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| Aufgabe | Sei [mm] $f\in\mathcal{L}^1(\mathbb{R})$. [/mm] Zeigen Sie:
a) Die Fourier-Transformierte [mm] $\hat{f}$ [/mm] ist stetig
b) Ist [mm] $a\in\mathbb{R}$ [/mm] und bezeichnet [mm] $t_a:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ [/mm] die Translation [mm] $x\mapsto [/mm] x+a$, so gilt
[mm] $\widehat{f\circ t_a}(\xi)=\hat{f}(\xi)e^{ia\xi}$ [/mm] für alle [mm] $\xi\in\mathbb{R}$
[/mm]
c) Für jedes [mm] $\epsilon>0$ [/mm] existiert ein [mm] $\delta>0$ [/mm] so, dass für alle [mm] $a\in(-\delta,\delta)$ [/mm] und [mm] $\xi\in\mathbb{R}$ [/mm] gilt:
[mm] $|\hat{f}(\xi)(1-e^{i\xi a})|<\epsilon$
[/mm]
d) Für alle [mm] $\xi\in\mathbb{R}$ [/mm] mit [mm] $|\xi|>\frac{\pi}{2\delta}$ [/mm] gilt [mm] $|\hat{f}(\xi)|<\epsilon$.
[/mm]
(Bemerkung: Insbesondere gibt es für jedes [mm] $\epsilon>0$ [/mm] ein $R>0$ mit [mm] $|\hat{f}(\xi)|<\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $\xi\in\mathbb{R}$ [/mm] mit [mm] $|\xi|>R$, [/mm] d.h. [mm] $\hat{f}$ [/mm] verschwindet im unendlichen. Also [mm] $\hat{f}\in C_0(\mathbb{R})$) [/mm] |
Hallo,
ich hätte ein paar Fragen zu dieser Aufgabe.
zu a)
Ich möchte zeigen, dass die Fourier-Transformierte stetig ist.
[mm] $f\in\mathcal{L}^1(\mathbb{R})$. [/mm] Dies heißt doch, dass f integrierbar ist, also
[mm] $\int_{\mathbb{R}} |f(x)|\, dx<\infty$
[/mm]
Die Fourier-Transformierte ist wie folgt definiert:
[mm] $\hat{f}(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}} f(x)e^{-ix\xi}\, [/mm] dx$ für alle [mm] $\xi\in\mathbb{R}$
[/mm]
Dies ist stetig, weil f eine stetige Funktion ist und auch [mm] $e^{-ix\xi}$ [/mm] stetig.
Das Integral ist dann ebenfalls stetig.
zu b)
[mm] $\widehat{f\circ t_a}(\xi)=\hat{f}(\xi)e^{ia\xi}$
[/mm]
Gehe ich wie folgt richtig vor?
[mm] $\widehat{f\circ t_a}(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}} f(t_a(x))e^{-it_a(x)\xi}\, dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}} f(x+a)e^{-i(x+a)\xi}\, dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}} f(x+a)e^{-ix\xi-ia\xi}\, dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-ia\xi}\int_{\mathbb{R}} f(x+a)e^{-ix\xi}\, [/mm] dx$
Denn:
1. Ich würde ein anderes Vorzeichen erhalten. Ist dies vielleicht ein Tippfehler in der Aufgabenstellung? Ich erhalte ja den zusätzlichen Vorfaktor [mm] $e^{-ia\xi}$ [/mm] und nicht [mm] $e^{ia\xi}$.
[/mm]
2. Wie gehe ich mit dem f(x+a) um? Dies sollte im Laufe der Rechnung ja wieder zu f(x) werden, denn
[mm] $\hat{f}(\xi)e^{ia\xi}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ia\xi}\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{-ix\xi}\, [/mm] dx$
Oder verstehe ich etwas falsch?
Über eine Korrektur würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:18 Di 12.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f\in\mathcal{L}^1(\mathbb{R})[/mm]. Zeigen Sie:
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> a) Die Fourier-Transformierte [mm]\hat{f}[/mm] ist stetig
>
> b) Ist [mm]a\in\mathbb{R}[/mm] und bezeichnet
> [mm]t_a:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/mm] die Translation [mm]x\mapsto x+a[/mm],
> so gilt
>
> [mm]\widehat{f\circ t_a}(\xi)=\hat{f}(\xi)e^{ia\xi}[/mm] für alle
> [mm]\xi\in\mathbb{R}[/mm]
>
> c) Für jedes [mm]\epsilon>0[/mm] existiert ein [mm]\delta>0[/mm] so, dass
> für alle [mm]a\in(-\delta,\delta)[/mm] und [mm]\xi\in\mathbb{R}[/mm] gilt:
>
> [mm]|\hat{f}(\xi)(1-e^{i\xi a})|<\epsilon[/mm]
>
> d) Für alle [mm]\xi\in\mathbb{R}[/mm] mit [mm]|\xi|>\frac{\pi}{2\delta}[/mm]
> gilt [mm]|\hat{f}(\xi)|<\epsilon[/mm].
