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Fourier-Reihen: periodische Fortsetzung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:50 Do 17.12.2015
Autor: Skyrula

Aufgabe
Entwickeln Sie die [mm] 2\pi [/mm] -periodische Fortsetzung der Funktion f mit [mm] f(x)=e^{ax} [/mm] für [mm] x\in [-\pi,\pi),a\in\IR, [/mm] in eine reelle Fourier-Reihe

Hallo zusammen,

dass ist bei weitem die schwierigste Aufgabe seit langer Zeit in meinem Studium. Der Prof hat aus den späteren Semestern Stoff vorziehen wollen um uns später zu entlasten.

Zahlreiche Tutorials und Skripte die ich im Netz gefunden habe, konnten mir nicht wirklich weiterhelfen, weil ich nicht wusste, an welchem Punkt ich denn in den Stoff einsteigen muss um die Aufgabe lösen zu können.

Also über einen ersten Denkanstoß würde ich mich sehr freuen und würde diesen dann Versuchen weiterzuführen.

Vielen Dank :-)

        
Bezug
Fourier-Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:15 Do 17.12.2015
Autor: fred97


> Entwickeln Sie die [mm]2\pi[/mm] -periodische Fortsetzung der
> Funktion f mit [mm]f(x)=e^{ax}[/mm] für [mm]x\in [-\pi,\pi),a\in\IR,[/mm] in
> eine reelle Fourier-Reihe
>  Hallo zusammen,
>  
> dass ist bei weitem die schwierigste Aufgabe seit langer
> Zeit in meinem Studium. Der Prof hat aus den späteren
> Semestern Stoff vorziehen wollen um uns später zu
> entlasten.
>  
> Zahlreiche Tutorials und Skripte die ich im Netz gefunden
> habe, konnten mir nicht wirklich weiterhelfen, weil ich
> nicht wusste, an welchem Punkt ich denn in den Stoff
> einsteigen muss um die Aufgabe lösen zu können.
>
> Also über einen ersten Denkanstoß würde ich mich sehr
> freuen und würde diesen dann Versuchen weiterzuführen.
>  
> Vielen Dank :-)


Berechne

   $ [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cdot\cos\left(kt\right)\mathrm dt\quad\text{für }k\geq0 [/mm] $

und


   $ [mm] b_{k} [/mm] = [mm] \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cdot\sin\left(kt\right)\mathrm dt\quad\text{für }k\geq1 [/mm] $

Dann ist die Fourierreihe von f gegeben durch

    

    [mm] $\frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k}\cos\left(kt\right)+b_{k}\sin\left(kt\right)\right) [/mm] $

Für $t [mm] \in [/mm] (- [mm] \pi, \pi) [/mm] $ gilt dann

    

   $ [mm] f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k}\cos\left(kt\right)+b_{k}\sin\left(kt\right)\right) [/mm] $

Warum ?

FRED

Bezug
                
Bezug
Fourier-Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:31 Do 17.12.2015
Autor: Skyrula

Hallo, danke für deine Antwort.

Diese Definition habe ich ebenfalls im Internet gefunden, und habe in den Integralen [mm] a_k [/mm] und [mm] b_k [/mm] für f(x) eingesetzt.

Wieso man letzendlich auf  [mm] \frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k}\cos\left(kt\right)+b_{k}\sin\left(kt\right)\right) [/mm] kommt leuchtet mir jedoch nicht ein.

Und ist  [mm] \frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k}\cos\left(kt\right)+b_{k}\sin\left(kt\right)\right) [/mm] mit den ausgerechenten Elementen, die ich dann einsetzen würde das gesuchte Ergebnis?

Sitze hier mit mehreren Kommilitonen und uns zeigt sich der Sinn hinter dem Ganzen noch nicht.

Bezug
                        
Bezug
Fourier-Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:27 Do 17.12.2015
Autor: Infinit

Hallo skyrula,
alles was Du bei so einer Fourierreihenentwicklung machst, ist, dass Du eine vorgegebene periodische Funktion mit Hilfe von Sinus- und Cosinuskomponenten beschreibst. Mehr ist es nicht. Der Vorteil gerade dieser Art der Beschreibung liegt darin, dass man so leicht einen Zusammenhang zu einer Darstellung im Frequenzbereich aufbauen kann. Die Frequenzdarstellung besteht aus diskreten Frequenzlinien, die im Abstand
[mm] k= \bruch{2\pi}{L} [/mm] auftreten. Hierbei ist [mm] L [/mm]gerade die Periodendauer im Originalbereich, der meist der Zeitbereich ist.
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
                                
Bezug
Fourier-Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:25 Do 17.12.2015
Autor: Skyrula

Vielen Dank für die Erklärung und die mathematische Hilfe, das war beides sehr hilfreich.

:-)

Bezug
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