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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Mi 28.12.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | | Seien [mm] e_{k}: [/mm] [0,T] -> [mm] \IC [/mm] , [mm] e_{k}(t) [/mm] = [mm] e^{ik \omega t} [/mm] und [mm] \omega= \frac{2 \pi}{T}. [/mm] Zeigen Sie, dass die Menge der Funktionen { [mm] e_{k}(t) \}_{k \in \IZ} [/mm] mit dem aus der Vorlesung bekannten Skalarprodukt <f,g>= [mm] \frac{1}{T} \int_{0}^{T}f(t) \overline{g}(t)dt [/mm] ein Orthonormalsystem bildet. |
Könnt Ihr mal schauen, ob ich richtig überlegt habe?
g ist die Forier-Basis: [mm] e^{jkwt}
[/mm]
[mm] \overline{g}: e^{-jkwt} [/mm] //komplex konjugiert
Demnach lautet die Foriertransformation allgemein:
[mm] [/mm] = [mm] \frac{1}{T} \int_{0}^{T}f(t) e^{-jkwt} [/mm] dt
Aus der Aufgabenstellung f(t) = [mm] e^{jswt}
[/mm]
Foririertransformation:
[mm] [/mm] = [mm] \frac{1}{T} \int_{0}^{T}e^{jswt} e^{-jkwt} [/mm] dt
= [mm] \frac{1}{T} \int_{0}^{T}e^{j(s-k)wt} [/mm] dt
Jetzt kommt eine Fallunterscheidung:
s=k
=> [mm] [/mm] = [mm] \frac{1}{T} \int_{0}^{T} [/mm] 1 dt => 1
s [mm] \not [/mm] k
=> [mm] [/mm] = [mm] \frac{1}{T} \int_{0}^{T}e^{j(s-k)wt} [/mm] dt = [mm] \frac{1}{T} [/mm] [ [mm] \frac{1}{(s-k)w} e^{j(s-k)wt} ]^{T}_{0} [/mm] = [mm] \frac{1}{T}( \frac{1}{(s-k)w} e^{j(s-k)wT} [/mm] - [mm] \frac{1}{(s-k)w})
[/mm]
mit w = [mm] \frac{2 \pi}{T}
[/mm]
= [mm] \frac{1}{T} (\frac{T}{(s-k)2 \pi} [/mm] - [mm] \frac{T}{(s-k)2 \pi}) [/mm] = 0
Wäre das richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Do 29.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> Wäre das richtig?
Ja, sieht gut aus. Aber warum schreibst Du j statt i, so wie in der Aufgabe?
Und Dein Vorspann ist überflüssig. (Das mit der Fourierbasis und so). Du brauchst nur die beiden Integrale für die beiden Fälle ausrechnen, fertig.
Gruß,
Wolfgang
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