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Formel/Fkt für Max. Gewinn: Aufgabe 1c)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:57 Do 19.02.2009
Autor: scherz123

Aufgabe
Mathematik A-lympiade: Vorrunde 2005-2006

Zwei gegen Hundert

Fast wöchentlich wird auf einem der vielen niederländischen Fernsehkanäle die Quizsendung "Einer gegen Hundert" ausgestrahlt. Bei diesem spannenden Frage- und Anwortspiel nimmt ein Kandidat es mit hundert Gegenspielern auf. Die Gegenspieler sitzen auf der Tribüne und bilden gleichzeitig das Publikum. Der kandidat und die Gegenspieler beantworten die Fragen des Moderators. Wer eine Frage falsch beantwortet, scheide aus dem Spiel aus. Das Spiel ist also entweder zu Ende, wenn der Kandidat eine falsche Antwort gibt, oder wenn alle in der Fragerunde verbliebenen Gegenspieler falsch geantwortet haben.

Für jeden ausgeschiedenen Gegenspieler geht ein Geldbetrag in einen Spartopf. Dazu wird zu Beginn jeder Frage der "Wert eines Gegenspieler" festgelegt, indem 50 000 € auf die im Spiel verblieben Gegenspieler gleichmäßig verteilt und auf ganze Euro abgerundet werden. Sind zu Beginn einer Fragerunde beispielsweise noch achtzig Gegenspieler im Spiel, so beträgt der Wert eines Gegenspielers 625 €. Scheiden in dieser Runde zwölf Kandidaten aus, so wandern 12 x 625 € = 7500 € in den Spartopf. Gelingt es dem Kandidaten im Spiel zu bleiben, bis alle Gegenspieler ausgeschieden sind, so gewinnt er den gesamten Betrag aus dem Spartopf und kann sehr reich nach Hause gehen.

[...]

Aufgabe 1 c)
Formuliert eine Behauptung über die Höhe des maximalen Gewinnbetrages sowie die zugehörigen Spielverläufe und begründet eure Behauptung.

Hallo liebe Freunde,

wie ihr seht handelt es sich hierbei um eine Aufgabe aus der Mathe A-lympiade vom 25. November 2005. Meine Facharbeit behandelt diese komplette Wettbewerbsaufgabe, die ich umfassend lösen muss. Falls einer sich die restlichen Aufgaben ansehen möchte, zu der ich in den nächsten Tagen sicher noch weitere Fragen stellen werde, dann kann er sie unter diesem Link als PDF Datei einsehen:

http://www.learn-line.nrw.de/angebote/alympiade/aufgaben/A-lympiade-0506-VR.pdf

Und nun: Ich habe mir also überlegt wie man den Maximalen Spielverlauf herausfinden könnte. Deshalb habe ich wie auch in der Aufgabe 1) a,b (einsehbar unter dem Link) die geforderten Spielverläufe in einer Excel Tabelle (kann ich bei Anfrage auch weiterschicken) ausgerechnet und bin zu folgenden ergebnissen gekommen

1. Die Gegenspieler scheiden einer nach dem anderen aus - der Gesamtgewinn beträgt 259.325,00 €

2. In jeder Fragerunde scheidet die Hälfte der verbliebenen Kandidaten aus - der Gesamtgewinn beträgt 309.523,00 €

3. Es scheiden zunächst ein, dann zwei, dann vier, dann acht usw. Gegenspieler aus - der Gesamtgewinn beträgt 90.471,00 €

4. Es scheiden pro Fragerunde 5 Gegenspieler aus - der Gesamtgewinn beträgt 179.881,00 €

5. Es scheiden zunächst 37, dann 32, dann 16, dann 4, dann 2, dann 1 Gegenspieler aus - 208.274,00 €


Jetzt habe ich überlegt ob man eine Allgemeine Formel oder Funktion erstellen kann, wo man nur eingibt wieviel Spieler pro Runde ausscheiden, bis alle Ausgeschieden sind und man dann einen Gesamtbetrag erhalte. So eine Formel könnte dann mit Algebra so lösen, dass man den Maximalen gewinn herausfindet. Ist so etwas überhaupt möglich?? Ich vermute das es das nicht ist, aber ansonsten würde mir halt nur noch ausprobieren einfallen.
Was haltet ihr von der Überlegung mit der Formel? Vllt hat ja einer einen Vorschlag!?

