii) gilt jedoch auch $B$.
Wir haben also sowohl [mm] $\neg [/mm] B$ als auch $B$ und damit einen Widerspruch nachgewiesen.
Also war unsere Widerspruchs-Annahme [mm] $\neg [/mm] A$ falsch und somit muss A gelten.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Fr 15.05.2015 | | Autor: | KilaZ |
> Hallo KilaZ!
Hi Tobias,
danke für deine Antwort!
Bei deinem Beispiel verstehe ich nicht, wieso du als Aussage iii nur "Es regnet heute" genommen hast, und nicht "Es regnet heute, also habe ich gerade gute Laune".
Ich habe es dennoch mal bei Aufgabe C probiert:
> A: Alex ist größer als Bernhard
> B: Frank ist kleiner als Dirk
> C: Alex und Susi sind gleich groß
Und:
I: Wenn Alex grösser als Bernhard, dann ist Frank kleiner als Dirk.
II: Wenn Alex und Susi gleich gross sind, dann ist Alex grösser als Bernhard.
III: Frank ist nicht kleiner als Dirk, also sind Alex und Susi nicht gleich gross
I: $ A [mm] \to [/mm] B $
II: $ C [mm] \to [/mm] A $
III: $ [mm] \neg [/mm] B [mm] \to \neg [/mm] C $
Wenn ich nun annehme, dass Alex größer als Bernhard ist, also $ A $, dann kann ich in den Aussagen keinen Widerspruch finden.
Zur Aufgabe a, da habe ich ja jetzt 2 Aussagen.
$ A [mm] \to [/mm] B $
$ [mm] \neg [/mm] B $
Nehmen wir nun an, dass $ [mm] \neg [/mm] A $ gilt. Aufgrund der Subjunktion kann dann die Aussage $ A [mm] \to [/mm] B $ nicht mehr wahr werden, deshalb kann man nicht sagen, dass wen $ [mm] \neg [/mm] B $ gilt, auch $ [mm] \neg [/mm] A $ gelten muss.
Ich werde nochmal ein bisschen probieren, und melde mich, falls es geklappt hat!
Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Fr 15.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Bei deinem Beispiel verstehe ich nicht, wieso du als
> Aussage iii nur "Es regnet heute" genommen hast, und nicht
> "Es regnet heute, also habe ich gerade gute Laune".
"Es regnet heute nicht" ist eine Voraussetzung, also per Annahme wahr.
"also habe ich gerade gute Laune" gibt hingegen eine Behauptung an.
Es wird also behauptet, dass sich "ich habe gerade gute Laune" aus den Voraussetzungen logisch schlussfolgern lässt.
Ich finde es wichtig, sich darüber klar zu sein, was vorausgesetzt wird und was daraus geschlussfolgert werden soll.
Daher habe ich unter (i) bis (iii) nur die Voraussetzungen angeführt.
> Ich habe es dennoch mal bei Aufgabe C probiert:
>
> > A: Alex ist größer als Bernhard
> > B: Frank ist kleiner als Dirk
> > C: Alex und Susi sind gleich groß
>
> Und:
> I: Wenn Alex grösser als Bernhard, dann ist Frank kleiner
> als Dirk.
> II: Wenn Alex und Susi gleich gross sind, dann ist Alex
> grösser als Bernhard.
>
> I: [mm]A \to B[/mm]
> II: [mm]C \to A[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> III: Frank ist nicht kleiner als Dirk, also sind Alex und
> Susi nicht gleich gross
> III: [mm]\neg B \to \neg C[/mm]
Ich sehe es so:
"Frank ist nicht kleiner als Dirk" ist als wahr vorausgesetzt, während "Alex und Susi sind nicht gleich groß" aus den Voraussetzungen geschlussfolgert werden soll.
Daher würde ich [mm] $\neg [/mm] B$ als dritte Voraussetzung notieren und separat festhalten, dass [mm] $\neg [/mm] C$ logisch geschlussfolgert werden soll.
> Wenn ich nun annehme, dass Alex größer als Bernhard ist,
> also [mm]A [/mm], dann kann ich in den Aussagen keinen Widerspruch
> finden.
Du hast also versucht, per Widerspruchs-Beweis die Aussage [mm] $\neg [/mm] A$ zu zeigen.
Logisch geschlussfolgert werden soll aber die Aussage [mm] $\neg [/mm] C$.
> Zur Aufgabe a, da habe ich ja jetzt 2 Aussagen.
> [mm]A \to B[/mm]
> [mm]\neg B[/mm]
Zu zeigen ist (falls möglich) [mm] $\neg [/mm] A$.
> Nehmen wir nun an, dass [mm]\neg A[/mm] gilt.
Das wollen wir gerade erst zeigen!
> Aufgrund der
> Subjunktion
Welcher Subjunktion?
