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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:26 Mi 03.06.2009 | | Autor: | Darksen |
| Aufgabe 1 | Das Integral
[mm] $\displaystyle \Large \frac{1}{2} \int^4 [/mm] _0 [mm] \cos [/mm] (34 [mm] \pi \cdot x)\cdot x^{3} [/mm] dx$
ist ein Fourierkoeffizient der Funktion $ [mm] f(x)=x^{3} [/mm] $ mit Definitionsbereich $ [0, 4 [ $. Um welchen Fourierkoeffizient handelt es sich? |
| Aufgabe 2 | | Bestimmen Sie die Fourier-Reihe von [mm] ${\sin\left(x\right)^{2}}$ [/mm] |
Guten Morgen.
Habe heute gleich mal 2 Fragen 
Habe beide Aufgaben schon durchgerechnet, aber mein Ergebnis kann nicht erkannt werden (bei der ersten Aufgabe; bei der zweiten war es falsch).
Da ich wieder mal nicht weiter weiß, frage ich hier mal um Rat
Meine Lösung für Aufgabe 2 ist 4 Seiten lang, daher hier nur mal das Endergebnis:
[mm] \bruch{\Pi}{2}-\bruch{1}{4\Pi}*\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{-2}{n-2}-\bruch{3}{n}*\cos{nx}
[/mm]
Da das wie gesagt nicht erkannt wird, habe ich auch keine Ahnung, obs richtig oder total falsch is ... Sollte es falsch sein, wäre eine Korrektur nett (mit Erklärung wenn möglich, denn in der VL wurds nicht so gut erklärt...).
Bei der ersten Aufgabe habe ich als Antwort den 34. cos-Koeffizienten gewählt, war falsch ... jetzt weiß ich da auch nicht weiter, irgendwie stehe ich auf dem Schlauch.
Kann mir dabei jemand helfen?
Danke im Voraus
Darksen
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> Das Integral
> [mm]\displaystyle \Large \frac{1}{2} \int^4 _0 \cos (34 \pi \cdot x)\cdot x^{3} dx[/mm]
>
> ist ein Fourierkoeffizient der Funktion [mm]f(x)=x^{3}[/mm] mit
> Definitionsbereich [mm][0, 4 [ [/mm]. Um welchen Fourierkoeffizient
> handelt es sich?
> Bei der ersten Aufgabe habe ich als Antwort den 34.
> cos-Koeffizienten gewählt, war falsch ... jetzt weiß ich da
> auch nicht weiter, irgendwie stehe ich auf dem Schlauch.
> Kann mir dabei jemand helfen?
Hallo,
es ist doch [mm] \displaystyle a_n=\frac{2}{T}\int_{c}^{c+T} [/mm] f(t) [mm] \cdot \cos(n\omega t)\, \mathrm{d}t [/mm] .
Du hast in der Aufgabe die Periodenlänge T=4, entsprechend die Frequenz [mm] \omega=\bruch{2\pi}{4}=\bruch{\pi}{2}.
[/mm]
Also ist 34 [mm] \pi \cdot [/mm] x= [mm] n\omega x=n*\bruch{\pi}{2}x, [/mm] alo n=68. Paßt's?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:21 Mi 03.06.2009 | | Autor: | Darksen |
Ja, das passt.
Dankeschön. =)
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> Bestimmen Sie die Fourier-Reihe von
> [mm]{\sin\left(x\right)^{2}}[/mm]
> Meine Lösung für Aufgabe 2 ist 4 Seiten lang, daher hier
> nur mal das Endergebnis:
> [mm]\bruch{\Pi}{2}-\bruch{1}{4\Pi}*\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{-2}{n-2}-\bruch{3}{n}*\cos{nx}[/mm]
> Da das wie gesagt nicht erkannt wird,
Hallo,
aha.
Ich habe nichts, womit ich das per Knopfdruck prüfen könnte - und bin auch nur schwach motiviert, auch 4 Seiten zu rechnen.
Ich würde bevorzugen, daß Du rechnest...
Wie hast Du denn angefangen?
Periode, Frequenz, Symmetrie?
