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| Aufgabe | Berechnen Sie alle reellen Fourier-Koeffizienten [mm] a_j [/mm] (f) und [mm] b_j [/mm] (f) der 2pi-periodischen Funktion f, die durch
f(t)= 1 wenn t [mm] \in [/mm] [0, [mm] \pi),
[/mm]
0 wenn t [mm] \in [/mm] [ [mm] \pi, [/mm] 2 [mm] \pi),
[/mm]
bestimmt ist. Hinweis: Für alle n [mm] \in \IZ [/mm] gelten sin(npi)=0 und [mm] cos(npi)=(-1)^n [/mm] . |
Zunächst einmal habe ich [mm] a_0 [/mm] berechnet:
[mm] a_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{2 \pi}{f(t) dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{1 dt} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{\pi}^{2 \pi}{0 dt} [/mm] = [ [mm] \bruch{1}{\pi} [/mm] * ( [mm] \pi) [/mm] - [mm] \bruch{1}{\pi} [/mm] *(0) ] = 1-0 = 1
[mm] a_j [/mm] (f) = [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{2 \pi}{f(t) cos(jt) dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{1cos(jt) dt} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{\pi}^{2 \pi}{0*cos(jt) dt} [/mm] = [mm] [\bruch{1}{\pi} [/mm] * (sinj * [mm] \pi) [/mm] - [mm] \bruch{1}{\pi} [/mm] * (sinj0)] = 0-0 = 0
[mm] b_j [/mm] (f) = [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{2 \pi}{f(t) sin(jt) dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{1*sin(jt) dt} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{\pi}^{2 \pi}{0*sin(jt) dt} [/mm] = [ [mm] \bruch{1}{\pi} [/mm] * (-cosj [mm] \pi) [/mm] - [mm] \bruch{1}{\pi} [/mm] * (-cosj0)] = - [mm] \bruch{1}{\pi} [/mm] * [mm] (-1)^j [/mm] + [mm] \bruch{1}{\pi} [/mm] * 1 = - [mm] \bruch{(-1)^j}{\pi} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\pi}
[/mm]
j= ungerade, dann [mm] b_j [/mm] (f) = [mm] \bruch{2}{\pi} [/mm] , gerade, dann [mm] b_j [/mm] (f) = 0
Ist das so korrekt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:31 Mi 25.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie alle reellen Fourier-Koeffizienten [mm]a_j[/mm] (f)
> und [mm]b_j[/mm] (f) der 2pi-periodischen Funktion f, die durch
>
> f(t)= 1 wenn t [mm]\in[/mm] [0, [mm]\pi),[/mm]
> 0 wenn t [mm]\in[/mm] [ [mm]\pi,[/mm] 2 [mm]\pi),[/mm]
>
> bestimmt ist. Hinweis: Für alle n [mm]\in \IZ[/mm] gelten
> sin(npi)=0 und [mm]cos(npi)=(-1)^n[/mm] .
> Zunächst einmal habe ich [mm]a_0[/mm] berechnet:
>
> [mm]a_0[/mm] = [mm]\bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{2 \pi}{f(t) dt}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{1 dt}[/mm] + [mm]\bruch{1}{\pi} \integral_{\pi}^{2 \pi}{0 dt}[/mm]
> = [ [mm]\bruch{1}{\pi}[/mm] * ( [mm]\pi)[/mm] - [mm]\bruch{1}{\pi}[/mm] *(0) ] = 1-0
> = 1
>
>
> [mm]a_j[/mm] (f) = [mm]\bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{2 \pi}{f(t) cos(jt) dt}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{1cos(jt) dt}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{\pi} \integral_{\pi}^{2 \pi}{0*cos(jt) dt}[/mm] =
> [mm][\bruch{1}{\pi}[/mm] * (sinj * [mm]\pi)[/mm] - [mm]\bruch{1}{\pi}[/mm] * (sinj0)]
> = 0-0 = 0
>
> [mm]b_j[/mm] (f) = [mm]\bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{2 \pi}{f(t) sin(jt) dt}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{1*sin(jt) dt}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{\pi} \integral_{\pi}^{2 \pi}{0*sin(jt) dt}[/mm] = [
> [mm]\bruch{1}{\pi}[/mm] * (-cosj [mm]\pi)[/mm] - [mm]\bruch{1}{\pi}[/mm] * (-cosj0)] =
> - [mm]\bruch{1}{\pi}[/mm] * [mm](-1)^j[/mm] + [mm]\bruch{1}{\pi}[/mm] * 1 = -
> [mm]\bruch{(-1)^j}{\pi}[/mm] + [mm]\bruch{1}{\pi}[/mm]
>
> j= ungerade, dann [mm]b_j[/mm] (f) = [mm]\bruch{2}{\pi}[/mm] , gerade, dann
> [mm]b_j[/mm] (f) = 0
>
> Ist das so korrekt?
Nein. Eine Stammfunktion von cos(jt) ist [mm] \bruch{1}{j}sin(jt)
[/mm]
Eine Stammfunktion von sin(jt) ist [mm] \bruch{-1}{j}cos(jt)
[/mm]
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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Ich habe es jetzt verbessert und komme auf:
[mm] a_0= [/mm] 1
[mm] a_j [/mm] (f) = 0
[mm] b_j [/mm] (f) = [mm] \bruch{(-1)^j}{j} [/mm] * [mm] \bruch{1}{j} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^j}{j}
[/mm]
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Hallo Mathemonster123,
> Ich habe es jetzt verbessert und komme auf:
>
> [mm]a_0=[/mm] 1
>
> [mm]a_j[/mm] (f) = 0
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]b_j[/mm] (f) = [mm]\bruch{(-1)^j}{j}[/mm] * [mm]\bruch{1}{j}[/mm] =
> [mm]\bruch{(-1)^j}{j}[/mm]
Das soll hier wohl
[mm]b_j (f) = \bruch{(-1)^j}{j}\blue{+} \bruch{1}{j} [/mm]
lauten.
Dann fehlt bei diesem Koeffizienten noch ein Faktor.
Grus
MathePower
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[mm] \bruch{-1}{ \pi} [/mm] * ( [mm] \bruch{(-1)^j}{j} [/mm] - [mm] \bruch{1}{j} [/mm] )
so?
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Hallo Mathemonster123,
> [mm]\bruch{-1}{ \pi}[/mm] * ( [mm]\bruch{(-1)^j}{j}[/mm] - [mm]\bruch{1}{j}[/mm] )
>
> so?
Ja.
Gruss
MathePower
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