Formen von komplexen Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Sa 22.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
| Aufgabe | Berechnen sie z in den formen z =x+iy und [mm] z=re^{i\phi}
[/mm]
[mm] a)z=(\bruch{1-i}{1+i})²
[/mm]
[mm] b)z=(\bruch{3}{2}+i\wurzel{\bruch{3}{2}})^{6}
[/mm]
[mm] c)z=(1-i)^{13} [/mm] |
Also die umrechung von der kartesischen in die exponetialform bekomme ich hin.
ich habe versucht die enzelnen klammern zu multiplizieren wird dann aber ein sehr ungenaues ergebnis, wo ich sicher einen fehler drin habe.
gibt es da einen einfacheren weg?
kann ich bei a den [mm] Re(\bruch{x²+y²}{x²-y²}) [/mm] berechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Sa 22.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a) den Bruch erst mit dem konj. komplexen des Nenners erweitern! (das sooltest du bei Brüchen aus kompl. Zahlen immer tun, damit der nenner reel wird
dann kannst du direkt quadrieren,
oder wie bei den anderen, erst in die Form [mm] r*e^{i\phi} [/mm] bringen, potenzieren, dann zurückverwandeln.
wie du bei a) auf die Formel kommst versteh ich nicht, sie ist falsch.
Zur Kontrolle a)z=-1
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Sa 22.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
OK.
[mm] (\bruch{1-i}{1+i})* (\bruch{1-i}{1-i})
[/mm]
(1-i)*(1-i)=(1-1)*i(-1-1)=-2i
(1+i)*(1-i)=(1+1)*i(-1+1)=2
[mm] \bruch{-2i}{2}=-i
[/mm]
das ganze dann quadrieren ergibt i²=-1
z=-1 [mm] |z|=r=\wurzel{(-1)²+(0)²}=\wurzel{1}
[/mm]
[mm] cos\phi=\bruch{x}{r}=\bruch{-1}{\wurzel{1}}=cos-1= 180°=\pi
[/mm]
[mm] z=\wurzel{1} e^{i\pi}
[/mm]
b) ist hier der realteil [mm] 3/2^{6} [/mm] imaginärteil [mm] :\wurzel{3/2x^{6}} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Sa 22.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> OK.
>
> [mm](\bruch{1-i}{1+i})* (\bruch{1-i}{1-i})[/mm]
>
> (1-i)*(1-i)=(1-1)*i(-1-1)=-2i
>
> (1+i)*(1-i)=(1+1)*i(-1+1)=2
>
> [mm]\bruch{-2i}{2}=-i[/mm]
>
> das ganze dann quadrieren ergibt i²=-1
>
> z=-1 [mm]|z|=r=\wurzel{(-1)²+(0)²}=\wurzel{1}[/mm]
> [mm]cos\phi=\bruch{x}{r}=\bruch{-1}{\wurzel{1}}=cos-1= 180°=\pi[/mm]
Dass z=-1 den Betrag 1 hat sollte man nicht so ausrechnen.und nicht [mm] \wurzel{1} [/mm] schreiben! daass -1 180° von +1 ist sollte man auch ohne rechnen wissen!
> [mm]z=\wurzel{1} e^{i\pi}[/mm]
>
> b) ist hier der realteil [mm]3/2^{6}[/mm] imaginärteil
> [mm]:\wurzel{3/2x^{6}}[/mm] ?
Nein denn [mm] (a+b)^6 [/mm] ist nie [mm] a^6+b^6!!
[/mm]
ich hatte doch gesagt, erst den inneren Teil in die e form bringen, dann potenzieren.
