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| Aufgabe | Entwickle die Funktion
$ [mm] f(t)=\begin{cases} -sin(t) , & \mbox{für } -\pi \le x < 0 \\ sin(t), & \mbox{für } 0 \le x < \pi \end{cases}
[/mm]
mit $f(x) = [mm] f(x+2\pi)$ [/mm] in eine Fourierreihe. |
Symmetrie: $f(x) = -f(-x)$ folgt [mm] $a_k [/mm] = 0$
Periodendauer $T = 2 [mm] \pi$
[/mm]
[mm] $b_k [/mm] = [mm] \bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{sin(t) sin(k*t) dt} [/mm] $
so und jetzt hab ich mir gedacht:
[mm] $sin(\alpha) sin(\beta) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [cos(\alpha [/mm] - [mm] \beta) [/mm] - [mm] cos(\alpha [/mm] + [mm] \beta)] [/mm] $
also folgt:
[mm] $b_k [/mm] = [mm] \bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{2} [cos(t - k*t) - cos(t + k*t)]dt} [/mm] $
Faktor vor das Integral und in zwei Integrale aufgeteilt:
[mm] $b_k [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi} \left[ \integral_{0}^{\pi}{cos(t(1 - k)) dt} - \integral_{0}^{\pi}{ cos(t(1 + k)) dt} \right]$
[/mm]
Integrale gelöst:
[mm] $b_k [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi} \left[ \left[\bruch{1}{1-k} sin(t(1 - k)) \right]_0^\pi -\left[\bruch{1}{1+k} sin(t(1 + k)) \right]_0^\pi \right]$
[/mm]
so und jetzt fällt irgendwie alles raus weil ja $sin(k [mm] \pi) [/mm] = 0 $ ist.
Das kann aber nicht sein.
Kann mir jemand mal bitte nen Tipp geben wo sich da ein Fehler eingeschlichen hat.
Danke
Oli
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Doch, das kann sogar sehr gut sein!
Denn bist du dir dessen hier absolut sicher?
> Symmetrie: [mm]f(x) = -f(-x)[/mm] folgt [mm]a_k = 0[/mm]
Wie sieht die Funktion denn aus?
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Hm hab ich doch glatt falsch angesetzt.
Oki danke jetzt müsste es passen oder?
Symmetrie $f(x) = f(-x) $ folgt [mm] $b_k [/mm] = 0 $
[mm] $a_k [/mm] = [mm] \bruch{4}{T} \integral_{0}^{\bruch{T}{2}}{sin(t) cos(k \omega t) dt} [/mm] $
mit $sin(a)cos(b) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] [sin(a-b) + sin(a+b)]$ folgt:
[mm] $a_k [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{sin(t-k*t)+ sin(t+kt) dt} [/mm] $
[mm] $a_k [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi} \left[ \bruch{-cos(\pi(1-k)}{1-k} - \bruch{cos(\pi(1+k))}{1+k} + \bruch{1}{1-k} + \bruch{1}{1+k} \right]$
[/mm]
[mm] $a_k [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi} \left[ \bruch{-(1+k)cos(\pi(1-k) - (1-k)cos(\pi(1+k))+1+k+1-k}{1-k^2} \right]$
[/mm]
[mm] $a_k [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi} \left[ \bruch{-(1+k)cos(\pi(1-k) - (1-k)cos(\pi(1+k))+2}{1-k^2} \right]$
[/mm]
Nebenrechnung:
$ [mm] cos(\pi [/mm] - k [mm] \pi [/mm] = [mm] cos(\pi) [/mm] cos(k [mm] \pi) [/mm] - [mm] sin(\pi) [/mm] sin(k [mm] \pi) [/mm] = - cos(k [mm] \pi) [/mm] $
$ [mm] cos(\pi [/mm] + k [mm] \pi [/mm] = [mm] cos(\pi) [/mm] cos(k [mm] \pi) [/mm] + [mm] sin(\pi) [/mm] sin(k [mm] \pi) [/mm] = - cos(k [mm] \pi) [/mm] $
Eingesetzt:
[mm] $a_k [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi} \left[ \bruch{ cos(k \pi)-k cos(k \pi) + cos(k \pi)- k cos(k \pi)+2}{1-k^2} \right]$
[/mm]
[mm] $a_k [/mm] = [mm] \bruch{2}{\pi} \left[ \bruch{ cos(k \pi)-k cos(k \pi) +1}{1-k^2} \right]$
[/mm]
[mm] $a_k [/mm] = [mm] \begin{cases} \bruch{ 2k}{\pi(1-k^2)} , & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \\\bruch{ 4-2k}{\pi(1-k^2)}, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \end{cases}$
[/mm]
so oder??
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Also, ich habe das jetzt nicht exakt nachgerechnet, aber das sieht sehr gut aus!
Ein Tipp noch, wie man das eleganter formulieren kann:
[mm]a_k = \bruch{2}{\pi} \left[ \bruch{ cos(k \pi)-k cos(k \pi) +1}{1-k^2} \right][/mm]
[mm]a_k = \bruch{2}{\pi} \left[ \bruch{ (1-k) cos(k \pi) +1}{1-k^2} \right][/mm]
Der cos-Term ist doch nun immer +1 (grade) oder -1 (ungrade). Man kann also schreiben
$cos(k [mm] \pi)=(-1)^k$
[/mm]
[mm]a_k = \bruch{2}{\pi} \left[ \bruch{ (1-k) (-1)^k +1}{1-k^2} \right][/mm]
Man kommt also ohne Fallunterscheidung aus. Hübsch, nicht?
Bei den Fourierreihen kann man sowas übrigens sehr, sehr oft machen, es ist nur nicht immer so offensichtlich.
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Hm ok.. dank dir.
Die geschichte mit dem Cosinus, der immer nur +1 oder -1 ist, ist im Prinzip klar. ICh brauch da nur immer zu lange um zu überlegen wie man das so einfach ausdrücken kann.
Aber jetzt weiß ich ja wieder was :) ..
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