Ich möchte euch meine erste Überlegung einführen. Sie sagt im Grunde nur aus wie man den gewinn in einer Fragerunde berechnet, aber das ist nunmal schon ein Anfang:

[mm]r_n[/mm] sei die die Fragerunde. Gibt es Hundert runden heisst die erste runde [mm]r_0[/mm] und die letzte [mm]r_9_9[/mm] in dem fall muss [mm]r[/mm] zwischen 0 und 99 liegen .

[mm]x[/mm] sei die Spieler die Ausscheiden in Personen. Da in manchen Spielverläufen unterschiedlich viele Spieler wird Ausscheiden nenn ich es [mm]x_{r_{n}}[/mm]

[mm]a[/mm] sei die Verbleibende Spielerzahl in Personen. Da in jeder Spielrunde unterschiedlich viele Spieler vorhanden sind nenn ich es [mm]a_{r_{n}}[/mm]

[mm]b[/mm] sei der Rundengewinn. Da der Rundengewinn sich immer auf die nächste runde bezieht bezeichne ich ihn als [mm]c_{r_{n}}[/mm]






nun die Formel:

[mm] \left[ \left( \bruch{50000}{a_{r_{n}} - x_{r_{n}}} \right)\ x_{r_{n}} \right]=c_{r_{n + 1}} [/mm]






Ich freue mich über jede Antwort oder Denkanstoß

Gruß

Scherz

PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Formel/Fkt für Max. Gewinn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:23 Sa 21.02.2009
Autor: vivo

Hallo,

> Jetzt habe ich überlegt ob man eine Allgemeine Formel oder
> Funktion erstellen kann, wo man nur eingibt wieviel Spieler
> pro Runde ausscheiden, bis alle Ausgeschieden sind und man
> dann einen Gesamtbetrag erhalte. So eine Formel könnte dann
> mit Algebra so lösen, dass man den Maximalen gewinn
> herausfindet. Ist so etwas überhaupt möglich?? Ich vermute
> das es das nicht ist, aber ansonsten würde mir halt nur
> noch ausprobieren einfallen.
> Was haltet ihr von der Überlegung mit der Formel? Vllt hat
> ja einer einen Vorschlag!?

naja ausprobieren geht schon, eine Berechnungsvorschrift die man algebraisch lösen könnte kann ich mir nicht vorstellen, aber du kannst ein optimierungsproblem lösen:


[mm] x_i [/mm] := Anzahl der in Runde i rausfliegenden

Die Summen laufen immer nur bis 100 da mehr als 100 Runden nicht interessiern, da eine Runde in der niemand fliegt alles unverändert lässt!

Bedingung:
[mm]\summe_{i=1}^{100}x_i = 100[/mm] , [mm]x_i \ge 0[/mm]

[mm]x_0 = 0[/mm]
Maximiere:
[mm]\summe_{i=1}^{100}(\bruch{50 000}{100 - \summe_{j=0}^{i-1}x_j})x_i[/mm]

und dieses Problem muss man mit einem passenden Verfahren lösen.

Wie man es sonst noch machen könnte weiß ich leider auch nicht, vielleicht gibts ja aber einen schönen leichten weg, wer weiß!

gruß

Bezug
                
Bezug
Formel/Fkt für Max. Gewinn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:27 Mo 23.02.2009
Autor: scherz123

Aufgabe
Jetzt habe ich überlegt ob man eine Allgemeine Formel oder
> Funktion erstellen kann, wo man nur eingibt wieviel Spieler
> pro Runde ausscheiden, bis alle Ausgeschieden sind und man
> dann einen Gesamtbetrag erhalte. So eine Formel könnte dann
> mit Algebra so lösen, dass man den Maximalen gewinn
> herausfindet. Ist so etwas überhaupt möglich?? Ich vermute
> das es das nicht ist, aber ansonsten würde mir halt nur
> noch ausprobieren einfallen.
> Was haltet ihr von der Überlegung mit der Formel? Vllt hat
> ja einer einen Vorschlag!?  


Danke erstmal für deine Antwort.

Ich habe mit Excel etwas rumprobiert und einige Tabellen erstellt. Ich habe eine Lösung gefunden die meines erachtens zu simpel erscheint als das sie stimmt. Könnte es sein das man wirklich den allermeisten gewinn erhält wenn man einfach jede Runde genau einen ausscheiden lässt? Sprich, wenn man einfach genau 100 Runden spielt gewinnt man 259.325,00 €? Mehr wäre nicht drinn?

