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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Formeln "einklammern"
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Formeln "einklammern": Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:10 Mi 24.02.2010
Autor: mrkingkong

Aufgabe
[mm] f_{4} (x)=x^{2}-\bruch{1}{4}x-\bruch{1}{8} [/mm]

Diese Aufgabe muss ich "einklammern" nur ich weiss nicht wie O.o

die muss aussehen wie (a+b)(a+b)

ich glaub ich bin zu dumm dafür, kann mir wer helfen?
danke

        
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Formeln "einklammern": Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:13 Mi 24.02.2010
Autor: ChopSuey

Hi!,

das Einzige, das mir spontan einfällt, wäre die Linearfaktorzerlegung dieser Funktion.

Finde die Nullstellen $\ [mm] x_1, x_2 [/mm] $ und schreibe $\ f(x) = [mm] (x-(x_1))(x-(x_2))$ [/mm]

Gruß
ChopSuey

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Formeln "einklammern": Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:21 Mi 24.02.2010
Autor: pythagora

Hey,
[mm] (x+\bruch{1}{4})*(x-\bruch{1}{2}) [/mm]
müsste passen^^

LG
pythagora

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Formeln "einklammern": Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:37 Mi 24.02.2010
Autor: mrkingkong

kannste mir das auch erläutern?^^

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Formeln "einklammern": Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:48 Mi 24.02.2010
Autor: Kroni

Hi,

man kann jedes Polynom in ein Produkt mit Faktoren der Form [mm] $(x-x_i)^a$ [/mm] schreiben, wobei $a$ ein Faktor dafuer ist, wie "oft" die Nullstelle vorkommt, und [mm] $x_i$ [/mm] die Nullstelle selber ist.

Das kann man sich dadurch plausibel machen (das ist natuerlich kein Beweis...), indem man sich ueberlegt, dass ja ein Produkt aus diesen Faktoren genau dann Null wird, wenn $x$ eines der [mm] $x_i$, [/mm] also einer Nullstellen entspricht. Und das ist ja in deinem Fall genauso.

Naeheres dazu steht zB auch []hier.

D.h. du rechnest dir die Nullstellen deines Polynoms aus, und schreibst das dann hinterher in die schon angegebene Form.
Wenn du diese dann ausgerechnet hast, und nehmen wir an, diese Nullstellen seien [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$, [/mm] dann kannst du $f(x)$ als [mm] $f(x)=(x-x_1)(x-x_2)$ [/mm] geschrieben werden.

Das ganze laeuft auch fuer quadratische Polynome unter dem "Satz von Vieta".

LG

Kroni

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Formeln "einklammern": Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 21:56 Mi 24.02.2010
Autor: ChopSuey

Hallo Kroni,

Hi,

>  
> man kann jedes Polynom in ein Produkt mit Faktoren der Form
> [mm](x\red{+}x_i)^a[/mm] schreiben, wobei [mm]a[/mm] ein Faktor dafuer ist, wie
> "oft" die Nullstelle vorkommt, und [mm]x_i[/mm] die Nullstelle
> selber ist.
>  
> Das kann man sich dadurch plausibel machen (das ist
> natuerlich kein Beweis...), indem man sich ueberlegt, dass
> ja ein Produkt aus diesen Faktoren genau dann Null wird,
> wenn [mm]x[/mm] eines der [mm]x_i[/mm], also einer Nullstellen entspricht.
> Und das ist ja in deinem Fall genauso.
>  
> Naeheres dazu steht zB auch
> []hier.
>  
> D.h. du rechnest dir die Nullstellen deines Polynoms aus,
> und schreibst das dann hinterher in die schon angegebene
> Form.
>  Wenn du diese dann ausgerechnet hast, und nehmen wir an,
> diese Nullstellen seien [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm], dann kannst du [mm]f(x)[/mm]
> als [mm]f(x)=(x\red{+}x_1)(x\red{+}x_2)[/mm] geschrieben werden.
>  
> Das ganze laeuft auch fuer quadratische Polynome unter dem
> "Satz von Vieta".
>  
> LG
>  
> Kroni

du meinst sicher $\ [mm] (x\green{-}x_i)^a [/mm] $ bzw $\ [mm] f(x)=(x\green{-}x_1)(x\green{-}x_2) [/mm] $ , oder?



Viele Grüße
ChopSuey

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Formeln "einklammern": Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 21:59 Mi 24.02.2010
Autor: Kroni

Hi,

ja. Danke fuer den Hinweis.

LG

Kroni

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Formeln "einklammern": Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:03 Mi 24.02.2010
Autor: mrkingkong

wie komm ich denn an die nullstellen? (tut mir leid ich bin ein ziemlicher mathe depp)

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Formeln "einklammern": Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 Mi 24.02.2010
Autor: ChopSuey

Hi!

Nullstellen sind die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse.

Also alle Punkte der Form $\ [mm] P_1(0/f(x_1)) [/mm] $, $\ [mm] P_2(0/f(x_2)) [/mm] $ usw.

Eine quadratische Funktion kann maximal zwei Nullstellen haben.

Du findest Nullstellen, in dem du die Funktion gleich Null setzt.

Also $\ f(x) = 0 $
Kannst du dir vorstellen, warum?

Dann nur noch nach $\ [mm] x_1, x_2 [/mm] $ auflösen und du hast deine Lösungen.

Sind dir quadratische Ergänzung, pq-Formel oder die sog. "Mitternachtsformel" ein Begriff?

Gruß
ChopSuey

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Formeln "einklammern": Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:10 Mi 24.02.2010
Autor: mrkingkong

ach ja stimmt^^ danke.

ja die sind und sollten auch ein begriff sein bei mir^^

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