Fourierkoef. vollständiges ONS < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 So 11.07.2010 | | Autor: | Snarfu |
| Aufgabe | | zz. [mm] $\{e_k\}$, $e_k:=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}$ [/mm] bilden vollständiges ONS von [mm] $C^1([-\pi,\pi])$ [/mm] |
Huhu Forum,
Ich habe gezeigt das die [mm] $\{e_k\}$ [/mm] ein ONS sind und das für $f [mm] \in C^1([-\pi,\pi])$, $x\in[-\pi,\pi]$ [/mm] gilt [mm] $\sum_{k=-n}^ke_k\to [/mm] f(x)$ für [mm] $n\to \infty$
[/mm]
Dann ist also [mm] $0=||f-\sum_{k=-n}^ke_k||^2$
[/mm]
[mm] $=||f||^2-\sum_{k=-n}^k||^2$ [/mm] für [mm] "n\to \infty$
[/mm]
Daraus kann ich nach einem Satz der Vorlesung folgern das die [mm] e_k [/mm] ein vollständiges ONS bilden.
Kann jemand bestätigen das dies soweit richtig ist?
Vielen Dank und Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 So 11.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
kannst du erst mal deine n und k in Ordnung bringen. wieso laufen etwa deine Summen von -n bis k, mit k ausserdem Summationsindex?
2. Wenn du gezeigt hast
$ [mm] \sum_{k=-n}^ke_k\to [/mm] f(x) $ für $ [mm] n\to \infty [/mm] $
falls das noch berichtigt wird, was fehlt dann noch? wie hast du das denn gezeigt?
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:25 So 11.07.2010 | | Autor: | Snarfu |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Huhu, danke für die Antwort,
also das sollte "$\sum_{k=-n}^n<f(x),e_k>e_k\to f(x) $ für $n\to \infty$"heißen und gedacht habe ich mir das so:
\pmat{ P_nf(x_0)-f(x_0) & = & \frac{1}{2\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{f(t) \sum_{k=-n}^n e^{ik(x_0-t)}dt}-f(x_0)
\\ & = & \frac{1}{2\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{f(t) \sum_{k=-n}^n e^{ik(x_0-t)}dt}-f(x_0)\underbrace{\frac{1}{2\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{\sum_{k=-n}^n e^{ik(x_0-t)}dt}}_{=1}
\\ & = & \frac{1}{2\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{(f(t)-f(x_0) \sum_{k=-n}^n e^{ik(x_0-t)}dt}
\\ & = & \frac{1}{2\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{(f(t)-f(x_0)(\frac{sin((2n+1)(x_0-t)/2}{sin((x_0-t)/2}) dt}
\\ & = & \frac{1}{2\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{g(t)sin((2n+1)(x_0-t)/2) dt} }
mit $g(t)=\frac{f(t)-f(x_0)}{sin((x_0-t)/2)$
nach dem Riemann-Lebesgue-Lemma (Satz) gilt nun
$ \frac{1}{2\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{g(t)sin((2n+1)(x_0-t)/2) dt}\to 0$ für $n\to \infty$
tut mir leid das dass das so lange gedauert hat, Firefox ist zwischendurch abgeschmiert. Thx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 13.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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