Bezug
                        
Bezug
Formel/Fkt für Max. Gewinn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:36 Mo 23.02.2009
Autor: vivo

Hallo,

also wenn dem wirklich so ist, dass es keine größeren Gewinn gibt, als wenn immer einer fliegt (stell doch deine Tabelle mal hier ein)

dann könntest du folgendes versuchen:

betrachte

[mm]\summe_{i=0}^{99}\bruch{50000}{100-i}[/mm]

und

[mm]\summe_{i=1}^{100}x_i=100[/mm], [mm]x_0=0 , x_i\ge 0[/mm]

[mm]\summe_{i=1}^{100}(\bruch{50000}{100-\summe_{j=0}^{i-1}x_j})x_i[/mm]

und zeige irgendwie, dass die erste Reihe immer größer ist als die zweite.

Gruß

Bezug
                                
Bezug
Formel/Fkt für Max. Gewinn: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:59 Mo 23.02.2009
Autor: vivo

also es ist ja so, wenn Du [mm] x_1 [/mm] größer 1 setzt,

zum Beispiel [mm] x_1 [/mm] = 2 dann ist der erste Summand der zweiten Reihe zwar 1000 was größer ist als der erste Summand der ersten Reihe (500) aber, in der zweiten Reihe fällt jetzt ein Summand der 100 Stück heraus, denn ein [mm] x_i [/mm] muss jetzt null sein.

also erste Reihe, ersten beiden Summanden:

500 + 505,05 = 1005,05

zweite Reihe, erster Summand bei (wenn [mm] x_1 [/mm] = 2)

1000

der nächste Summand in der zweiten Reihe ist dann folgender:

[mm] (\bruch{50000}{98})x_2 [/mm]

egal was [mm] x_2, [/mm] auf jeden Fall gibt es in der zweiten Reihe den Summanden nicht:

[mm] (\bruch{50000}{99}) [/mm] dies ist der zweite Summand der ersten Reihe ...

da das Ergebnis der ersten bis hierher größer ist als das der zweiten und dies dann auch so ist wenn [mm] x_1 [/mm] größer ist als 2

und es müsste auch dann für die kommend [mm] x_i [/mm] 's so sein.

Bezug
                                        
Bezug
Formel/Fkt für Max. Gewinn: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:39 Mo 23.02.2009
Autor: vivo

also nochmal sauber:

[mm]\summe_{i=0}^{99}\bruch{50000}{100-i}[/mm]

ist immer größer als

[mm]\summe_{i=1}^{100}(\bruch{50000}{100-\summe_{j=0}^{i-1}x_j})x_i[/mm] mit [mm]\summe_{i=1}^{100}x_i=100[/mm] und [mm]x_0=0[/mm] und [mm]x_i \ge 0[/mm]

da:

immer wenn ein [mm]x_i > 1[/mm] dann folgt, dass in

[mm]\summe_{i=1}^{100}(\bruch{50000}{100-\summe_{j=0}^{i-1}x_j})x_i[/mm]

aufgrund der Bedingungen, [mm]x_i - 1[/mm] Summanden null sein müssen.

Der i -te Summand sieht wie folgt aus:

[mm] (\bruch{50000}{100-\summe_{j=0}^{i-1}x_j})x_i [/mm]

die klammer wird also mit [mm] x_i [/mm] multipliziert, also [mm]x_i -1[/mm] mal öfter addiert als in der ersten Reihe, aber dafür sind die nächsten [mm]x_i -1[/mm] Summanden null, was in der ersten Reihe nicht der Fall ist. Außerdem werden die nächsten [mm]x_i -1[/mm] Summanden in der ersten Reihe immer größer, da mit jedem weiteren geflogenen Kandidaten der Wert der einzelnen Ratenden größer wird.

