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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:04 Do 23.09.2010 | | Autor: | inseljohn |
| Aufgabe | | Zeichnen Sie die Funktion f(t)=3t für [mm] t\in[-2,2] [/mm] und entscheiden Sie, ob es sich um eine gerade oder ungerade Funktion handelt. Berechnen Sie eine Formeld für die Fourierkoeffizienten der 8-periodischen Fortsetzung dieser Funktion und geben Sie das Fourierpolynom F4 explizit an |
Hallo Leute,
hab grad mal versucht diese Aufgabe zu rechnen. Aus der Zeichnung sehe ich, dass es sich um eine ungerade Funktion handelt oder?
So, hab dann hiermit mal so n bisschen rumgerechnet:
[mm] bk=1/2\integral_{0}^{4} 3t*sin(\bruch{\pi*kt}{4})*dt
[/mm]
Habe dann dort als Formel für die Fourierkoeffizienten folgendes raus
[mm] -\bruch{24}{\pi*k}*cos(\pi*k)
[/mm]
Kann das jemand bestätigen? Wäre wirklich sehr dankbar...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeichnen Sie die Funktion f(t)=3t für [mm]T\in[-2,2][/mm] und
> entscheiden Sie, ob es sich um eine gerade oder ungerade
> Funktion handelt. Berechnen Sie eine Formeld für die
> Fourierkoeffizienten der 8-periodischen Fortsetzung dieser
> Funktion
Hallo,
ich hab' hier ein Problem: was ist die 8-periodische Fortsetzung der Funktion?
"Periodische Fortsetzung" könnte ich verstehen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Do 23.09.2010 | | Autor: | inseljohn |
Hallo,
also genau so lautet die Aufgabenstellung.
Aber damit macht man eigentlich nicht viel.
Damit berechnet man sein T.
Also T= 8/2. Damit ergibt sich T=4
Was genau das bedeutet, weiß ich leider nicht =)
Aber müsste ziemlich sicher stimmen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Do 23.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeichnen Sie die Funktion f(t)=3t für [mm]\red{T}\in[-2,2][/mm]
[mm] $$\blue{t} \in [/mm] [-2,2]$$
> und
> entscheiden Sie, ob es sich um eine gerade oder ungerade
> Funktion handelt. Berechnen Sie eine Formeld für die
> Fourierkoeffizienten der 8-periodischen Fortsetzung
siehe Angelas Mitteilung!
> dieser
> Funktion und geben Sie das Fourierpolynom F4 explizit an
> Hallo Leute,
>
> hab grad mal versucht diese Aufgabe zu rechnen. Aus der
> Zeichnung sehe ich, dass es sich um eine ungerade Funktion
> handelt oder?
Ja, das kann man durchaus "sehen". Ich frage mich nur, warum man sowas überhaupt sehen muss (im Sinne von "Aus der Zeichnung sehe ich...", womit Du eigentlich meinst, dass Du Dir (ein Teilstück des bzw.) den Graphen gezeichnest hast).
Ob eine Funktion ungerade bzw. gerade ist, erkennst Du (sofern der Definitionsbereich "um [mm] $0\,$ [/mm] symmetrisch ist"), indem Du prüfst, ob für alle [mm] $t\,$ [/mm] des Definitionsbereichs nun [mm] $f(-t)=-f(t)\,$ [/mm] bzw. [mm] $f(-t)=f(t)\,$ [/mm] gilt.
Bei Deiner Funktion gilt doch offenbar für jedes $t [mm] \in [/mm] [-2,2]$:
[mm] $$f(-t)=3*(-t)=-3*t=-f(t)\,,$$
[/mm]
also ist die Funktion [mm] $f\,$ [/mm] (und damit auch die periodische Fortsetzung von [mm] $f\,$) [/mm] eine ungerade Funktion.
> So, hab dann hiermit mal so n bisschen rumgerechnet:
>
> [mm]bk=1/2\integral_{0}^{4} 3t*sin(\bruch{\pi*kt}{4})*dt[/mm]
Es wäre schön(er), wenn Du die Rechnung (meinetwegen auch nur stichwortartig) mitlieferst.
> Habe dann dort als Formel für die Fourierkoeffizienten
> folgendes raus
> [mm]-\bruch{24}{\pi*k}*cos(\pi*k)[/mm]
>
> Kann das jemand bestätigen? Wäre wirklich sehr
> dankbar...
S.o. Vielleicht hast Du aber auch Glück und jemand hat gerade Zeit und Lust, es nochmal selbstständig nachzurechnen.
(Richtig ist jedenfalls, dass alle [mm] $a_k=0$ [/mm] sind, weil [mm] $f\,$ [/mm] ungerade ist!)
Beste Grüße,
Marcel
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Hallo,
danke für Eure Antworte.
Ups, mit dem T->t hast du natürlich vollkommen recht. Da habe ich mich vertippt! Danke dafür.
