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| Aufgabe | Erraten Sie die allgemeine Folge und beweisen Sie diese für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
[mm] \summe_{j=1}^{n}(3j(j-1)+1) [/mm] |
Hey
[mm] \summe_{j=1}^{n}(3j(j-1)+1)
[/mm]
Ich hab ein paar Werte eingesetz und komme so auf die Zahlenfolge
1,7,19,37,... Wie finde ich jetzt jedoch eine allgemeingültige Folge hierfür? Ich schätze mal, danach ist vollständige Induktion angesagt.
Grüße B33r3
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Mi 26.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel!
Untersuche mal die Differenzen der jeweils aufeinanderfolgenden Glieder.
Gruß
Loddar
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Hey
Die Differenz aufeinanderfolgender Glieder ist nicht konstant, und breitet sich mit 6x mit [mm] x\in\IN [/mm] aus. Aber jetzt weiss ich immer noch nicht weiter..?
Grüße
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Hallo,
> Hey
>
> Die Differenz aufeinanderfolgender Glieder ist nicht
> konstant, und breitet sich mit 6x mit [mm]x\in\IN[/mm] aus. Aber
> jetzt weiss ich immer noch nicht weiter..?
Du musst deine errechneten Werte ja aufsummieren:
Für $n=1$ hast du [mm] $\sum\limits_{j=1}^13j(j-1)+1=1$
[/mm]
Für $n=2$ hast du [mm] $\sum\limits_{j=1}^{2}3j(j-1)+1=1+7=8$
[/mm]
Für $n=3$ analog $1+7+19=27$
Für $n=4$ dann $1+7+19+37=64$
Nun solltest du doch ein Bildungsgesetz erkennen.
Schaue dir dir zu $n=1,2,3,4$ entsprechenden Summenwerte an: $1,8,27,64$
*Dalli klick*
> Grüße
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 Mi 26.05.2010 | | Autor: | Blaub33r3 |
Ok, jetzt hab ich es geschnallt^^
Vielen Dank :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Mi 26.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich seh grad Loddars weg nicht ganz, aber die einzelnen Summen kennst du doch vielleich über [mm] k^2, [/mm] über k und über 1
dann einfach zusammenfassen. um nicht die einzelnen formeln zu beweisen, kannst du dann vollst Induktion nehmen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 Mi 26.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo leduart!
In der 2. Ebene der Differenzen (also die Differenzen der Differenzen  ) erhält man hier einen konstanten Wert.
Daher ist das entsprechende Polynom auch 2. Ordnung:
$$s(n) \ = \ [mm] A*n^2+B*n+C$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Mi 26.05.2010 | | Autor: | times |
Wie kommt man denn auf die Folge, ohne vorher Arithmetik belegt zu haben ?
Also die Summe auflösen bis n=4 ist kein Problem, nur ich erkenne kein System in den Zahlen die dabei rauskommen.
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Hallo
> Wie kommt man denn auf die Folge, ohne vorher Arithmetik
> belegt zu haben ?
Na, es steht ja, errate die Folge.. ;) Ne, aber es ist hier ja sehr einfach, schon mit den ersten 3-4 Werten zu sehen, um was es sich eigentlich handelt.
> Also die Summe auflösen bis n=4 ist kein Problem, nur ich
> erkenne kein System in den Zahlen die dabei rauskommen.
Was meinst du mit "Summe auflösen"?
Es handelt sich hier um die *****zahlen.. somit hast du auf der rechten Seite der Gleichung was ganz einfaches stehen.. (na? Siehst du es?) jetzt kommt Induktion zum Zug!
Versuche nicht, die Zahlen die rauskommen miteinander zu vergleichen.. suche lieber einen Zusammenhang zwischen dem Ergebnis, und dem Wert bis wo die Summe läuft.. :)
Grüsse, Amaro
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