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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:54 Mi 03.12.2008 | | Autor: | MacMath |
| Aufgabe | Sei [mm]D:=\{z\in \IC,z\not= -k,k\in \IN_0\}[/mm]
und [mm] f: D\to \IC, z \mapsto \summe_{i=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{1}{k!(z+k)}+\integral_{1}^{\infty}{e^{-t}t^{z-1} dt}[/mm]
Zeigen sie:
a) [mm]f[/mm] ist wohldefiniert
b) [mm]f[/mm] ist auf [mm]D[/mm] holomorph
c) [mm] f(z)=\Gamma(z) [/mm] für alle [mm]z \in D[/mm] mit [mm]Re(z)>0[/mm]
d) Es gilt [mm]f(z+1)=zf(z)[/mm] für alle [mm]z \in D[/mm] |
Wir hatten für die rechte Halbebene definiert:
[mm]\Gamma(z)=\integral_{0}^{\infty}{e^{-t}t^{z-1} dt}[/mm]
zu a) Hier wäre wohl zu zeigen dass Reihe und Integral je absolut konvergieren, wie gehe ich bei dem Integral vor?
b,c) hier hab ich gar keine idee
d) folgt ja zum Teil aus c), ich versuche den Teil mit elementarem Einsetzen zu lösen, oder hat jemand einen eleganteren Vorschlag?
Danke im vorraus :)
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:25 Do 04.12.2008 | | Autor: | MacMath |
ich denke ich kann d.) nun lösen.
[mm] \bruch{f(z+1)}{z} [/mm] ist holomorph (oder muss da noch etwas gezeigt werden?)
und stimmt nach (leider noch ungelöstem) Teil c) mit [mm] \Gamma(z) [/mm] überein (für Re(z)>0)
D ist ein Gebiet und der Def.-Bereich von [mm] \Gamma [/mm] liegt nicht diskret in D.
Die Behauptung folgt dann mit Identitätssatz (denke ich^^)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:10 Do 04.12.2008 | | Autor: | MacMath |
Angenommen man hätte die holomorphie aus b.) so würde ja genügen die Gleichheit auf einer nicht diskreten Teilmenge der rechten Halbebene zu zeigen. Ich hab das einmal mit [mm] (1+\bruch{1}{n}) [/mm] gemacht, und dann erhalten:
[mm] \integral_{0}^{1}{t^{\bruch1n}e^{-t}dt}=\summe_{k=0}^\infty \bruch{1}{k!(1+\bruch1n+k)}
[/mm]
Jemand eine Idee ab dort oder kann es zumindest bestätigen (oder im Notfall widerlegen :P )?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:12 Do 04.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei [mm]D:=\{z\in \IC,z\not= -k,k\in \IN_0\}[/mm]
> und [mm]f: D\to \IC, z \mapsto \summe_{i=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{1}{k!(z+k)}+\integral_{1}^{\infty}{e^{-t}t^{z-1} dt}[/mm]
>
> Zeigen sie:
> a) [mm]f[/mm] ist wohldefiniert
Zum Integral siehe b).
Zur Reihe: das sollte nicht so schwer sein. Es reicht uebrigens aus lokal die absolute Konvergenz zu zeigen, also wenn du $z$ auf einen beschraenkten Bereich beschraenkst. Daraus folgt dann auch gleich die Holomorphie der Reihe.
> b) [mm]f[/mm] ist auf [mm]D[/mm] holomorph
Hattet ihr mal gezeigt, dass die [mm] $\Gamma$-Funktion [/mm] auf [mm] $\{ z \in \IC \mid \Re z > 0 \}$ [/mm] holomorph ist? Wenn ja, kannst du den Beweis sicher fuer den Integral-Teil uebernehmen.
> c) [mm]f(z)=\Gamma(z)[/mm] für alle [mm]z \in D[/mm] mit [mm]Re(z)>0[/mm]
Wenn ihr wisst, dass die [mm] $\Gamma$-Funktion [/mm] holomorph ist, kann man auch die Ableitungen in einem Punkt vergleichen um Gleichheit zu zeigen. Vielleicht hilft das hier?
> d) Es gilt [mm]f(z+1)=zf(z)[/mm] für alle [mm]z \in D[/mm]
Da hast du ja schon eine Loesung. Allgemein will man ja zeigen, dass die Funktion $f(z + 1) - z f(z)$ identisch 0 ist. Da $f(z + 1) - z f(z)$ auf [mm] $\{ \Re z > 0 \}$ [/mm] mit [mm] $\Gamma(z [/mm] + 1) - z [mm] \Gamma(z) [/mm] = 0$ uebereinstimmt, ist das der Fall.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Fr 05.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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