Auf Angelas Mitteilung habe ich geantwortet.
Ja, das man das auch so prüfen kann, weiß ich ;)
Jedoch steht ja in der Aufgabe "zeichnen sie..." Aber egal, darum geht es nicht.
Ok, dann hier mal meine Rechnung dazu.
[mm] bk=1/2\integral_{0}^{4} 3t*sin(\bruch{\pi*kt}{4})*dt
[/mm]
[mm] bk=\bruch{1}{2}[-3t*cos(\bruch{\pi*kt}{4})*\bruch{4}{\pi*k}]-\bruch{1}{2}\integral-3*cos(\bruch{\pi*kt}{4})*\bruch{4}{\pi*k}*dt
[/mm]
[mm] bk=\bruch{1}{2}[-3t*cos(\bruch{\pi*kt}{4})*\bruch{4}{\pi*k}]+\bruch{1}{2}*[3*sin(\bruch{\pi*kt}{4}*\bruch{4^2}{\pi^2*k^2})
[/mm]
bk= [mm] [-\bruch{3}{2}t*cos(\bruch{\pi*kt}{4})*\bruch{4}{\pi*k}] [/mm]
dann komm ich auf
[mm] bk=[\bruch{-6*t}{\pi*k}*cos(\bruch{\pi*kt}{4})] [/mm] (in den grenzen 0 bis 4)
und damit komm ich dann auf
[mm] -\bruch{24}{\pi*k}*cos(\pi*k)
[/mm]
puuhhhhh, das war anstrengend das hier reinzuhauen =)
Hoffe, jemand hat lust und zeit darauf. hehe :)
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> Ok, dann hier mal meine Rechnung dazu.
Hallo,
offenbar hast Du Dich entschieden, den Aufgabentext in "4-periodische Fortsetzung" umzuwandeln. Wahrscheinlich sollte es auch so heißen.
>
> [mm]bk=1/2\integral_{0}^{4} 3t*sin(\bruch{\pi*kt}{4})*dt[/mm]
Das ist nicht richtig. Richtig wäre [mm]b_k=1/2\integral_{-2}^{2} 3t*sin(\bruch{\pi*kt}{4})*dt[/mm].
Wenn Du von 0 bis 4 integrieren möchtest, was natürlich möglich ist, dann ist f(t) nicht =3t. zeichne Dir die periodisch fortgesetzte Funktion mal auf, dann siehst Du es.
Du müßtest in diesem Fall mit
[mm]f:(t)=\begin{cases}3t, & \mbox{fuer } t\in [0,2] \mbox{ } \\
3t-12 & \mbox{fuer } t\in ]2,4] \mbox{ } \end{cases} [/mm]
arbeiten.
Gruß v. Angela
>
> [mm]bk=\bruch{1}{2}[-3t*cos(\bruch{\pi*kt}{4})*\bruch{4}{\pi*k}]-\bruch{1}{2}\integral-3*cos(\bruch{\pi*kt}{4})*\bruch{4}{\pi*k}*dt[/mm]
>
> [mm]bk=\bruch{1}{2}[-3t*cos(\bruch{\pi*kt}{4})*\bruch{4}{\pi*k}]+\bruch{1}{2}*[3*sin(\bruch{\pi*kt}{4}*\bruch{4^2}{\pi^2*k^2})[/mm]
>
> bk=
> [mm][-\bruch{3}{2}t*cos(\bruch{\pi*kt}{4})*\bruch{4}{\pi*k}][/mm]
>
> dann komm ich auf
>
> [mm]bk=[\bruch{-6*t}{\pi*k}*cos(\bruch{\pi*kt}{4})][/mm] (in den
> grenzen 0 bis 4)
>
> und damit komm ich dann auf
> [mm]-\bruch{24}{\pi*k}*cos(\pi*k)[/mm]
>
> puuhhhhh, das war anstrengend das hier reinzuhauen =)
> Hoffe, jemand hat lust und zeit darauf. hehe :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 Fr 24.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> danke für Eure Antworte.
> Ups, mit dem T->t hast du natürlich vollkommen recht. Da
> habe ich mich vertippt! Danke dafür.
>
> Auf Angelas Mitteilung habe ich geantwortet.
>
> Ja, das man das auch so prüfen kann, weiß ich ;)
> Jedoch steht ja in der Aufgabe "zeichnen sie..." Aber
> egal, darum geht es nicht.
>
> Ok, dann hier mal meine Rechnung dazu.
>
> [mm]bk=1/2\integral_{0}^{4} 3t*sin(\bruch{\pi*kt}{\red{4}})*dt[/mm]
siehe Angelas Bemerkung, wenn Du mit [mm] $\int_0^4$ [/mm] arbeiten willst.