Welche Integrale hattest Du für die Koeffizienten zu lösen, welche Ergebnisse hast Du erhalten?
das wären ja schonmal Anhaltspunkte.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:27 Mi 03.06.2009 | | Autor: | Darksen |
Angefangen habe ich mit
[mm] a_{k}=\bruch{1}{\Pi}*\integral_{0}^{2\Pi}{cos(nx)*sin(x)² dx}
[/mm]
und
[mm] b_{k}=\bruch{1}{\Pi}*\integral_{0}^{2\Pi}{sin(nx)*sin(x)² dx}
[/mm]
Das habe ich aufgespalten in
[mm] \integral_{0}^{\Pi}{sin(nx)*(\Pi-sin(x)²) dx}+\integral_{\Pi}^{2\Pi}{sin(nx)*(sin(x)²-\Pi )dx}
[/mm]
und das wiederum in
[mm] \integral_{0}^{\Pi}{\Pi*sin(nx)dx}-\integral_{0}^{\Pi}{sin(x)²*sin(nx)dx}+\integral_{\Pi}^{2\Pi}{sin(x)²*sin(nx)dx}-\integral_{\Pi}^{2\Pi}{\Pi*sin(nx)dx}
[/mm]
Die Stammfunktionen habe ich als
[mm] -\bruch{cos(nx)}{n}
[/mm]
und
[mm] \bruch{1}{4}*(\bruch{cos((n-2)x}{n-2}-\bruch{2cos(nx)}{n}+\bruch{cos((n+2)x)}{n+2})
[/mm]
Die Grenzen eingesetzt ergibt 0 [mm] \forall [/mm] sin-Koeffizienten
Bleibt für [mm] a_{0}=\bruch{1}{\Pi}*(-\bruch{1}{4}*(-\bruch{2}{n-2}+\bruch{3}{n}))
[/mm]
Also ist [mm] f(x)=\bruch{\Pi}{2}*\summe_{n=1}^{\infty}a_{n}*sin(nx)
[/mm]
mit [mm] a_{n}=\bruch{1}{4}*(-\bruch{2}{n-2}+\bruch{3}{n})
[/mm]
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Aber ich denke, das ist falsch; Allerdings weiß ich nicht, wo ich anfangen soll, den Fehler zu suchen...
Kannst du mir da jetzt weiterhelfen?
MfG
Darksen
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> Angefangen habe ich mit
> [mm]a_{k}=\bruch{1}{\Pi}*\integral_{0}^{2\Pi}{cos(nx)*sin(x)² dx}[/mm]
Hallo,
Du arbeitest mit [mm] T=2\pi, [/mm] aber die Periodenlänge von sin^2x ist nur [mm] \pi.
[/mm]
Das ändet ja schon ein bißchen was.
Wenn Du Dir sin^2x mal anschaust (Alternative: nachdenken), dann siehst Du, daß die Funktion gerade ist. Die [mm] b_k [/mm] sind also alle =0, ws nicht zuletzt viel Mühe erspart.
Vielleicht überdenkst Du Deine Lösung mal unter diesen Gesichtspunkten, weiter nachgerechnet habe ich im Moment nicht.
Gruß v. Angela
>
> und
> [mm]b_{k}=\bruch{1}{\Pi}*\integral_{0}^{2\Pi}{sin(nx)*sin(x)² dx}[/mm]
>
> Das habe ich aufgespalten in
>
> [mm]\integral_{0}^{\Pi}{sin(nx)*(\Pi-sin(x)²) dx}+\integral_{\Pi}^{2\Pi}{sin(nx)*(sin(x)²-\Pi )dx}[/mm]
>
> und das wiederum in
>
> [mm]\integral_{0}^{\Pi}{\Pi*sin(nx)dx}-\integral_{0}^{\Pi}{sin(x)²*sin(nx)dx}+\integral_{\Pi}^{2\Pi}{sin(x)²*sin(nx)dx}-\integral_{\Pi}^{2\Pi}{\Pi*sin(nx)dx}[/mm]
>
> Die Stammfunktionen habe ich als
> [mm]-\bruch{cos(nx)}{n}[/mm]
> und
> [mm]\bruch{1}{4}*(\bruch{cos((n-2)x}{n-2}-\bruch{2cos(nx)}{n}+\bruch{cos((n+2)x)}{n+2})[/mm]
>
> Die Grenzen eingesetzt ergibt 0 [mm]\forall[/mm] sin-Koeffizienten
>
> Bleibt für
> [mm]a_{0}=\bruch{1}{\Pi}*(-\bruch{1}{4}*(-\bruch{2}{n-2}+\bruch{3}{n}))[/mm]
>
> Also ist
> [mm]f(x)=\bruch{\Pi}{2}*\summe_{n=1}^{\infty}a_{n}*sin(nx)[/mm]
> mit [mm]a_{n}=\bruch{1}{4}*(-\bruch{2}{n-2}+\bruch{3}{n})[/mm]
>
> --------------------
>
> Aber ich denke, das ist falsch; Allerdings weiß ich nicht,
> wo ich anfangen soll, den Fehler zu suchen...
> Kannst du mir da jetzt weiterhelfen?
>
> MfG
> Darksen
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