Fourierkoeffizienten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Fr 17.06.2011 | | Autor: | lloolla |
hallo lieber mathehelfer,
ich habe eine kleine frage zu den fourierkoeefizienten und zwar ist doch die folge der Fourierkoeffizienten [mm] (c_n)_{n\in N} [/mm] eine nullfolge.
dies soll aus der aus der besselschen ungleichung ersichtlich sein.
meine frage ist nun: ist die konvergenz gegen null daher ersichtlich, weil durch die besselsche ungleichung die beschränktheit der reihe
[mm] \sum \vert c_n \vert [/mm] ^2 [mm] \leq \infty [/mm] gezeigt wurde?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Fr 17.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, eine Reihe konvergiert nur wenn die summanden eine Nullfolge bilden (notwendige Bedingung für reihenkonv)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Fr 17.06.2011 | | Autor: | lloolla |
danke für die schnelle antwort
das eine reihe nur konvergiert wenn die summanden eine nullfolge sind weiß ich.
meine frage war eher so gemeint:
ich will wissen warum die reihe konvergiert, wenn sie konvergiert dann ist die folge natürlich eine nullfolge aber das weiß ich ja erst wenn ich weiß das die reihe konvergiert.
meine idee war das aus besselschen ungleichung die beschränktheit der reihe folgt und damit ihre konvergenz stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:10 Sa 18.06.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> danke für die schnelle antwort
>
> das eine reihe nur konvergiert wenn die summanden eine
> nullfolge sind weiß ich.
> meine frage war eher so gemeint:
> ich will wissen warum die reihe konvergiert, wenn sie
> konvergiert dann ist die folge natürlich eine nullfolge
> aber das weiß ich ja erst wenn ich weiß das die reihe
> konvergiert.
> meine idee war das aus besselschen ungleichung die
> beschränktheit der reihe folgt und damit ihre konvergenz
> stimmt das?
ich glaube, Du meinst genau das richtige. Allerdings hier:
[mm] $$\sum \vert c_n \vert [/mm] $ ^2 $ [mm] \leq \infty [/mm] $$
steht uninteressantes: Das würde immer gelten (eine Reihe, wo alle bis auf endlich viele Summanden [mm] $\ge [/mm] 0$ sind, konvergiert entweder in [mm] $\IR$ [/mm] oder sie divergiert bestimmt gegen [mm] $\infty$).
[/mm]
Du meinst eher
$$ [mm] \sum \vert c_n \vert [/mm] $ ^2 [mm] \;\red{<}\; \infty\,$$
[/mm]
gilt nach Bessel (siehe auch ![[]](/images/popup.gif) S.299 hier, Zählung oben rechts!)
Damit konvergiert zunächst mal [mm] $|c_n|^2 \to 0\,.$ [/mm] Das impliziert allerdings sofort [mm] $c_n \to 0\,,$ [/mm] denn:
Würde [mm] $c_n \not \to 0\,$ [/mm] gelten, so gäbe es ein [mm] $\epsilon_0 [/mm] > 0$ so, dass [mm] $|c_n| [/mm] > [mm] \epsilon_0$ [/mm] für unendlich viele [mm] $n\,$ [/mm] wäre. Dann wäre aber auch [mm] $|c_n|^2 [/mm] > [mm] \epsilon_0^2$ [/mm] für unendlich viele [mm] $n\,,$ [/mm] so dass [mm] $|c_n|^2 \not\to 0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:10 Sa 18.06.2011 | | Autor: | lloolla |
vielen dank marcel genau das meinte ich
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