Du solltest die kompl. Zahlen in der Gaussschen Ebene aufmalen, und immer dran denken: beim Multipl. addieren sich die Winkel, und die länge wird einfach multipl.
d.h. hoch 6 heisst 6 facher Winkel und Länge=Betrag hoch 6.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 So 23.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
Hallo,
OK gut mach ich!
hab dann für
[mm] r=\wurzel{6}^{6}=216
[/mm]
[mm] tan\phi=\bruch{y}{x}=\bruch{\wurzel{\bruch{3}{2}}}{\bruch{3}{2}}=39,23°
[/mm]
(39,23°)*6=235,38°
b) [mm] z=216*e^{i235,39°}
[/mm]
c)
[mm] r=\wurzel{2}^{13}=90,50
[/mm]
[mm] tan\phi=\bruch{y}{x}=\bruch{-1}{1}=-1=\bruch{3}{4}\pi=67,002°
[/mm]
(67,002°)*13=871,03°
[mm] z=90,50*e^{i871,03°}
[/mm]
wie kann ich das jetzt in die form z=x+iy bringen?
Toni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 So 23.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Gebt ihr wirklich die Winkel im Gradmaß an und nicht im Bogenmaß? das ist sehr unüblich für komplexe Zahlen. denn [mm] e^{i*90°} [/mm] ist nicht sehr sinnvoll.
> Hallo,
>
> OK gut mach ich!
>
> hab dann für
> [mm]r=\wurzel{6}^{6}=216[/mm]
wie kommst du auf [mm] \wurzel{6} [/mm] für den betrag? ich hab was anderes.
> [mm]tan\phi=\bruch{y}{x}=\bruch{\wurzel{\bruch{3}{2}}}{\bruch{3}{2}}=39,23°[/mm]
>
> (39,23°)*6=235,38°
nicht falsch, besser im Bogenmass
>
> b) [mm]z=216*e^{i235,39°}[/mm]
Solltest du es nicht noch in a+ib umformen?
> c)
> [mm]r=\wurzel{2}^{13}=90,50[/mm]
>
> [mm]tan\phi=\bruch{y}{x}=\bruch{-1}{1}=-1=\bruch{3}{4}\pi=67,002°[/mm]
dass [mm] \pi/2=90° [/mm] ist sollte man eigentlich wissen, ausserdem sehen, dass 1-i keinen so komischen Winkel bildet!
> (67,002°)*13=871,03°
falsch, selbst wenn es richtig wäre, gibt man den Winkel immer unter 360° bzw [mm] 2\pi [/mm] an.
871°=720+152° also 152° aber wie gesagt falsch.
Arbeite etwas mewhr mit einfachen Zeichnungen für die kompl. Zahlen, dann vermeidest du so grobe Fehler.
>
> [mm]z=90,50*e^{i871,03°}[/mm]
>
> wie kann ich das jetzt in die form z=x+iy bringen?
[mm] z=rcos\phi+irsin\phi
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 So 23.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
hallo,
wir geben die winkel im bogenmaß an.
b)
[mm] \wurzel{\bruch{9}{4}+\bruch{3}{2}}=\wurzel{\bruch{15}{4}}
[/mm]
[mm] r^{6}=52,73
[/mm]
z=-29,94-43,39i
ich glaube nicht, dass das richtig ist.
c)
wie kommst du auf [mm] \pi/2?
[/mm]
Ich habe jetzt mal die die andere Formel geommen, bekomme da einen ganz anderen Winkel: [mm] cos\phi=\bruch{x}{r}=\bruch{1}{\wurzel{2}}=\bruch{\pi}{4}
[/mm]
wie kann das sein?
[mm] \bruch{\pi}{4}*6=\bruch{3}{2}\pi
[/mm]
[mm] z=90,50*e^{i\bruch{3}{2}\pi}
[/mm]
z=90,20+i7,435
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 So 23.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> hallo,
>
> wir geben die winkel im bogenmaß an.
>
> b)
> [mm]\wurzel{\bruch{9}{4}+\bruch{3}{2}}=\wurzel{\bruch{15}{4}}[/mm]
>
> [mm]r^{6}=52,73[/mm]
richtig, aber besser [mm] (15/4)^3
[/mm]
>
> z=-29,94-43,39i
richtig, letzte Stelle hab ich um 1 anders.
