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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:11 Fr 29.04.2011 | | Autor: | Filiz |
| Aufgabe | Bestimmen Sie (mit höchstens vier Zeilen Rechnung) die Fourrierreihen der Funktionen
[mm] f(x)=cos^{2}(x) [/mm] , [mm] g(x)=sin^{2}(x) [/mm] |
Ich habe zunächst versucht [mm] a_{k} [/mm] und [mm] b_{k} [/mm] zu berechnen, indem ich die Funktionen in die "Formel" eingesetzt habe.
Hier ist aber auch schon das Problem aufgetaucht, dass ich beim integrieren von z.b. [mm] cos^{2}(x)*cos(kx) [/mm] eine ganze DIN4 Seite gebrauche und trotzdem nicht zum Ziel komme,
also dachte ich mir, dass es da irgendwo einen speziellen kniff geben muss; und wenn es den gibt, dann bitte ich darum.
Danke im vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:20 Sa 30.04.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Bestimmen Sie (mit höchstens vier Zeilen Rechnung) die
> Fourrierreihen der Funktionen
>
> [mm]f(x)=cos^{2}(x)[/mm] , [mm]g(x)=sin^{2}(x)[/mm]
> Ich habe zunächst versucht [mm]a_{k}[/mm] und [mm]b_{k}[/mm] zu berechnen,
> indem ich die Funktionen in die "Formel" eingesetzt habe.
>
> Hier ist aber auch schon das Problem aufgetaucht, dass ich
> beim integrieren von z.b. [mm]cos^{2}(x)*cos(kx)[/mm] eine ganze
> DIN4 Seite gebrauche und trotzdem nicht zum Ziel komme,
> also dachte ich mir, dass es da irgendwo einen speziellen
> kniff geben muss; und wenn es den gibt, dann bitte ich
> darum.
>
> Danke im vorraus.
Setze mal $cos(x) = [mm] \frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})$ [/mm] und [mm] $sin(x)=\frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})$ [/mm] ein, quadriere dann und schreibe das Ergebnis wieder als Sinus/Kosinus. Du wirst sehen, dass die Fourierreihen sehr einfach sind, nur sehr wenige Koeffizienten sind nicht gleich 0.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Sa 30.04.2011 | | Autor: | Filiz |
Also ich habe es jetzt auch so versucht:
[mm] cos^{2}(x)=\bruch{1}{4}(e^{ix}+e^{-ix})^{2}=\bruch{1}{4}(e^{2ix}+2e^{ix-ix}+e^{-2ix}),weil
[/mm]
[mm] e^{ix-ix}=e^{0}=1
[/mm]
folgt:
[mm] cos^{2}(x)=\bruch{1}{4}(e^{2ix}+2+e^{-2ix})=\bruch{1}{4}e^{2ix}+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}e^{-2ix}
[/mm]
In [mm] a_{k}:
[/mm]
[mm] a_{k}=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{2\pi}{(\bruch{e^{2ix}}{4}+\bruch{1}{2}+\bruch{e^{-2ix}}{4}) cos(kx) dx}
[/mm]
Ist es soweit richtig, oder sollte ich die Gleichung
[mm] cos(x)=\bruch{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix}) [/mm] nach cos(kx) umformen und auch ersetzen, weil ich immer noch nicht zum Ziel gelange.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 Sa 30.04.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
das gibt aber mehr als vier Zeilen Rechnung. Forme doch die Funktionen um, und Du kannst die Koeffizienten direkt ablesen.
[mm] \cos^2 x = \bruch{1}{2} (1 +cos 2x) [/mm] und
[mm] sin^2 x = \bruch{1}{2} (1-cos 2x) [/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Sa 30.04.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> [mm]cos^{2}(x)=\bruch{1}{4}(e^{2ix}+2+e^{-2ix})=\bruch{1}{4}e^{2ix}+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}e^{-2ix}[/mm]
Hier erkennst du genau das, was Infinit schon geschrieben hat und worauf ich auch hinaus wollte:
[mm]cos^{2}(x)=\bruch{1}{4}(e^{2ix}+2+e^{-2ix})=\bruch{1}{4}e^{2ix}+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}e^{-2ix}= \bruch {1}{2}+\bruch{1}{2}(\bruch{e^{2ix}+e^{-2ix}}{2})=\bruch {1}{2}+\bruch{1}{2}cos(2x)[/mm]
Analog für den Sinus.
LG Lippel
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