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Forum "Funktionen" - Formel von de Moivre
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Formel von de Moivre: Tipp, Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:18 Sa 17.05.2014
Autor: Kruemel1008

Aufgabe
(1) Beweisen Sie mit der Formel von de Moivre
     [mm] cos(3x)=cos(x)*(4cos^{2}(x)-3) [/mm] und [mm] sin(3x)=sinx+(3-4sin^{2}(x)) [/mm] für alle [mm] x\in\IR. [/mm]

(2) Leiten Sie mit der 1. Gleichung in (1) die Gleichungen
     [mm] cos(\bruch{\pi}{6})=\bruch{1}{2}\wurzel{3} [/mm] und [mm] sin(\bruch{\pi}{6})=\bruch{1}{2} [/mm] her. [Hinweis: [mm] cos(3*\bruch{\pi}{6}=0 [/mm] (Warum?)]

(3) Leiten Sie mit der 2. Gleichung in (1) die Gleichungen
     [mm] cos(\bruch{\pi}{3}=\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] sin(\bruch{\pi}{3})=\bruch{1}{2}\wurzel{3} [/mm] her. [Hinweis: [mm] sin(3*\bruch{\pi}{3})=0 [/mm] (Warum?)]

Die Formel von de Moivre ist ja:
[mm] (cos(x)+i*sin(x))^{n}=cos(nx)+i*sin(nx) [/mm]

Doch wie wende ich diese auf die Aufgabe an??

LG

        
Bezug
Formel von de Moivre: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:53 Sa 17.05.2014
Autor: MathePower

Hallo  Kruemel1008,

> (1) Beweisen Sie mit der Formel von de Moivre
>       [mm]cos(3x)=cos(x)*(4cos^{2}(x)-3)[/mm] und
> [mm]sin(3x)=sinx+(3-4sin^{2}(x))[/mm] für alle [mm]x\in\IR.[/mm]
>  


Das soll wohl hier so lauten:

[mm]sin(3x)=sinx\red{*}(3-4sin^{2}(x))[/mm] für alle [mm]x\in\IR.[/mm]


> (2) Leiten Sie mit der 1. Gleichung in (1) die Gleichungen
>       [mm]cos(\bruch{\pi}{6})=\bruch{1}{2}\wurzel{3}[/mm] und
> [mm]sin(\bruch{\pi}{6})=\bruch{1}{2}[/mm] her. [Hinweis:
> [mm]cos(3*\bruch{\pi}{6}=0[/mm] (Warum?)]
>  
> (3) Leiten Sie mit der 2. Gleichung in (1) die Gleichungen
>       [mm]cos(\bruch{\pi}{3}=\bruch{1}{2}[/mm] und
> [mm]sin(\bruch{\pi}{3})=\bruch{1}{2}\wurzel{3}[/mm] her. [Hinweis:
> [mm]sin(3*\bruch{\pi}{3})=0[/mm] (Warum?)]
>  Die Formel von de Moivre ist ja:
>  [mm](cos(x)+i*sin(x))^{n}=cos(nx)+i*sin(nx)[/mm]
>  
> Doch wie wende ich diese auf die Aufgabe an??
>  


Nun, linke Seite der Gleichung für n=3 ausmultiplizieren.
Nach Real- und Imaginärteil sortieren unjd ggf.
Additionstheioreme verwenden.
Schliesslich mit rechter Seite der Gleichung vergleichen.-


> LG


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Formel von de Moivre: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:54 So 18.05.2014
Autor: Kruemel1008

Verstehe ich nicht ganz, also ich hab jetzt [mm] (cos(x)+1*sin(x))^{3} [/mm] ausmultilizuert und auch nach ewiger rechnerei das ergebnis cos(3x)+i*sin(3x) rausbekommen.
Damit habe ich aber noch nur diese Moivre Formel bewiesen, wie hilft mir das denn bei meiner Aufgabe weiter???

Bezug
                        
Bezug
Formel von de Moivre: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:38 So 18.05.2014
Autor: MathePower

Hallo Kruemel1008,

> Verstehe ich nicht ganz, also ich hab jetzt
> [mm](cos(x)+1*sin(x))^{3}[/mm] ausmultilizuert und auch nach ewiger
> rechnerei das ergebnis cos(3x)+i*sin(3x) rausbekommen.


Poste dazu die durchgeführten Rechenschritte.


>  Damit habe ich aber noch nur diese Moivre Formel bewiesen,
> wie hilft mir das denn bei meiner Aufgabe weiter???


