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Formel Doppelpendel: Explizite euler Gleichung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:04 So 11.09.2016
Autor: Marina017

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://www.physikerboard.de/topic,49134,40,-doppelpendel-formel.html

Hallo,
Ich bin derzeit daran eine Formel rauszufinden um das Doppelpendel berechnen zu können. Leider hänge ich daran wie ich zwei Differentialgleichungen lösen kann und somit den Winkel berechnen kann. Wenn es interessiert hier ist die ganze herleitung online http://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html . Jedoch hört es leider auf bevor ich für mich eine brauchbare Formel habe. Ichwürde gerne die Formeln von Schritt 14 und 19 nehmn und mithilfe der exliziten Euler Gleichung die Gleichungen lösen. Mein Problem ist aber, dass ich für die Euler Gleichung eine abgeleitete Gleichung von den was rauskommen soll haben muss was aber bei dennen nicht gegeben ist da ist null ist gleich. Kann mir jemand weiterhelfen?

        
Bezug
Formel Doppelpendel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:15 So 11.09.2016
Autor: Al-Chwarizmi

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> Hallo,
>  Ich bin derzeit daran eine Formel rauszufinden um das
> Doppelpendel berechnen zu können. Leider hänge ich daran
> wie ich zwei Differentialgleichungen lösen kann und somit
> den Winkel berechnen kann. Wenn es interessiert hier ist
> die ganze herleitung online
> http://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html
> . Jedoch hört es leider auf bevor ich für mich eine
> brauchbare Formel habe. Ichwürde gerne die Formeln von
> Schritt 14 und 19 nehmn und mithilfe der exliziten Euler
> Gleichung die Gleichungen lösen. Mein Problem ist aber,
> dass ich für die Euler Gleichung eine abgeleitete
> Gleichung von den was rauskommen soll haben muss was aber
> bei dennen nicht gegeben ist da ist null ist gleich. Kann
> mir jemand weiterhelfen?  


Guten Tag Marina

        [willkommenmr]

Falls ich richtig verstanden habe, möchtest du dieses
DGL-System 2.Ordnung für die beiden gesuchten Funktionen
$\Theta_1(t)$  und  $\Theta_2(t)$  mittels des Euler-Verfahrens lösen, das
zunächst mal für Differentialgleichungen erster Ordnung
gemacht ist.
Das geht schon, aber man muss dazu das DGL-System
zunächst in ein lineares DGL-System für 4 (statt nur 2)
gesuchte Funktionen übersetzen.
Ich würde z.B. definieren:

     (D1)  $\Theta_3(t)\,:=\ \dot{\Theta}_1(t)$
     (D2)  $\Theta_4(t)\,:=\ \dot{\Theta}_2(t)$

Die in den Gleichungen (14) und (19) vorkommenden Konstanten
würde ich zusammenpacken zu neuen Konstanten A, B, C, ... .
Damit kommt man zu einem linearen DGL-System, das etwa so
daherkommt:

     (1)  $\dot{\Theta}_1(t)\ =\ \Theta_3(t)$
     (2)  $\dot{\Theta}_2(t)\ =\ \Theta_4(t)$
     (3)  $\ A*\dot{\Theta}_3(t)\ + B\, *\ cos(\Theta}_1(t)-\Theta}_2(t))*\dot{\Theta}_4(t)\ +\ ......\ =\ 0 $
     (4)  ..........

Das in den Gleichungen (3) und (4) steckende lineare Gleichungs-
system lässt sich nach  $\dot{\Theta}_3(t)$  und  $\dot{\Theta}_4(t)$  auflösen.  

Die vier Komponenten  $\Theta_i(t)$   (i=1,2,3,4)  lassen sich zu einem
Vektor TH(t)  zusammenfassen, für den man dann eine
(allerdings sehr komplizierte) lineare DGL hat. Und auf diese
kann man dann das Euler-Verfahren anwenden.
Schon dieser Weg sieht leider nicht sehr verheißungsvoll aus.

Andererseits muss dabei auch noch bedacht werden, dass
dieses Verfahren dann trotzdem nicht sehr praktikabel ist.
Damit nicht gleich die ganze Rechnung schon nach
wenigen Schritten weit daneben geht, muss man eine
sehr kleine Schrittweite $\Delta t$  wählen, was aber
andererseits zu einem riesigen Rechenaufwand und
damit langsamer Ausführung führt.

