Formeln f. NV Zufallsvariablen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:19 Di 04.10.2005 | | Autor: | kontor |
Hallo,
zunächst vorab: ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich benötige einige Formeln, die über den Additionssatz und den Mulitplikationssatz hinausgehen.
Gegeben seien drei normalverteilte Zufallsvariablen mit bekanntem Erwartungswert und bekannter Varianz.
Bekannt ist ja mit zwei Variablen:
E(X+Y) = E(X)+E(Y)
VAR(X+Y) = VAR(X)+VAR(Y)+2 COV(X,Y)
E(X*Y)=E(X)*E(Y)+COV(X,Y)
Der erste Satz ist ja unbeschränkt auch auf drei Variablen anzuwenden, soweit ich weiß.
ich bräuchte jetzt leider noch die folgenden nicht angegebenen Formeln, wobei keine unabhängigkeit zwischen den Variablen herrscht:
E(X*Y*Z)= ?
VAR(X*Y)=?
VAR(X*Y*Z)=?
Das erste habe ich laienhaft in Ansätzen ausgerechnet indem ich X*Y = X gesetzt habe und dann den obigen Multiplikationssatz angewendet habe. Auf das Ergebnis habe ich dann nochmal den Multiplikationssatz angewendet:
E(X*Y*Z)=E(X*Y)*E(Z)+COV(X*Y,Z)
=[E(X)*E(Y)+COV(X,Y)]*E(Z)+COV(X*Y,Z)
=(E(X)*E(Y)*E(Z)+COV(X,Y)*E(Z)+COV(X*Y,Z)
Wie man an der Herleitung sieht, bin ich mathematisch nicht so beschlagen... Frage wäre (neben den anderen zwei oben angegebenen), ob das (1) so richtig ist und (2) wenn ja, ob und wenn ja wie wie man den Term COV(X*Y,Z) noch weiter vereinfachen kann, so dass nur noch COV(X,Y) oder COV(Z,Y) oder COV(Y,Z) in einer beliebigen Verknüpfung vorkommen.
Ich wäre superdankbar, wenn Ihr eine Antwort auf meine Fragen hättet und es möglichst einfach erklären könntet (für mathematische DAUs).
Lieben Dank
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Hallo Kontor,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben seien drei normalverteilte Zufallsvariablen mit
> bekanntem Erwartungswert und bekannter Varianz.
>
> Bekannt ist ja mit zwei Variablen:
>
> E(X+Y) = E(X)+E(Y)
> VAR(X+Y) = VAR(X)+VAR(Y)+2 COV(X,Y)
> E(X*Y)=E(X)*E(Y)+COV(X,Y)
>
> Der erste Satz ist ja unbeschränkt auch auf drei Variablen
> anzuwenden, soweit ich weiß.
>
jo!
> ich bräuchte jetzt leider noch die folgenden nicht
> angegebenen Formeln, wobei keine unabhängigkeit zwischen
> den Variablen herrscht:
>
> E(X*Y*Z)= ?
> VAR(X*Y)=?
> VAR(X*Y*Z)=?
>
> Das erste habe ich laienhaft in Ansätzen ausgerechnet indem
> ich X*Y = X gesetzt habe und dann den obigen
> Multiplikationssatz angewendet habe. Auf das Ergebnis habe
> ich dann nochmal den Multiplikationssatz angewendet:
>
> E(X*Y*Z)=E(X*Y)*E(Z)+COV(X*Y,Z)
> =[E(X)*E(Y)+COV(X,Y)]*E(Z)+COV(X*Y,Z)
> =(E(X)*E(Y)*E(Z)+COV(X,Y)*E(Z)+COV(X*Y,Z)
>
> Wie man an der Herleitung sieht, bin ich mathematisch nicht
> so beschlagen... Frage wäre (neben den anderen zwei oben
> angegebenen), ob das (1) so richtig ist
ja.
und (2) wenn ja, ob
> und wenn ja wie wie man den Term COV(X*Y,Z) noch weiter
> vereinfachen kann, so dass nur noch COV(X,Y) oder COV(Z,Y)
> oder COV(Y,Z) in einer beliebigen Verknüpfung vorkommen.
