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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Di 23.10.2012 | | Autor: | hsunaj |
| Aufgabe | | Schreiben Sie die Zahlungsreihe kompakter mit Hilfe des Summenzeichens auf und leiten Sie mit Hilfe der geometrischen Summenformel eine einfachere Berechnungsformel her. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin soweit, aber weiss nicht einmal ob ich bis dahin richtig bin;)
Zahlungsreihe:
[mm] K_{n}=K_{0}*(1+q)^n+k+k*(1+q)+k*(1+q)^2+...+k*(1+q)^{n-1}
[/mm]
Ich komme auch nicht mit dem n-1 am Ende klar.
Mein erster Ansatz:
[mm] \summe_{n=0}^{n-1} K_{0}*(1+q)^n+k*(1+q)^n
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Di 23.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Schreiben Sie die Zahlungsreihe kompakter mit Hilfe des
> Summenzeichens auf und leiten Sie mit Hilfe der
> geometrischen Summenformel eine einfachere
> Berechnungsformel her.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich bin soweit, aber weiss nicht einmal ob ich bis dahin
> richtig bin;)
>
> Zahlungsreihe:
> [mm]K_{n}=K_{0}*(1+q)^n+k+k*(1+q)+k*(1+q)^2+...+k*(1+q)^{n-1}[/mm]
>
> Ich komme auch nicht mit dem n-1 am Ende klar.
>
> Mein erster Ansatz:
> [mm]\summe_{n=0}^{n-1} K_{0}*(1+q)^n+k*(1+q)^n[/mm]
Dein Problem ist die DOPPELDEUTIGKEIT des [mm] $n\,.$ [/mm] Die Zahl [mm] $n\,$ [/mm] kannst
bzw. sollst Du als Parameter betrachten. (Parameter kann man quasi
als beliebig, aber fest, ansehen!)
Zur Betonung schreibe ich unten mal "von vorneherein erkennbare
Parameter" alle in rot! (Bei so manchen Stellen könnte man meckern,
dass ich da noch was rot färben sollte - aber bei so manchen ist's ein
wenig sinnfrei, da so penibel zu sein! Z.B. könnte man anstatt [mm] $a_n$
[/mm]
sicher dann [mm] $a_\red{n}$ [/mm] verlangen, bei [mm] $a_{n-1}$ [/mm] ist wieder
die Frage: Eigentlich müßte ich [mm] $a_{\red{n}-1}$ [/mm] schreiben, aber warum
schreibe ich dann nicht [mm] $a^1=a^{\red{n}-(\red{n}-1)}\,.$ [/mm] Aber ich denke,
dass ich das schon irgendwie "sinnig" unten gemacht habe!)
Die Laufvariable des Summenzeichens musst Du aber anders benennen -
und aufpassen, dass Du da nicht wieder "ein doppeldeutiges Symbol"
verwendest [mm] ($k\,$ [/mm] ist hier genauso schlecht wie [mm] $n\,$). [/mm] Wenn wir
[mm] $\sum_{m=0}^{n-1}$ [/mm] schreiben, macht das sicher weniger Probleme:
Ich schreib's mal umständlich:
[mm] $$\red{K_n}=\underbrace{\red{K_0}}_{=:a_n}(1+\red{q})^\red{n}+\underbrace{\red{k}}_{=:a_0}*(1+\red{q})^0+\underbrace{\red{k}}_{=:a_1}*(1+\red{q})^1+\underbrace{\red{k}}_{=:a_2}*(1+\red{q})^2+...+\underbrace{\red{k}}_{=:a_{n-1}}*(1+\red{q})^{\red{n}-1}$$
[/mm]
[mm] $$=a_n(1+\red{q})^\red{n}+\sum_{m=1}^{\red{n}-1} a_{m}(1+\red{q})^m\;\;\;\;\;\;\;\Big(=\sum_{m=0}^\red{n} a_m (1+\red{q})^m\Big)$$
[/mm]
(die geklammerte Gleichheit ist richtig, bringt hier aber nichts, sondern
würde im Folgenden eher verwirren - warum, das solltest Du gleich sehen!)
und weil [mm] $a_n=\red{K_0}$ [/mm] und [mm] $a_0=...=a_{n-1}=\red{k}$ [/mm] war
[mm] $$=\red{K_0}(1+\red{q})^\red{n}+\sum_{m=1}^{n-1} \red{k}*(1+\red{q})^m$$
[/mm]
[mm] $$=\red{K_0}(1+\red{q})^\red{n}+\red{k}*\sum_{m=1}^{n-1} (1+\red{q})^m$$
[/mm]
Da steht nun - im zweiten Summanden - die geometrische Summenformel
für [mm] $\tilde{q}:=1+q\,,$ [/mm] und beachte die Voraussetzung zur Anwendung
der Formel an [mm] $\tilde{q}\,.$
[/mm]
P.S.
In
[mm] $$\sum_{m=0}^N \tilde{q}^m=\frac{1-\tilde{q}^{N+1}}{1-\tilde{q}}$$
[/mm]
für [mm] $\tilde{q} \not=1$ [/mm] kannst Du einfach mal gucken, wie sich die Formel
'ändert/verwandelt', wenn [mm] $N=n-1\,$ [/mm] gesetzt wird!
Gruß,
Marcel
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