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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Annyy |
Hallo!
Habe eine Frage: und zwar brauche ich für meine Maturaarbeit die Herleitung der Formel von Binet.
bis zu q1,2 = [mm] \bruch{1+/-wurzel{2}}{2} [/mm]
versteh ich das ganze ja noch, aber wie und warum komme ich auf die gleichung
s(n) = [mm] a1*q1^n [/mm] + [mm] a2*q2^n [/mm] = a1 [mm] \bruch{1+wurzel{2}}{2} ^n [/mm]
und warum nehme ich automatisch die positive lösung?
wie kommt man weiters auf die gleichungen
0 = s(0) = a1+a2
1 = s(1) = a1 [mm] \bruch{1+wurzel{5}}{2} [/mm] +a2 [mm] \bruch {1+wuzel{5}}{2} [/mm]
der gesamte weitere herleitungsweg ist für mich auch unverständlich...
und selbst beim einsetzen in die formel an sich komme ich auf keine richtigern ergebnisse...
kann man die formel mit normaler algebra herleiten oder braucht man matrizen oder sonstiges?
liebe grüße, annyy
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> Hallo!
> Habe eine Frage: und zwar brauche ich für meine
> Maturaarbeit die Herleitung der Formel von Binet.
> bis zu q1,2 = [mm]\bruch{1+/-wurzel{2}}{2}[/mm]
> versteh ich das ganze ja noch, aber wie und warum komme
> ich auf die gleichung
> s(n) = [mm]a1*q1^n[/mm] + [mm]a2*q2^n[/mm] = a1 [mm]\bruch{1+wurzel{2}}{2} ^n[/mm]
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> und warum nehme ich automatisch die positive lösung?
> wie kommt man weiters auf die gleichungen
> 0 = s(0) = a1+a2
> 1 = s(1) = a1 [mm]\bruch{1+wurzel{5}}{2}[/mm] +a2 [mm]\bruch {1+wuzel{5}}{2}[/mm]
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> der gesamte weitere herleitungsweg ist für mich auch
> unverständlich...
> und selbst beim einsetzen in die formel an sich komme ich
> auf keine richtigern ergebnisse...
> kann man die formel mit normaler algebra herleiten oder
> braucht man matrizen oder sonstiges?
Die Bestimmung der Formel von Binet (d.h. einer expliziten Formel für das $n$-te Glied der Fibonaccifolge mit $s(0)=0, s(1)=1$ und $s(n+2)=s(n+1)+s(n)$) gehört zur Theorie der linearen Differenzengleichungen.
Zuerst sucht man nur Lösungen der Rekursionsgleichung $s(n+2)=s(n+1)+s(n)$. Mit dem Exponentialansatz [mm] $s(n)=q^n$ [/mm] erhält man die Lösungen [mm] $s_1(n) [/mm] = [mm] q_1^n$ [/mm] und [mm] $s_2(n)=q_2^n$. [/mm] Diese Lösungen sind, wie gesagt, erst Lösungen der Rekursionsgleichung.
Da die Differenzengleichung linear (und vom 2. Grad) ist, genügen aber diese beiden (linear unabhängigen) Lösungen um alle Lösungen $s(n)$ der Rekursionsgleichung (immer ohne Anfangsbedingung) als Linearkombination der Form [mm] $a_1 s_1(n)+a_2 s_2(n)$ [/mm] (also [mm] $s(n)=a_1 q_1^n +a_2 q_2^n$) [/mm] darzustellen. Denn: die Lösungen einer homogen-linearen Differenzengleichung 2. Grades (wie dieser Rekursionsgleichung) bilden einen 2dim Vektorraum und die Folgen [mm] $s_1(n)$, $s_2(n)$ [/mm] sind eine Basis dieses Vektorraumes.
Um die Binetsche Formel zu bestimmen, muss man nun nur noch die skalaren Koeffizienten [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] so wählen, dass die beiden Anfangsbedingungen $s(0)=0$ und $s(1)=1$ ebenfalls erfüllt sind (die Rekursionsgleichung ist, wie gesagt, wegen der homogenen Linearität der Rekursionsgleichung für jede beliebige Linearkombination von Lösungen, wie z.B. [mm] $s_1(n)$ [/mm] und [mm] $s_2(n)$, [/mm] erfüllt). [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] müssen daher Lösungen des folgenden Gleichungssystems sein:
[mm]\begin{array}{rcrcl|l}
a_1 q_1^0 &+& a_2 q_2^0 &=& 0 &\text{da $s(0)=0$}\\
a_2 q_1^1 &+& a_2 q_2^1 &=& 1 &\text{da $s(1)=1$}\\\cline{1-5}
\end{array}[/mm]
Natürlich ist hier [mm] $q_1^0=q_2^0=1$ [/mm] und [mm] $q_1^1=q_1$ [/mm] bzw. [mm] $q_2^1=q_2$. [/mm] Der Rest ist Algebra.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Annyy |
so wie du es formuliert hast, kommt es mir endlich logisch vor! danke ( :
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