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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 16:23 Mi 12.02.2014 | | Autor: | Marcel |
| Aufgabe | Aufgabe: Gegeben sei ein reelles Signal [mm] $s(t)\,.$ [/mm] Wir betrachten ein verschobenes Signal [mm] $v(t)=s(t-t_0).$ [/mm]
Kann man eine Normierung für die Fourierkoeffizienten so angeben, dass man im Spektrum erkennt, dass [mm] $g\,$ [/mm] aus [mm] $s\,$ [/mm] durch Verschiebung hervorgegangen ist? |
Hallo,
vorweg: Der obige Begriff "Normierung" ist natürlich eher im umgangssprachlichen
Sinne gemeint bzw. so, wie er in den Ingenieurwissenschaften vorkommt.
Die Idee ist folgende: Das Amplitudenspektrum von [mm] $s(t)\,$ [/mm] und [mm] $v(t)\,$
[/mm]
ist identisch, nur im Phasenspektrum (es geht hier um komplexe F.K.) erkennt
man Unterschiede. Formal kenne ich zwar einen Zusammenhang zwischen
den F.K. von [mm] $s(t)\,$ [/mm] und denen von [mm] $v(t)\,,$ [/mm] aber der hilft mir nicht.
Die erste Idee war es, einfach durch den ersten komplexen F.K. zu teilen,
aber auch dann stimmen die Phasenspektren nicht überein.
(Woher die Idee stammt: Das kommt aus der Bildverarbeitung bei 2D-Objekten.
Dort hat man aber den Vorteil, dass man entlang des (geschlossenen) Rands
eines Objekts die F.K. berechnet und man dann im ersten F.K. sogar eine
geometrische/physikalische Interpretation findet. Wer danach sucht:
Fourierdeskriptoren nennt man diese Dinger da, und es gibt da die Möglichkeit,
Fourierspektren von solchen Objekten mit einem "Minimalsatz" zu beschreiben.
Damit hat man etwas in der Hand, was dann lageinvariant ist.)
Hat da jemand Ahnung zu? Was ich gefunden hatte, war eine Arbeit
(die kann ich hier auch nochmal verlinken), wo jemand auch die F.D.
auch auf nicht geschlossene Kurven angewendet hatte - da war die Idee
etwa, einfach die Kurve erstmal zu einer geschlossenen zu machen, indem
man die Endpunkte verbindet.
Bei mir funktioniert das aber auch nicht:
Denn wenn ich mit den Graphen von [mm] $s(t)\,$ [/mm] und den von [mm] $v(t)\,$ [/mm] im Bereich
$[0,T]$
[mm] ($T\,$ [/mm] sei Periodendauer) angucke, dann bekomme ich zwei verschiedene
2D-Objekte. Das will ich ja gerade nicht.
Dann (ich glaube, dazu muss ich die Arbeit gleich nochmal raussuchen und
verlinken) gab's aber für nicht geschlossene Kurven auch noch eine andere
Möglichkeit, indem man sie sich als unendlich lange "Aneinanderkettung"
der Bögen vorstellt. Dann konnte man mit der Ableitung arbeiten. Allerdings
tauchte dabei der Begriff der zulässigen Parametrisierung auf, und was eine
Parametrisierung ist, ist schon klar. Aber was bedeutet dabei "zulässig"?
Wenn ich das wüßte könnte ich die zweite Idee verfolgen...
Aber vielleicht hat ja auch jemand eine (andere) Idee, was man hier tun
könnte. Falls nicht wird der Link auf jeden Fall nachgeliefert, falls doch,
so kann ich ihn natürlich auch nachliefern (es dauert nur etwas, bis ich ihn
wieder gefunden haben werde...).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:48 Mi 12.02.2014 | | Autor: | Valerie20 |
Hallo Marcel,
Ich weiß jetzt nicht genau, ob dies ist, was du wissen möchtest, aber falls du ein Zeitkontinuierliches Signal hast: $g(t)$ und das zugehörige Fouriertransformierte [mm] $G(\omega), [/mm] dann ergibt sich das Zeitverschobene Signal: [mm] $g(t-t_0)$ [/mm] im Frequenzbereich zu [mm] $e^{-i\cdot t_0\cdot\omega}\cdot G(\omega)$
[/mm]
Valerie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:31 Do 13.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Valerie,
> Hallo Marcel,
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> Ich weiß jetzt nicht genau, ob dies ist, was du wissen
> möchtest, aber falls du ein Zeitkontinuierliches Signal
> hast: $g(t)$ und das zugehörige Fouriertransformierte
> [mm]$G(\omega),[/mm] dann ergibt sich das Zeitverschobene Signal:
> [mm]$g(t-t_0)$[/mm] im Frequenzbereich zu [mm]$e^{-i\cdot t_0\cdot\omega}\cdot G(\omega)$[/mm]
ne, das ist mir vollkommen klar (habe ich auch schon selbst nachgerechnet):
Und im diskreten Fall findet man (oh wie erstaunlich) den gleichen Zshg:
![[]](/images/popup.gif) http://www2.hs-fulda.de/~werner/lehre/sus/Formelsammlung%20SuS%202012.pdf
(Seite 10!)
Die Idee hier ist eigentlich, dass wir, wenn wir ein Signal sehen und dann
das andere Signal nur zeitverschoben, aber sonst identisch ist, wir gerne
Merkmale hätten, die "im Signal selbst verankert sind", so dass wir diese
als gleich ansehen.
Im [mm] $\IR^2$ [/mm] gibt's dafür Vorgehensweisen: Nimm' ein Muster, bspw. den
Buchstaben F, und nimm' eine Kopie davon, drehe diese ein wenig und
verschiebe sie. Dann kann man mit Fourierdeskriptoren so rechnen, dass
man einen Merkmalsvektor für beide F's errechnet, die identisch sind. (Man
entfernt den nullten F.K. und teilt alle verbleibenden durch den ersten F.K.,
so grob jedenfalls...)
Auch bei Deiner Formel sieht man, dass die gleiche Vorgehensweise hier
nicht zum Ziel führt:
Bei
[mm] $e^{-i\cdot t_0\cdot\red{\omega}}\cdot G(\omega)$
[/mm]
"stört" im Vorfaktor der rotmarkierte Anteil. Also "analog zum 2D-Fall"
geht's hier anscheinend nicht.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Fr 14.02.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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