Beispiel i -te Rune

50 Verbliebene:

Wert eines Kandidaten: [mm](\bruch{50 000}{50}) = 1000[/mm]

10 Kandidaten fliegen, daraus folgt Gewinn in dieser Runde: 10 000

in der zweiten Reihe ist der nächste Summand jetzt der folgende:

[mm](\bruch{50 000}{40}x_{i+1}[/mm]

in der ersten Reihe wird [mm](\bruch{50 000}{50}) = 1000[/mm] nicht mit 10 multipliziert sondern nur einmal addiert aber dann

kommen noch

[mm](\bruch{50 000}{49})[/mm]
[mm](\bruch{50 000}{48})[/mm]
[mm](\bruch{50 000}{47})[/mm]
[mm](\bruch{50 000}{46})[/mm]
.
.
.
[mm](\bruch{50 000}{41})[/mm]

dazu und dieser Wert wird immer immer größer, da jeder Kandidat immer mehr wert wird.

gruß

Bezug
                                
Bezug
Formel/Fkt für Max. Gewinn: Tabelle
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:24 Di 24.02.2009
Autor: scherz123

Aufgabe
zeige irgendwie, dass die erste Reihe immer größer ist als die zweite.

Ich danke sehr für deine Antworten

Lieg ich Richtig, dass du versucht hast zu beweisen, dass Der Gewinn einer Fragerunde größer  sein Kann als in der nächsten?
Also durch meine Tabellen berechnung habe ich Folgende ergebnisse:

Der Gewinn einer Fragerunde kann durchaus kleiner/gleich/größer sein als in der Fragerunde davor
Der Gewinn pro Spieler kann von Runde zu Runde immer nur größer werden
Der Spartopf kann von Runde zu Runde immer nur größer werden
Der Spielverlauf mit den meisten Fragerunden hat zwangsläufig auch den größten Gewinn

Ich füge im Anhang die Tabellen hinzu

als Datei für Open Office (.ods)
oder
als Datei für Excel 97/200/XP (.xls) - ich hoffe Open Office hat es ordnungsgemäß für Excel umformatiert

Ich hoffe, Tabellen und Diagramme sind nicht zu unübersichtlich gestaltet, da an einigen die Beschriftung fehlt.
Bitte teile mir mit falls dort irgendwas nicht nachzuvollziehen ist!

Bei den 3 Kurvendiagrammen ist
-die x-Achse die Fragerunde 1 bis 100
-die Y-Achse der Geldbetrag

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: xls) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: ods) [nicht öffentlich]
Bezug
                                        
Bezug
Formel/Fkt für Max. Gewinn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:36 Di 24.02.2009
Autor: vivo

Hallo,

wenn immer einer ausscheidet, berechnet sich der Spartopf wie folgt:

(1) [mm]\summe_{i=0}^{99}\bruch{50 000}{100 -i}[/mm]

scheiden pro Runde beleibig viele aber natürlich zwischen 0 und 100 (und natürlich insgesamt höchstens 100) aus, so berrechnet sich der Spartopf wie folgt:

[mm] x_i [/mm] := Anzhal der ausscheidenden in Runde i

[mm]\summe_{i=1}^{100}x_i=100[/mm] da insgesamt genau 100 ausscheiden
[mm]x_i \ge 0[/mm] da keine negativen "Ausscheidungen" vorliegen dürfen
setze [mm]x_0 = 0[/mm]

dann:

(2) [mm]\summe_{i=1}^{100}(\bruch{50 000}{100 - \summe_{j=0}^{i-1}x_j})x_i[/mm]

egal wie die [mm] x_i [/mm] 's gewählt werden, solange man die Nebenbedingungen beachtet, ist (1) immer größer als (2), bzw gleich wenn man [mm] x_i [/mm] = 1 für alle i= 1,...,100

Denn:

ist ein [mm]x_i > 1 [/mm] so wird der entschprechende Summand in (2) zwar mit [mm] x_i [/mm] multipliziert während er in (1) nur einfach addiert wird, dafür kommen aber in (1) noch [mm]x_i - 1[/mm] weiter Summanden dazu die immer größer werden und alle größer sind als der betrachtete Summand in (2). Also ist (1) > (2

gruß


Bezug
                                                
Bezug
Formel/Fkt für Max. Gewinn: Feedback
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:44 Di 24.02.2009
Autor: scherz123

Wow, Super dass du mir geholfen hast, du hast mich sehr weitergebracht!
Durch die nummerierung der Formeln habe ich jetzt denn Sinn dahinter verstanden. Ich denke damit kann ich auf jedenfall Arbeiten und es in meine Facharbeit unterbringen, selbstverständlich verweise ich auf dieses Forum.

Besten dank

scherz

Bezug
                                                        
Bezug
Formel/Fkt für Max. Gewinn: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:48 Di 24.02.2009
Autor: vivo

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