Formel für verschobene Sinussc < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
eine wahrscheinlich blöde Frage, aber ich komme irgendwie nicht drauf:
ich suche eine fertige Gleichung, die einen Zug aus einer Sinunsschwingung beschreibt. Ich denke, sie muss um 90 Grad (Pi/4) verschoben sein.
Sie soll so aussehen:
x=0 -> y=1
x=1 -> y=0
Bereich eben von x=0 bis 1 und y= 0 bis 1
Sie ist also oben nach rechts und unten nach links gebogen und in der Mitte fast eine Gerade.
Würde mich über eine Lösung freuen! (f(x) = .....)
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hi, martinmuc,
also eigentlich reichen Deine Angaben für eine eindeutige Lösung der Aufgabe nicht aus. Drum nehm' ich jetzt mal an, es handelt sich um eine Sinusfunktion der Amplitude 1 und damit um eine Funktion der Art: y=sin(ax+b).
Da nun f(0)=1 gelten muss, ist schon mal sin(b)=1 und daher kann man b= [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] wählen.
Wegen f(1)=0 gilt: [mm] sin(a+\bruch{\pi}{2})=0 [/mm] und wieder wählt man unter den vielen Möglichkeiten die einfachste, nämlich: [mm] a+\bruch{\pi}{2}=0
[/mm]
somit: [mm] a=-\bruch{\pi}{2}.
[/mm]
Als Lösungsvorschlag ergibt sich demnach bei mir: [mm] y=sin(-\bruch{\pi}{2}*x [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{2})
[/mm]
> Sie ist also oben nach rechts und unten nach links gebogen
> und in der Mitte fast eine Gerade.
>
Den letzten Teil ("in der Mitte fast eine Gerade") versteh' ich allerdings nicht. Dann wär's ja doch wieder keine Sinusfunktion!?
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Erstmal vielen Dank für die superschnelle Antwort.
Die Annahme ist richtig: Amplitude 1. Deine Lösung ergibt auch einen schönen "Sinuslinienzug". Ist auch logisch. trotzdem weiss ich noch nicht so recht, ob es noch eine andere Lösung gibt.
Z.b. ergibt diese Gleichung auch einen Sinus (Cosinus)-Linienzug:
y=0.5*(cos(PI*(1.0+x))+1).
Und diese ist oben und unten "gebogen".
Jetzt dachte ich, es gäbe noch andere Lösungen dieser Art.
Ich will es mal allgemeiner fassen: kann man es so allgemein formulieren, dass die Schnittpunkte der Achsen gleich bleiben, die Biegungen dazwischen aber stärker/schwächer werden - und was muss man dafür "justieren"?
Falls erwünscht, kann ich die Kurve hochladen, die obige Funktion ergibt.
..und: danke erstmal!
Martin
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Hallo nochmal.
> Erstmal vielen Dank für die superschnelle Antwort.
> Die Annahme ist richtig: Amplitude 1. Deine Lösung ergibt
> auch einen schönen "Sinuslinienzug". Ist auch logisch.
> trotzdem weiss ich noch nicht so recht, ob es noch eine
> andere Lösung gibt.
> Z.b. ergibt diese Gleichung auch einen Sinus
> (Cosinus)-Linienzug:
>
> y=0.5*(cos(PI*(1.0+x))+1).
>
> Und diese ist oben und unten "gebogen".
> Jetzt dachte ich, es gäbe noch andere Lösungen dieser
> Art.
> Ich will es mal allgemeiner fassen: kann man es so
> allgemein formulieren, dass die Schnittpunkte der Achsen
> gleich bleiben, die Biegungen dazwischen aber
> stärker/schwächer werden - und was muss man dafür
> "justieren"?
Also wenn Du nur die Bedingungen f(0)=0 und f(1)=1 hast gibt es unendlich viele beliebige Lösungen, denn durch 2 Punkte kann man so gut wie jede Kurve legen.
