Formel für Rotationsenergie < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für die kinetische Energie eines homogenen Zylinders mit Masse M, Radius R, Drehwinkel [mm] \theta [/mm] und Schwer-
punktskoordinate y wird in der Vorlesung folgender Ausdruck angegeben:
[mm]T = \frac{1}{2} * M * (y')^2 + \frac{1}{4} * M * R^2 * (\theta')^2[/mm]
wobei der erste Term der kinetischen Energie des Schwerpunkts, und der zweite Term der Rotationsenergie
des Zylinders entspricht. Verifizieren Sie diesen Ausdruck mit Hilfe der allgemeinen Formel:
[mm]T = \frac{1}{2} * M * v^2 + \frac{1}{2} * \summe_{i=1}^{N} (m_{i}*v_{i}^2)[/mm]
für ein Vielteilchensystem, wobei v die Geschwindigkeit des Schwerpunkts und [mm] v_{i} [/mm] die Relativgeschwindigkeit des Teilchens i bezüglich des Schwerpunkts bezeichnet.
Stellen Sie sich zu diesem Zweck vor, dass der Zylinder aus N einzelnen, identischen Teilchen der Masse [mm] m_{i} [/mm] = M/N besteht, welche das Zylindervolumen gleichmäßig ausfüllen, so dass im Limes N → ∞ die Summe über i zu einem Integral über das Zylindervolumen V wird:
[mm]\summe_{i=1}^{N} m_{i}(...) \to \frac{M}{V}\integral_{V}^{}{(...) dr}[/mm]
für N [mm] \to \infty
[/mm]
Außerdem seien die Abstände zwischen den Teilchen konstant, so dass die Relativpositionen der Teilchen
bezüglich des Schwerpunkts eindeutig durch den Drehwinkel θ bestimmt sind. Insbesondere gilt dann:
[mm] v_{i} [/mm] = [mm] r_{i} [/mm] * [mm] \theta' [/mm] , wobei [mm] r_{i} [/mm] den konstanten Abstand des Teilchens i von der Zylinderachse bezeichnet. |
Hallo ihr Lieben!
Ich hänge etwas an obiger Aufgabe, die meiner Meinung nach auch eher nicht so schwer sein sollte!
Wenn man [mm] v_{i}=r_{i}*\theta' [/mm] einsetzt und den Tipp anwendet, bekommt man ja für
[mm]T = \frac{1}{2} * M * v^2 + \frac{1}{2} * \summe_{i=1}^{N} (m_{i}*v_{i}^2)[/mm]
folgende Zeile:
[mm]T = \frac{1}{2} * M * v^2 + \frac{1}{2} * \summe_{i=1}^{N} (m_{i}*r_{i}^2*(\theta')^2)[/mm]
und nach dem Tipp:
[mm]T = \frac{1}{2} * M * v^2 + \frac{1}{2} * \frac{M}{V} * (\theta')^2 \integral_{V}^{}{r_{i}^2dr)[/mm]
Jetzt müsste also letzteres Integral gleich [mm]\frac{1}{2}VR^2[/mm] sein, damit die Gleichung aufgeht.
Und da ist jetzt mein Problem! Wie bekomme ich da ein V und ein [mm] R^2 [/mm] hin? Ich habe das Gefühl, ich übersehe da etwas :(
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte!
Liebe Grüße,
Laura
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Hallo!
Da stimmt etwas mit deinem Integral nicht.
Hast du vorher noch [mm] mv_i [/mm] als einzelne MAssepunkte, betrachtest du bei dem INtegral winzige einzelne Volumen [mm] dV=dx\,dy\,dz [/mm] , deren Gewicht sich über die Dichte [mm] \rho=\frac{M_{gesamt}}{V_{gesamt}} [/mm] ergibt. Das Gewicht beträgt also [mm] \rho\,dx\,dy\,dz [/mm] , und der Beitrag zum Trägheitsmoment und damit zur Energie
[mm] v(x,z,y)^2\rho\,dx\,dy\,dz
[/mm]
Darüber mußt du integrieren:
[mm] $\int\int\int v(x,z,y)^2\rho\,dx\,dy\,dz=\rho\int\int\int v(x,z,y)^2\,dx\,dy\,dz$
[/mm]
Beachte: Bei der Integration entsteht hier die Einheit [mm] strecke^5 [/mm] , die sich mit der Dichte zu [mm] masse*strecke^2 [/mm] kürzt, passt also von den Einheiten.
Für den Zylinder sind diese karthesischen Koordinaten aber ungeeignet, dazu mußt zu zu Zylinderkoordinaten übergehen. Denk auch dran, daß dieses [mm] v_i [/mm] oder jetzt v(x,y,r) der Abstand von der durch den Schwerpunkt laufenden Drehachse ist, in Zylinderkoordinaten also einfach r . (Es geht doch um nen Zylinder, der sich wie ein Rad dreht, oder?)
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 15:13 Mi 06.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
das Integral stimmt mit [mm] \rho=M/V [/mm] und [mm] v=r*\theta'
[/mm]
Und bitte fuer Masse nicht Gewicht schreiben. die formel gilt auch im schwerelosen Raum.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Mi 06.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
da du ueber einen Zylinder integrieren sollst benutze Zylinderkoordinaten zur Integration und schreib statt V das Zylindervolumen hin.
Gruss leduart
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