>
Ich glaube nicht, dass man das noch vereinfachen kann. Auch für Var(X*Y), was ja Cov(X*Y,X*Y) ist, gibt's m.M. nach keine einfache Regel.
Vielleicht weiß jemand anders noch mehr dazu.
mfg
Daniel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Di 04.10.2005 | | Autor: | kontor |
Lieben Dank!
Weiß jemand, ob es eine Formel für die beiden anderen Probleme gibt:
VAR(X*Y)=?
VAR(X*Y*Z)=?
LG
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Hallo nochmal,
also wenn X NV ist mit Erwartungswert a und Varianz [mm]b^2[/mm], kurz also [mm]X \sim N(a,b^2)[/mm] und weiterhin [mm]Y \sim N(c,d^2)[/mm] sowie [mm]Z \sim N(e,f^2)[/mm], dann gilt nach Maple 
Achtung!! Wahrscheinlich nimmt das Programm von vornherein Unabhängigkeit der ZV an, da es als Erwartungswert einfach ace auswirft....
Also leider nur wenn unabhängig, dann:
[mm]Var(X*Y)=(cb)^2+(ad)^2+(bd)^2[/mm]
und
[mm]Var(X*Y*Z)=(bce)^2 + (acf)^2 + (bcf)^2 + (ade)^2 + (bde)^2 + (adf)^2 + (bdf)^2[/mm]
mfg
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Di 04.10.2005 | | Autor: | kontor |
Super, das hilft mir schon sehr weiter! Ich möchte auf jeden Fall schon mal ein großes Danke an Daniel sagen für die wirklich unglaublich schnelle Hilfe!!!
Falls irgendwer noch die Erweiterung für abhängige Daten haben sollte, wäre das klasse (obwohl der Term dann wahrscheinlich endlos lang wird...; ist ja jetzt schon umfangreich).
Also ich schreib es nochmal hin, die Frage wäre dann:
VAR(X*Y)=?
VAR(X*Y*Z)=?
bei abhängigen Daten.
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Meine Antwort ist für abhängige Zufallsvariablen, also funktioniert der Lösungsansatz auch dafür. FÜr anders verteilte Zufallsvariablen musst du einfach die anderen Dichten für X und Y einsetzen.
Gruss
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> Lieben Dank!
>
> Weiß jemand, ob es eine Formel für die beiden anderen
> Probleme gibt:
>
> VAR(X*Y)=?
> VAR(X*Y*Z)=?
>
> LG
so direkt gibt es meines Wissens keine Formeln dafür. Aber du kannst die Formeln:
[mm] Var(X)=E(X-E(X))^2 [/mm] und
[mm] Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2
[/mm]
verwenden. Dazu, falls [mm] X\sim N(\mu_{1},\sigma_{1}) [/mm] und [mm] Y\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}), [/mm] gilt mit Z:=X*Y:
E(Z)= [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}zf(z)dz [/mm] und [mm] E(Z^{2})= \integral_{-\infty}^{\infty}z^{2}f(z)dz
[/mm]
mit f(z) Dichte des Zufallsvektors Z für die gilt:
[mm] f(z)=f_{X*Y}(z)=\integral_{-\infty}^{\infty}f_{X}(\bruch{z}{t})f_{Y}(t)\bruch{1}{|t|}dt,
[/mm]
mit
[mm] f_{j}(x):=\bruch{1}{\sigma_{j}\wurzel{2\pi}}\exp(-(\bruch{(x-\mu_{j})^{2}}{2\sigma_{j}^{2}}))
[/mm]
(X:j=1, Y:j=2)
Damit müßte sich alles berechnen lassen.
Gruss,
Spellbinder
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