> ich glaube nicht, dass das richtig ist.
wieso?
>
> c)
> wie kommst du auf [mm]\pi/2?[/mm]
Na ja, wenn man [mm] \pi/2 [/mm] kennt, dann doch wohl auch [mm] \pi/4 [/mm]
> Ich habe jetzt mal die die andere Formel geommen, bekomme
> da einen ganz anderen Winkel:
> [mm]cos\phi=\bruch{x}{r}=\bruch{1}{\wurzel{2}}=\bruch{\pi}{4}[/mm]
>
> wie kann das sein?
Warum zeichnest du nicht mal endlich? cosx=cos(-x) also [mm] \phi=\pi/4 [/mm] oder [mm] -\pi/4-\pi/4 [/mm] entspricht [mm] 2\pi-\pi/4=7\pi/4
[/mm]
[mm] tan\phi=-1 [/mm] folgt [mm] \phi=-\pi/4 [/mm] oder [mm] \phi=3\pi/4 [/mm] dann entscheidet der sin welches, oder eben die Zeichnung.
Du solltest dich mit den fkt sin, cos tan vertraut machen, tanx=r hat immer mehrere Lösungen! es ist wirklich besser z grob zu skizzieren!
> [mm]\bruch{\pi}{4}*6=\bruch{3}{2}\pi[/mm]
wieso jetzt hoch 6? die Aufgabe ist hoch 13 und entweder [mm] 7/4*\pi [/mm] oder [mm] -\pi/4
[/mm]
ist die richtige Lösung.
Arbeit doch -wenn schon an Ostern - ein bissel konzentrierter und hör auch mal auf nen guten Rat! insbesondere lernst du nicht mit kompl zahlen umgehen, wenn du sie nicht oft genug eingezeichnet hast. nach den ersten zwanzig bis 100 sieht man sie dann schon von allein in der Gaussschen Ebene.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 So 23.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
hallo,
b)
wie bekomme ich denn den winkel 235,38° ins bogenmaß?
es gibt ja hier diese Formel: [mm] 2\pi*\bruch{\alpha}{360°}
[/mm]
da bekomme ich aber keinen genauen wert. gibt es noch eine andere methode?
c)
ich habe es eingezeichnet, der winkel ist also jetzt [mm] -\bruch{\pi}{4}, [/mm] da der pfeil nach im negativen bereich liegt?
das mit dem mal 6 war ein schusselfehler von mir.
Also
[mm] -\bruch{\pi}{4}*13=-\bruch{13}{4}\pi
[/mm]
[mm] z=(2)^{\bruch{13}{2}}*e^{i-\bruch{13}{4}\pi} [/mm]
das sieht doch schonmal besser aus!
z=89,07-16,04i
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 So 23.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nicht alle Winkel sind rationale Bruchteile von [mm] \phi.
[/mm]
2. warum rechnest du nicht direkt mit dem TR und rad statt deg. das solltest du dir eh angewöhnen! (Nur bei geometrischen Zeichnungen dreiecken und dergl. gibt man Winkel in Grad an.)
aber sonst ist deine Formel richtig.
Deine kommastellen bei der winkelangabe sind ja auch nicht exakt. i.A. ist [mm] \phi [/mm] ne reelle Zahl, die du halt nur auf ne gewisse Stellenzahl angeben kannst.
[mm] \phi=-13/4*\pi [/mm] ist keine übliche darstellung. [mm] \phi [/mm] sollte immer zwischen [mm] -2\pi [/mm] und [mm] +2\pi [/mm] liegen, also noch reduzieren!
statt [mm] 2^{13/2} \wurzel{2}*2^6 [/mm] oder [mm] 64*\wurzel{2}
[/mm]
Gruss leduart
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