Auch das mit der Amplitude solltest Du näher beschreiben, denn wenn man genau hinsieht, hat die andere Funktion oben die Amplitude 1/2, dagegen aber den Wertebereich [0,1].
Wenn ich dich aber richtig verstehe, hast Du aber noch weitere Anforderungen an die Kurve.
Du solltest versuchen, denke ich, die mal genauer zu beschreiben.
Gruß,
Christian
> Falls erwünscht, kann ich die Kurve hochladen, die obige
> Funktion ergibt.
>
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Ja, ich habe mich unglücklich ausgedrückt.
Was ich suche, ist f0)=0 und f(1)=1 und f(0,5)=0,5.
(und für ein zweites Beispiel stattdessen f(0,5)=sqrt(2)).
Ich dachte bis jetzt, die 2 Teilstücke seien sozusagen spiegelbildlich aus 2 verzerrten Teilen einer sin-Funktion zusammengesetzt, wobei mich hier eben interessieren würde, wo genau der Verzerrungskoeffizient sitzt.
Wie gesagt: Kurve und 3 feststehende Punkte....
Gruss, Martin
(das kl. Bild ist online bei meinem ersten Beitrag...)
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Hi, martinmuc,
also: Nachdem ich das Bild gesehen habe, tendiere ich zu folgendem Ansatz:
y=-0,5*sin(ax+b)+0,5
f(0)=0 <=> -0,5sin(b)+0,5=0 <=> sin(b)=1 => z.B.: b= [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
f(1)=1 <=> [mm] -0,5sin(a+\bruch{\pi}{2})+0,5=1 [/mm] <=> [mm] sin(a+\bruch{\pi}{2})=-1 [/mm] => z.B. [mm] a+\bruch{\pi}{2} [/mm] = [mm] -\bruch{\pi}{2} [/mm] => a = [mm] -\pi.
[/mm]
[mm] y=-0,5*sin(-\pi*x+\bruch{\pi}{2})+0,5
[/mm]
bzw. (wegen der Punktsymmetrie der Sinusfunktion)
[mm] y=0,5*sin(\pi*x-\bruch{\pi}{2})+0,5
[/mm]
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Hallo.
Eine kleine Anmerkung zu Zwergleins Ansatz (der mir im übrigen sehr Wahrscheinlich scheint:
[mm] $\sin(\frac{pi}{2}x+\frac{\pi}{2})=\cos(\frac{\pi}{2}x)$.
[/mm]
Wenn Du dagegen eine allgemeine Sinusfunktion mit diesen Eigenschaften suchst, würde ich so ansetzen:
[mm] $y=a\sin(bx+c)$ (|a|\ge1)
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] (Bed. für x=0): [mm] $c=\arcsin{\frac{1}{a}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] (Bed. für x=1): $b=-c$, da nach deinem Aufgabentext x=1 ja die erste Nullstelle sein soll.
So mußt Du dir eben nur die Amplitude vorgeben, dann kannst Du dir leicht die gesuchte Funktion ableiten.
Gruß,
Christian
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Danke erstmal, ich lasse mir das gerade durch den Kopf gehen.
Kleine Berichtigung: die Kurve soll genau andersherum sein: bei x=0 -> y=0,
x=1, y=1.
Amplitude wie gesagt "1". ich habe gerade ein Bild hochgeladen für meine angegebene Funktion. Hier sieht man die beiden "Krümmungen" gut. Da suche ich jetzt noch einen Parameter, den ich nach belieben ändern kann und somit die Krümmung verändern. Was gleich bleiben muss: Der Koordinatenpunkt genau in der Mitte und die Schnittpunkte mit den Achsen.
Gruss, Martin
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Hallo.
Wenn ich dich richtig interpretiere, hast Du noch weitere Forderungen an die Kurve, denn so ist das ein bißchen vage, denn durch 2 Punkte kann man prinzipiell jede Kurve legen...
Siehe dazu auch meine Antwort weiter oben.
Gruß,
Christian
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