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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 Mo 11.02.2008 | | Autor: | toros |
| Aufgabe | | Für die periodische Funktion [mm] g(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{g}(n) \exp(ik_nx) [/mm] seien die Fourierkoeffizienten [mm] \hat{g}(n) [/mm] bekannt. Bestimme daraus die Fourierkoeffizienten der Funktion [mm] h(x)=g(x)\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right). [/mm] |
Hallo,
ich hab das erstmal ausgeschrieben:
[mm] h(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{g}(n) \cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\exp(ik_nx)
[/mm]
Kann es sein, dass die Fourierkoeffizienten der Funktion h(x) dieselben wie die der Funktion g(x) sind, also
[mm] h(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{h}(n)\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\exp(ik_nx)
[/mm]
mit [mm] \hat{h}(n)= \hat{g}(n)?
[/mm]
Danke!
Gruss toros
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Mo 11.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo toros
Was ist das [mm] k_n [/mm] in deinem Exponenten? ist das k*n?
wieso sollten die Koeffizienten denn dieselben sein? nimm mal g(n)=sinx z, Bsp.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:09 Mo 11.02.2008 | | Autor: | toros |
hallo leduart,
sorry, hab's vergessen hinzuschreiben.
[mm] k_n=\frac{2\pi n}{L}, [/mm] wobei n alle ganzen zahlen durchläuft.
gruss toros
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 Mo 11.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Für die periodische Funktion
> [mm]g(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{g}(n) \exp(ik_nx)[/mm] seien
> die Fourierkoeffizienten [mm]\hat{g}(n)[/mm] bekannt. Bestimme
> daraus die Fourierkoeffizienten der Funktion
> [mm]h(x)=g(x)\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right).[/mm]
> Hallo,
>
> ich hab das erstmal ausgeschrieben:
>
> [mm]h(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{g}(n) \cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\exp(ik_nx)[/mm]
>
> Kann es sein, dass die Fourierkoeffizienten der Funktion
> h(x) dieselben wie die der Funktion g(x) sind, also
>
> [mm]h(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{h}(n)\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\exp(ik_nx)[/mm]
>
> mit [mm]\hat{h}(n)= \hat{g}(n)?[/mm]
Was du da für h(x) hingeschreiben hast, ist ja trivial, denn du hast nur [mm] $\hat{g}(n) [/mm] $ in [mm] $\hat{h}(n)$ [/mm] umbenannt. Das sind nicht die Fourierkoeffizienten der Funktion h; die sind eindeutig definiert über
$ [mm] h(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{h}(n) \exp(ik_nx)$
[/mm]
Du solltest [mm] $h(x)=g(x)\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right)$ [/mm] einsetzen und Koeffizientenvergleich machen.
Tipp: [mm] $\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \bigl( \exp(ik_1x) [/mm] + [mm] \exp(ik_{-1}x)\bigr) [/mm] $ und [mm] $k_n+k_m [/mm] = [mm] k_{n+m} [/mm] $.
Viele Grüße
Rainer
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