>
> (Bemerkung: Insbesondere gibt es für jedes [mm]\epsilon>0[/mm] ein
> [mm]R>0[/mm] mit [mm]|\hat{f}(\xi)|<\epsilon[/mm] für alle [mm]\xi\in\mathbb{R}[/mm]
> mit [mm]|\xi|>R[/mm], d.h. [mm]\hat{f}[/mm] verschwindet im unendlichen. Also
> [mm]\hat{f}\in C_0(\mathbb{R})[/mm])
>
> Hallo,
>
> ich hätte ein paar Fragen zu dieser Aufgabe.
>
> zu a)
>
> Ich möchte zeigen, dass die Fourier-Transformierte stetig
> ist.
> [mm]f\in\mathcal{L}^1(\mathbb{R})[/mm]. Dies heißt doch, dass f
> integrierbar ist, also
>
> [mm]\int_{\mathbb{R}} |f(x)|\, dx<\infty[/mm]
>
> Die Fourier-Transformierte ist wie folgt definiert:
>
> [mm]\hat{f}(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}} f(x)e^{-ix\xi}\, dx[/mm]
> für alle [mm]\xi\in\mathbb{R}[/mm]
>
> Dies ist stetig, weil f eine stetige Funktion ist und auch
> [mm]e^{-ix\xi}[/mm] stetig.
> Das Integral ist dann ebenfalls stetig.
So einfach kannst Du Dir das nicht machen ! Ihr hattet sicher einen Satz über parameterabhängige Integrale. Benutze ihn !
>
> zu b)
>
> [mm]\widehat{f\circ t_a}(\xi)=\hat{f}(\xi)e^{ia\xi}[/mm]
>
> Gehe ich wie folgt richtig vor?
>
> [mm]\widehat{f\circ t_a}(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}} f(t_a(x))e^{-it_a(x)\xi}\, dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}} f(x+a)e^{-i(x+a)\xi}\, dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}} f(x+a)e^{-ix\xi-ia\xi}\, dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-ia\xi}\int_{\mathbb{R}} f(x+a)e^{-ix\xi}\, dx[/mm]
Schon das erste "=" ist falsch !
Es ist
[mm] $\widehat{f\circ t_a}(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}} f(t_a(x))e^{-ix \xi}\, dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}} f(x+a)e^{-ix \xi}\, [/mm] dx$
>
> Denn:
>
> 1. Ich würde ein anderes Vorzeichen erhalten. Ist dies
> vielleicht ein Tippfehler in der Aufgabenstellung? Ich
> erhalte ja den zusätzlichen Vorfaktor [mm]e^{-ia\xi}[/mm] und nicht
> [mm]e^{ia\xi}[/mm].
>
> 2. Wie gehe ich mit dem f(x+a) um?
In
[mm] $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}} f(x+a)e^{-ix \xi}\, [/mm] dx $
substituiere $u=x+a$
FRED
> Dies sollte im Laufe der
> Rechnung ja wieder zu f(x) werden, denn
>
> [mm]\hat{f}(\xi)e^{ia\xi}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ia\xi}\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{-ix\xi}\, dx[/mm]
>
> Oder verstehe ich etwas falsch?
>
>
> Über eine Korrektur würde ich mich sehr freuen.
> Vielen Dank im voraus.
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> Ihr hattet sicher einen Satz über parameterabhängige Integrale. Benutze ihn !
Leider kann ich mich an einen solchen Satz nicht erinnern. Ich habe gerade noch mal im Skript nachgesehen, aber bin da bisher auch nicht fündig geworden. Ich werde aber noch mal genauer nachschauen.
Könntest du mir die Aussage dieses Satzes aufschreiben? Vielleicht klingelt es dann bei mir.
> Schon das erste "=" ist falsch !
In meinem ersten Versuch hatte ich es so wie du gemacht, bin so aber nicht weitergekommen. Mit deiner Substitution gelingt es mir nun.
zu c)
In einer früheren Aufgabe wurde gezeigt, dass für jedes [mm] $p\in[1,\infty)$ [/mm] und jede Funktion [mm] $f\in\mathcal{L}^p(\mathbb{R}^d)$ [/mm] die Abbildung
[mm] $\mathbb{R}^d\to\mathcal{L}^p(\mathbb{R}^d)$
[/mm]
[mm] $a\mapsto f\circ t_a$
[/mm]
stetig ist.
Nach a) ist also [mm] $\hat{f}$ [/mm] stetig und ich weiß, dass [mm] $\widehat{f\circ t_a}$ [/mm] stetig ist.
Ich möchte also mit dem Epsilon-Delta-Kriterium arbeiten. Bin mir aber nicht sicher ob ich wie folgt vorgehen kann:
Sei [mm] $\epsilon>0$ [/mm] beliebig. Es ist [mm] $a\in(-\delta, \delta)$, [/mm] also gilt [mm] $|a|<\delta$. [/mm]
Dann ist auch [mm] $|\xi-(\xi+a)|<\delta$ [/mm] wegen Stetigkeit, gilt
[mm] $|\hat{f}(\xi)-\hat{f}(\xi+a)|<\epsilon$
[/mm]
Nutzt man jetzt Aufgabenteil b) und formt etwas um, folgt die Behauptung:
[mm] $|\hat{f}(\xi)-\hat{f}(\xi+a)|=|\hat{f}(\xi)-\hat{f}(\xi)e^{i\xi a}|=|\hat{f}(\xi)(1-e^{i\xi a})|<\epsilon$
[/mm]
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Über weitere Anmerkungen würde ich mich sehr freuen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 15.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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