Aber:
Zum einen: [mm] $f\,$ [/mm] wird bei Dir 4-periodisch fortgesetzt, was heißt, dass
[mm] $$b_k=\frac{1}{2}\int_{-2}^2 3t*\sin(k*(\pi/\blue{2})*t)\;dt$$
[/mm]
ist. (Vgl. ![[]](/images/popup.gif) Wiki, Fourierreihe: Hier ist [mm] $\omega=\frac{2\pi}{4}=\pi/2\,.$)
[/mm]
Nun ist hier sowohl [mm] $f(t)=3t\,$ [/mm] als auch $t [mm] \mapsto \sin(k*(\pi/2)*t)$ [/mm] jeweils eine (auf $[-2,2]$) ungerade Funktion, woraus sich ergibt, dass (für jedes [mm] $k\,$) [/mm] der Integrand
$$t [mm] \mapsto 3t*\sin(k*(\pi/2)*t)=:g_k(t)$$
[/mm]
als Podukt zweier ungerader Funktionen eine (auf $[-2,2]$) gerade Funktion ist - d.h. [mm] $g_k(-t)=g_k(t)\,.$
[/mm]
Damit gilt offenbar:
[mm] $$b_k=\frac{1}{2}\int_{-2}^2 g_k(t)dt=\frac{1}{2}\;*2\int_0^2 g_k(t)\;dt=\int_0^2 g_k(t)\;dt=3*\int_0^2 t*\sin(k*(\pi/2)*t)\;dt,$$
[/mm]
was den Rechenaufwand evtl. ein wenig reduziert.
Beste Grüße,
Marcel
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Hallo,
vielen Dank für eure Antworten.
Nein, ich habe eigentlich keine 4-periodische Sache draus gemacht.
Habe grad eben nochmal alles überprüft und nochmal genau ins Skript geguckt. Dort habe ich folgende Formel für
[mm] bk=\bruch{2}{T}\integral_{0}^{T}{f(x) *sin *(\bruch{\pi*k*t}{T})dt}
[/mm]
und für [mm] T=\bruch{periode}{2}
[/mm]
Hab mich daran einfach gehalten, mit der Formel haben Sie es auch für zwei andere Aufgaben gemacht.
Jetzt bin ich verwirrt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Fr 24.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> vielen Dank für eure Antworten.
> Nein, ich habe eigentlich keine 4-periodische Sache draus
> gemacht.
wenn [mm] $f\,$ [/mm] aber auf $[-2,2]$ definiert ist und periodisch fortgesetzt werden soll, wird [mm] $f\,$ [/mm] (genauer: die Fortsetzung von [mm] $f\,$) [/mm] logischerweise [mm] $2-(-2)=4\;\;$ [/mm] -periodisch sein.
> Habe grad eben nochmal alles überprüft und nochmal genau
> ins Skript geguckt. Dort habe ich folgende Formel für
>
> [mm]bk=\bruch{2}{T}\integral_{0}^{T}{f(\red{x}) *sin *(\bruch{\pi*k*t}{T})dt}[/mm]
[mm] $$\text{Ersetze }\red{x}\longleftrightarrow \blue{t}\text{ !!}$$
[/mm]
>
> und für [mm]T=\bruch{periode}{2}[/mm]
>
> Hab mich daran einfach gehalten, mit der Formel haben Sie
> es auch für zwei andere Aufgaben gemacht.
>
> Jetzt bin ich verwirrt
Ich auch. Denn:
Wenn bei Euch [mm] $T=T_{Wikipedia}/2\,,$ [/mm] also die "halbe" Periode ist, dann ist hier also [mm] $T=T_{Wikipedia}/2=4/2=2\,.$ [/mm]
Somit wäre hier
[mm] $$b_k=b_k(f)=\frac{2}{T_{Wikipedia}}\int_{-2}^2 f(t)\sin(k*(2*\pi/T_{Wikipedia})*t)dt$$
[/mm]
[mm] $$=\blue{\frac{1}{T}}\int_{-2}^2 f(t)\sin(k*(\pi/T)*t)dt\,.$$
[/mm]
Ansonsten kannst Du die Formel so, wie sie bei Wikipedia steht, benutzen. Eine einzige Erklärung, die ich mir vorstellen könnte, warum bei Euch die [mm] $a_k$ [/mm] und [mm] $b_k$ [/mm] anders definiert sein könnten, wäre, wenn Ihr auch die Fourierreihe anders wie bei Wikipedia erklärt habt. Vielleicht hat aber Euer Prof. auch einfach bei [mm] $b_k=\ldots \int \ldots \sin(\ldots (\pi/T)\ldots)$ [/mm] einfach einen Faktor [mm] $2\,$ [/mm] verschlampt (er ist ja auch nur ein Mensch und daher nicht vor Fehlern gefeit). Denn wie gesagt:
Ansonsten sollte da auch [mm] $b_k=\blue{1/T}\ldots$ [/mm] stehen und nicht [mm] $b_k=\red{2/T} \ldots$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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