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Hallo!
Eine kurze Frage bzgl. reellwertiger Fourierreihen, meine Überlegung war:
Wenn ich z.B. weiß, dass die Funktion an der Stelle [mm] \pi [/mm] und an der Stelle - [mm] \pi [/mm] den Wert null hat, dann kann ich doch daraus schließen, dass in der Fourier-Reihe nur "sinus-abhänige" Faktoren enthalten sind, d.h. alle Koeffizienten von den Cosinus-Gliedern fallen weg, oder nicht?...?
Daraus folgt dann aber, dass die Funktion ungerade ist...
Stimmt das oder liege ich da im Moment total daneben...?
Danke für jede Hilfe schonmal!
Gruß, Garfield
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 Mo 04.09.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo und guten Morgen
![[kaffeetrinker]](/images/smileys/kaffeetrinker.gif "[kaffeetrinker]")
das war doch anders herum:
f(x)=f(-x) [mm] \Righarrrow [/mm] : gerade Funktion und alle [mm] b_n [/mm] verschwinden. D.h. die Cosinusterme bleiben und die Sinusterme werden "Null".
Liebe Grüße
Herby
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Ja, aber es gilt ja auch [mm] f(-\pi)=-f(\pi) [/mm] =-0 =0, man könnte also auch sagen, die Funktion ist genauso ungerade.
Ich meine, es gilt ja nicht allgemein f(-x)=f(x), sondern nur an dieser einen Stelle [mm] \pi. [/mm] Und falls sie dort null ist, und nur der sinus da null ergibt, wäre es doch logisch, dass die cos-Elemente verschwinden, oder?
Und wenn ich z.B. weiß, dass [mm] f(0)=f(\pi)=0, [/mm] folgt dann, dass die [mm] a_n [/mm] verschwinden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:17 Mo 04.09.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
Eine gerade Funktion ist so gekennzeichet f(x)=f(-x) - entsprechend die Cosinusfunktion cos(x)=cos(-x). Daher bleiben die Terme erhalten.
Eine ungerade Funktion f(-x)=-f(x) - wie die Sinusfunktion sin(-x)=-sin(x)
Und wenn der Funktionswert von [mm] f(\pi)=f(-\pi)=0 [/mm] ist, dann haben wir eine gerade Funktion. Es sei denn der Graph geht noch durch Null.
> Ja, aber es gilt ja auch [mm]f(-\pi)=-f(\pi)[/mm] =-0 =0, man könnte
> also auch sagen, die Funktion ist genauso ungerade.
das ist gemogelt  Und allein aus diesen beiden Werten lässt sich eh nix sagen - die Funktion könnte genauso gut nicht periodisch sein und nicht stetig usw. ---- Dann ist mit Fourier auch Essig.
> Ich meine, es gilt ja nicht allgemein f(-x)=f(x), sondern
> nur an dieser einen Stelle [mm]\pi.[/mm] Und falls sie dort null
> ist, und nur der sinus da null ergibt, wäre es doch
> logisch, dass die cos-Elemente verschwinden, oder?
Du hast es selbst aufgeschrieben: "... nur der Sinus da Null ergibt..." - und somit ist er weg.
> Und wenn ich z.B. weiß, dass [mm]f(0)=f(\pi)=0,[/mm] folgt dann,
> dass die [mm]a_n[/mm] verschwinden?
ganz grob: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Liebe Grüße
Herby
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Danke... irgendwie gemein das Zeug
Aber ich kapiere es trotzdem noch nicht ganz... Wie ist das dann, wenn z.B. gegeben ist, dass die Funktion an der Stelle 0 gleich 0 ist. Dann würde nach meiner Theorie (cos ist dort nicht null...) folgen, dass die cos-Glieder verschwinden.
Aber die Koeffizienten vor cos(nx) können doch auch negativ sein und sich damit wieder ausgleichen.
Irgendwas stimmt doch da noch nicht... ?