> kann dann die Aussage [mm]A \to B[/mm] nicht mehr wahr
> werden,
Wenn [mm] $\neg [/mm] A$ gilt (was wir ja eigentlich wie gesagt gar nicht wissen), ist [mm] $A\to [/mm] B$ auf jeden Fall wahr!
> deshalb kann man nicht sagen, dass wen [mm]\neg B[/mm] gilt,
> auch [mm]\neg A[/mm] gelten muss.
Doch. Unter der zusätzlichen Annahme [mm] $A\to [/mm] B$ lässt sich aus [mm] $\neg [/mm] B$ die Gültigkeit von [mm] $\neg [/mm] A$ folgern:
Angenommen $A$ wäre wahr.
Aus $A$ wahr und der Voraussetzung [mm] $A\to [/mm] B$ folgt die Wahrheit von $B$.
Die Wahrheit von $B$ widerspricht jedoch der Voraussetzung, dass [mm] $\neg [/mm] B$ gilt.
Also war die Annahme, $A$ wäre wahr, falsch.
Demzufolge muss [mm] $\neg [/mm] A$ gelten.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 Sa 16.05.2015 | | Autor: | KilaZ |
Hi,
vielen dank für deine Geduld!
c)
$ A [mm] \to [/mm] B $
$ C [mm] \to [/mm] A $
$ [mm] \neg [/mm] B $
Lässt sich aus diesen Angaben $ [mm] \neg [/mm] C $ ableiten?
Beweis durch Widerspruch: Annahme, $C$ gilt, dann gilt durch $ C [mm] \to [/mm] A $ auch A. Folglich gilt auch $B$ durch $ A [mm] \to [/mm] B $. Dies ist aber ein Widerspruch, da ja $ [mm] \neg [/mm] B $ gilt.
Zu b)
A: Es hat in der Nacht gerechnet.
B: Die Spuren sind verwischt worden.
(i) Wenn es in der Nacht geregnet hat, dann sind die Spuren verwischt worden
$ A [mm] \to [/mm] B$
(ii) Es hat diese Nacht nicht geregnet.
$ [mm] \neg [/mm] A $
Lässt sich aus diesen Angaben $ [mm] \neg [/mm] B $ ableiten?
Annahme, B gilt, dann gilt durch $ A [mm] \to [/mm] B $ auch A, aber da $ [mm] \neg [/mm] A $ gilt, ist dies ein Widerspruch.
Vielen Dank für deine Hilfe!
Gruss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 So 17.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
> c)
> [mm]A \to B[/mm]
> [mm]C \to A[/mm]
> [mm]\neg B[/mm]
> Lässt sich aus diesen Angaben
> [mm]\neg C[/mm] ableiten?
> Beweis durch Widerspruch: Annahme, [mm]C[/mm] gilt, dann gilt durch
> [mm]C \to A[/mm] auch A. Folglich gilt auch [mm]B[/mm] durch [mm]A \to B [/mm]. Dies
> ist aber ein Widerspruch, da ja [mm]\neg B[/mm] gilt.
Sehr schön!
> Zu b)
> A: Es hat in der Nacht gerechnet.
> B: Die Spuren sind verwischt worden.
>
> (i) Wenn es in der Nacht geregnet hat, dann sind die Spuren
> verwischt worden
> [mm]A \to B[/mm]
> (ii) Es hat diese Nacht nicht geregnet.
> [mm]\neg A[/mm]
>
> Lässt sich aus diesen Angaben [mm]\neg B[/mm] ableiten?
> Annahme, B gilt, dann gilt durch [mm]A \to B[/mm] auch A,
Nein, mittels [mm] $A\to [/mm] B$ lässt sich nicht von B auf A schließen.
Es könnte auch A falsch und B wahr sein.
> aber da
> [mm]\neg A[/mm] gilt, ist dies ein Widerspruch.
Folgerichtig.
Aus den Voraussetzungen (i) und (ii) lässt sich nicht logisch auf [mm] $\neg [/mm] B$ schließen:
Es könnte auch A falsch und B wahr sein.
Dann sind die Voraussetzungen (i) und (ii) erfüllt, aber [mm] $\neg [/mm] B$ ist falsch.
Etwas anschaulicher und weniger formal:
[mm] $A\to [/mm] B$ sagt nur etwas über B aus, wenn A gilt.
Wenn A nicht gilt, sagt uns [mm] $A\to [/mm] B$ nichts über B aus.
Merkregel: [mm] $A\to [/mm] B$ impliziert weder [mm] $(\neg A)\to(\neg [/mm] B)$ noch [mm] $B\to [/mm] A$.
(Aber [mm] $A\to [/mm] B$ impliziert die sogenannte Kontraposition [mm] $(\neg B)\to(\neg [/mm] A)$.)
|
|
|
|
