Formel für ein n-Eck < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Mi 15.07.2009 | | Autor: | durden88 |
Hallo, also die Formel für die Kantenanzahl eines regelmäßigen n-Ecks ist ja:
[mm] k=\bruch{n(n-1)}{2}
[/mm]
Wie Leite ich diese Formel her?
Dankesehr!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Mi 15.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, also die Formel für die Kantenanzahl eines
> regelmäßigen n-Ecks ist ja:
>
> [mm]k=\bruch{n(n-1)}{2}[/mm]
>
> Wie Leite ich diese Formel her?
wähle eine erste Ecke aus. Diese Ecke kann man mit jeder der $(n-1)$ anderen Ecken verbinden. Wählt man aus denen eine weitere aus, so verbleiben für diese noch $(n-2)$ weitere (neue) Verbindungsmöglichkeiten (denn die erste wurde ja schonmal benutzt).
Wählst Du aus diesen wieder eine Ecke aus, so kannst Du mit dieser $(n-3)$ neue Kanten erzeugen etc.
Daraus folgt dann, dass ein regelmäßiges [mm] $n\,$-Eck [/mm] genau
[mm] $$(n-1)+(n-2)+...+1=\sum_{k=0}^{n-1}k=\frac{(n-1)*\big((n-1)+1\big)}{2}=\frac{(n-1)*n}{2}$$ [/mm]
Kanten hat.
Vielleicht mal ein Beispiel:
Wir betrachten ein regelmäßiges [mm] $4\,$-Eck, [/mm] die Ecken heißen [mm] $1,\,2,\,3,\,4\,.$ [/mm] Für eine Kante zwischen den Ecken [mm] $i\,$ [/mm] und [mm] $j\,$ [/mm] schreiben wir [mm] $\{i,\,j\}$ [/mm] (die Kanten sind ja hier ungerichtet).
Wenn wir alle Kanten dieses Graphen aufzählen wollen:
[mm] $\bullet$ [/mm] Wählen wir [mm] $3\,$ [/mm] als erste Ecke, dann gibt es folgende Kanten:
[mm] $$\{3,1\},\,\{3,2\},\,\{3,4\}$$
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Wählen wir nun [mm] $2\,$ [/mm] als zweite Ecke, dann gibt es nun noch folgende Kanten:
[mm] $$\{2,1\},\,\{2,4\}\;\;\;\text{ (beachte:} \{2,3\}=\{3,2\}\text{ und }\{3,2\} \text{ wurde oben schon aufgezählt)}$$
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Wählen wir nun [mm] $1\,$ [/mm] als dritte Ecke, dann gibt es nun noch folgende Kanten:
[mm] $$\{1,4\}\;\;\;\text{ (beachte:} \{1,3\}=\{3,1\},\,\{1,2\}=\{2,1\}\;\text{ und diese beiden wurden oben schon aufgezählt)}$$
[/mm]
Insgesamt:
[mm] $$\{\{i,j\}: i,j \in \{1,2,3,4\}\text{ und }i \not=j\}=\{\underbrace{\{3,1\},\,\{3,2\},\,\{3,4\}}_{3 \text{ Stück}}+\underbrace{\{2,1\},\,\{2,4\}}_{2\text{ Stück}}+\underbrace{\{1,4\}}_{1 \text{ Kante}}\}\,,$$
[/mm]
also [mm] $3+2+1=6=4*3/2\,$ [/mm] Kanten.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Mi 15.07.2009 | | Autor: | durden88 |
super, danke dir :)
|
|
|
|
