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Forum "Fourier-Transformation" - Fourier auf kompaktem Träger
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Fourier auf kompaktem Träger: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:36 Do 03.11.2016
Autor: LoKiaK

Hallo,
an und für sich dachte ich die Fouriertransformation verstanden zu haben, jetzt komme ich aber in straucheln. Meine Frage:

kann ich eine Fouriertransformation auch für eine Funktion angeben, die ich nur auf einem Intervall, z.B. (0,1), betrachte? Oder gar für eine Funktion, die nur auf diesem Intervall definiert ist?
Macht es einen UNterschied, ob ich sage: "das Integral der Transformation läuft zwar über [mm] \pm \infty, [/mm] die Funktion ist aber außerhalb der Intervallgrenzen gleich Null und liefert dort keine Beiträge zum Integral" oder "die Funktion existiert nur auf diesem INtervall, also muss ich auch nur darüber integrieren"?
Was, wenn ich eine periodische Funktion transformieren möchte, aber nicht über die volle Periodizität, sondern nur über eine Teilmenge?

Für fachliche Unterstützung wäre ich dankbar,
viele Grüße
Andre

        
Bezug
Fourier auf kompaktem Träger: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:55 Fr 04.11.2016
Autor: Omega91

Hallo,


natürlich kannst du die Fouriertransformation nur entlang eines endlichen Intervalls machen - das hat auch einen Namen : finite Fouriertransformation - die hat auch eine gewisse praktische Bedeutung bei manchen Differentialgleichungen (speziell bei partiellen).

die finite Fouriertransformation ist definiert durch :

$F(x)= [mm] \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{L}f(t)e^{-ixt}dt$ [/mm]

im Endeffekt also genau so was ähnliches (nach dem du fragst) : die Fouriertransformierte einer Funktion f, die außerhalb von [0,L] verschwindet (beispielsweise durch Multiplikation mit einer sogenannten 'window-function'.)

LG



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Bezug
Fourier auf kompaktem Träger: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 20:49 Fr 04.11.2016
Autor: LoKiaK

Danke für die Antwort @Omega91.
Mich würde noch interessieren:

1. von welcher Bedeutung (speziell bei partiellen DGLn) sprichst Du?

2. ich meine mich daran erinnern zu können, dass FOurierreihen auf INtervallen definiert werden können. Die Konvergenz dieser Reihendarstellung ist aber nicht gesichert. Sie ist gegeben, wenn die Funktion auf dem Intervall stetig ist und wenn die Funktion periodisch ist. Korrekt?
Kann ich also einfach fordern, dass meine Funktion auf dem Intervall periodisch ist und dann mit der Fourierreihe arbeiten?
Oder sollte ich die Periodizität nicht fordern und sicherstellen, dass die Approximation mittels Reihe konvergiert?
Führt die Einengung auf ein Intervall immer zu diskreten Spektren?

3. Du sprachst von einer "window function": macht es einen Unterschied ob ich eine Funktion nur auf einem INtervall definiere und gewissermaßen keine Aussage darüber mache wie sie außerhalb des Intervalls ist (also einfach nur auf einer Untermenge des reellen Raums), oder ob ich sie außerhalb des INtervalls einfach als Null deklariere? Macht die Mathematik da einen Unterschied?

Wie Ihr/Du seht/sehen könnt schwirrt mir der Kopf vor lauter Fragen. Es wäre toll wenn mir jemand weiterhelfen würde.
Danke,
Gruß
Andre

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Fourier auf kompaktem Träger: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:21 So 06.11.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Fourier auf kompaktem Träger: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:10 So 06.11.2016
Autor: LoKiaK


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Bezug
Fourier auf kompaktem Träger: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 23:14 So 06.11.2016
Autor: LoKiaK

Hallo,
leider gab es keine Reaktion auf meine Frage, mich würde interessieren woran lag es?
Sind die Antworten trivial, oder ist unklar, was ich meine? Oder habe ich die Frage im falschen Raum plaziert?
Ich hake nach, weil mich die Antworten auf die Fragen wirklich interessien würden.
Gruß
Andre


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Fourier auf kompaktem Träger: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:21 Di 08.11.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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