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Formel von de Moivre: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:53 So 18.05.2014
Autor: Kruemel1008

(cos(x)+i*sin(x))(cos(x)+i*sin(x))(cos(x)+i*sin(x))
[mm] =(cos^{2}(x)+2isin(x)cos(x)-sin^{2}(x))(cos(x)+i*sin(x)) [/mm]
[mm] =cos^{3}(x)+3isin(x)cos^{2}(x)-3sin^{2}(x)cos(x)-isin^{3}(x) [/mm]
[mm] =cos^{3}(x)+3isin(x)cos^{2}(x)-3(cos(x)-cos^{3}(x))-isin^{3}(x) [/mm]
[mm] =cos^{3}(x)+3isin(x)cos^{2}(x)-3cos(x)+3cos^{3}(x)-isin^{3}(x) [/mm]
[mm] =4cos^{3}(x)+3isin(x)cos^{2}(x)-3cos(x)-isin^{3}(x) [/mm]
[mm] =4cos^{3}(x)+3i(sin(x)-sin^{3}(x))-3cos(x)-isin^{3}(x) [/mm]
[mm] =4cos^{3}(x)+3isin(x)-3isin^{3}(x)-3cos(x)-isin^{3}(x) [/mm]
[mm] =4cos^{3}(x)-3cos(x)-4isin^{3}(x)+3isin^{x} [/mm]
=cos(3x)+i*sin(3x)

Ich hoffe da ist kein Tippfehler drinnen ... habs zig mal gerechnet um auf dieses Ergebnis zu kommen aber irgendwie hilfts mir so gar nicht weiter ...

Bezug
                                        
Bezug
Formel von de Moivre: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:59 So 18.05.2014
Autor: MathePower

Hallo Kruemel1008,

> (cos(x)+i*sin(x))(cos(x)+i*sin(x))(cos(x)+i*sin(x))
>  [mm]=(cos^{2}(x)+2isin(x)cos(x)-sin^{2}(x))(cos(x)+i*sin(x))[/mm]
>  
> [mm]=cos^{3}(x)+3isin(x)cos^{2}(x)-3sin^{2}(x)cos(x)-isin^{3}(x)[/mm]
>  
> [mm]=cos^{3}(x)+3isin(x)cos^{2}(x)-3(cos(x)-cos^{3}(x))-isin^{3}(x)[/mm]
>  
> [mm]=cos^{3}(x)+3isin(x)cos^{2}(x)-3cos(x)+3cos^{3}(x)-isin^{3}(x)[/mm]
>  [mm]=4cos^{3}(x)+3isin(x)cos^{2}(x)-3cos(x)-isin^{3}(x)[/mm]
>  [mm]=4cos^{3}(x)+3i(sin(x)-sin^{3}(x))-3cos(x)-isin^{3}(x)[/mm]
>  [mm]=4cos^{3}(x)+3isin(x)-3isin^{3}(x)-3cos(x)-isin^{3}(x)[/mm]
>  [mm]=4cos^{3}(x)-3cos(x)-4isin^{3}(x)+3isin^{x}[/mm]
>  =cos(3x)+i*sin(3x)
>  


Die Behauptung in der Teilaufgabe a) hast Du damit gezeigt. [ok]


> Ich hoffe da ist kein Tippfehler drinnen ... habs zig mal
> gerechnet um auf dieses Ergebnis zu kommen aber irgendwie
> hilfts mir so gar nicht weiter ...


Verwende die Hinweise in den Teilaufgaben b) un c).


Gruss
MathePower

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Formel von de Moivre: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:02 So 18.05.2014
Autor: Kruemel1008

Aber ich soll doch dieses hier beweisen :
$ [mm] cos(3x)=cos(x)\cdot{}(4cos^{2}(x)-3) [/mm] $ und $ [mm] sin(3x)=sinx+(3-4sin^{2}(x)) [/mm] $ für alle $ [mm] x\in\IR. [/mm] $
????

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Formel von de Moivre: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:24 So 18.05.2014
Autor: leduart

Hallo
du hast doch jetz nach dem Ausmultiplizieren und der formel von Moivre

$cos(3*x)+isin(3*x) [mm] =4cos^{3}(x)-3cos(x)-4isin^{3}(x)+3isin^{x} [/mm] $
wenn du jetzt die realteile links = Realteilrechts setzt und rechts cos(x) ausklammerst hast du was du wolltest. dasselbe mit den Imaginärteilen.
Gruß leduart

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Bezug
Formel von de Moivre: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:07 So 18.05.2014
Autor: Kruemel1008

Aaaahhh, ok, danke :D ... Ich hab jetzt aus der (ii) die erste Gleichung bewiesen, soch wie beweise ich die zweite, also [mm] sin(\bruch{\pi}{6})=\bruch{1}{2} [/mm] mit der ersten Gleichung aus (i) also mit [mm] cos(3x)=cos(x)*(4cos^{2}(x)-3) [/mm] ???

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Bezug
Formel von de Moivre: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:56 So 18.05.2014
Autor: Kruemel1008

Aaah, hat sich erledigt, habs hinbekommen :D

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