LG ,   Al-Chwarizmi


Bezug
                
Bezug
Formel Doppelpendel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:17 So 11.09.2016
Autor: Marina017

Hallo,
Danke für die Antwort. Welches Verfahren würden sie mir den empfehlen um die differntialgleichungen zu lösen?

Bezug
                        
Bezug
Formel Doppelpendel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:06 So 11.09.2016
Autor: leduart

Hallo
das meist verwendete ist Runge Kutta, Dafür gibt es wohl in fast allen Programmiersprachen schon fertige Unterprogramme oder Routinen. Wenn du es zum ersten Mal programmieren sollst dann das Einfache Euler verfahren, oder Euler mit Halbschritt.
Deine Überschrift sagt ja aber schon Euler. für Euler kannst du auch die Dgl 2. Ordnung nehmen.
Gruß leduart

Bezug
                                
Bezug
Formel Doppelpendel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:48 Mo 12.09.2016
Autor: Marina017

Hallo,
wie kann ich die Differntialgleichungen genau anwenden für die euler gleichung mir ist das nocht nicht so ganz klar?

Bezug
                                        
Bezug
Formel Doppelpendel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:48 Mo 12.09.2016
Autor: Al-Chwarizmi


>  wie kann ich die Differentialgleichungen genau anwenden
>  für die Euler- Gleichung ?
>  .....


Hallo Marina,

ich habe in meiner früheren Antwort schon skizziert, wie man
die Differentialgleichungen zu einer (vektoriellen) DGL erster
Ordnung reduzieren kann, welche die folgende Form hat:

    [mm] $\frac{d}{dt}\ \Theta(t)\ [/mm] =\ [mm] \pmat{\dot{\Theta_1}(t)\\\dot{\Theta_2}(t)\\\dot{\Theta_3}(t)\\\dot{\Theta_4}(t)\\}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{{\Theta_3}(t)\\ {\Theta_4}(t)\\ P(\Theta_1(t),\Theta_2(t),\Theta_3(t),\Theta_4(t))\\ Q(\Theta_1(t),\Theta_2(t),\Theta_3(t),\Theta_4(t))}$ [/mm]

Die Erarbeitung der darin vorkommenden Funktionen P und Q  ist
naturgemäß etwas umständlich. Ich denke aber, dass ich die dazu
erforderlichen Hinweise schon gegeben habe.

Aufgrund der angegebenen vektoriellen DGL kann man dann
für ein gegebenes Anfangswertproblem den entsprechenden
Euler-Algorithmus zur schrittweisen Berechnung einer Annäherung
ansetzen,  nämlich so:

   1.)  Setze t:=0 und lege die Startwerte  [mm] $\Theta_1(0)\ [/mm] ,\ [mm] \Theta_2(0)\ [/mm] , [mm] \Theta_3(0)\ [/mm] , [mm] \Theta_4(0)$ [/mm]  fest.
   2.)  Wähle den (möglicherweise sehr kleinen) Zeitschritt  [mm] $\Delta [/mm] t$
   3.)  Wiederhole so lange wie gewünscht den Rechenschritt:

           [mm] $\pmat{t\ \ \to\ \ t\,+\, \Delta t\\ \Theta_1\ \ \to\ \Theta_1(t)+\dot{\Theta_1}(t)*\Delta t\\ \Theta_2\ \ \to\ \Theta_2(t)+\dot{\Theta_2}(t)*\Delta t\\ \Theta_3\ \ \to\ \Theta_3(t)+\dot{\Theta_3}(t)*\Delta t\\ \Theta_4\ \ \to\ \Theta_4(t)+\dot{\Theta_4}(t)*\Delta t}$ [/mm]

LG  ,   Al-Chw.

Bezug
                                        
Bezug
Formel Doppelpendel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:50 Mo 12.09.2016
Autor: leduart

Hallo
es gibt keine Eulerformel.
die du auf die Dgl anwenden kannst, sondern ausgehend von einem Anfangswert, [mm] f(0)=y_0 [/mm] setzt du den in f'=g(f,x) ein und hast damit f'(0)
daraus berechnest du f(h)=f(0)+f'(0)*h
aus f(h)dann f(2h)=f(h)+f*(h)*h usw.
sollst du programmieren? in welcher Sprache? oder was genau ist die Aufgabe?
Gruß leduart

Bezug
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