Was wäre denn die "korrekte" Begründung dafür, dass die cos-Glieder rausfallen, falls f an den Stellen 0 und [mm] \pi [/mm] Null ist? Wie könnte man das korrekt begründen?
viele Grüße, Garfield
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Mo 04.09.2006 | | Autor: | Herby |
Moin
ich habe jetzt deine Frage öfter gelesen, aber so ganz weiß ich nicht, was du meinst. Könntest du das nochmal anders aufschreiben.
> Danke... irgendwie gemein das Zeug
das wird in der Fouriertransformation noch besser ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
> Aber ich kapiere es trotzdem noch nicht ganz... Wie ist das
> dann, wenn z.B. gegeben ist, dass die Funktion an der
> Stelle 0 gleich 0 ist. Dann würde nach meiner Theorie (cos
> ist dort nicht null...) folgen, dass die cos-Glieder
> verschwinden.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Aber die Koeffizienten vor cos(nx) können doch auch negativ
> sein und sich damit wieder ausgleichen.
> Irgendwas stimmt doch da noch nicht... ?
Wenn du die Koeffizienten bestimmst, dann werden diese rechnerisch gleich Null, bei solchen Funktionen. Also [mm] a_n=0
[/mm]
> Was wäre denn die "korrekte" Begründung dafür, dass die
> cos-Glieder rausfallen, falls f an den Stellen 0 und [mm]\pi[/mm]
> Null ist? Wie könnte man das korrekt begründen?
>
mathematisch nachweisen - die Definition der Koeffizienten anwenden und ausrechnen. Sind die [mm] a_n=0 [/mm] sind die Cosinusterme auch Null.
Falls ich dich nicht richtig verstanden habe, frag bitte nochmal nach. 
Liebe Grüße
Herby
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Oh, sorry - aber ich glaube Du hast es schon ungefähr so aufgefasst wie ich es schreiben wollte.
Naja, ich dachte eben, dass eventuell auch einige [mm] b_n [/mm] negativ sein könnten und daher die Cosinus-Anteile z.B. im Punkt Null sich sozusagen ausgleichen.
Weil wenn es so wäre, dass die [mm] b_n [/mm] alle null werden, sobald die Funktion im Ursprung Null ist, dann würde das doch heißen, dass jede Funktion die durch den Nullpunkt geht ungerade ist, da die [mm] b_n [/mm] Null sind... ?????
Das kann aber nicht stimmen, oder???
"mathematisch nachweisen - die Definition der Koeffizienten anwenden und ausrechnen. Sind die sind die Cosinusterme auch Null. ..."
Ähmmm... das hab ich jetzt probiert aber ich muss zugeben, ich komm nicht arg weit...
Habe ich das richtig verstanden - ich müsste also zeigen, dass
[mm] \integral_{0}^{\pi}{f(x) cos(nx) dx}=0 [/mm] ergibt, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Mo 04.09.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
ich schreib dir heut' Nachmittag mal ein Beispiel auf o.k.
allerdings verabschiedet sich grad mein Akku.....
bis dann
Lg
Herby
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Ok, danke!
Da bin ich mal gespannt!
Und gute Besserung an Deinen Akku
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Mo 04.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo garfieldxxs
Bei allen deinen Angaben fehlt, Welche Periode deine Fkt. hat.
bei [mm] f(\pi)=f(-\pi)=0 [/mm] ist über die Periode noch nichts gesagt. Ob die Periode [mm] 2\pi [/mm] oder [mm] 4\pi [/mm] ist ändert das ganze natürlich.
Nur über eine zu x=0 symetrische NULLSTELLE kannst da gar nichts über die Reihe aussagen. denn 0=0 und 0=-0.
z.Bsp erfüllt sinx und cos(x/2) beide deine Bedingung!
Also wenn wirklich gilt f(x)=f(-x) für alle x dann nur hast du nur cos Anteile!
Wenn das aber nur für ein paar (auch viele) x Werte gilt, dann weisst du gar nix.
Gruss leduart
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Danke für den Beitrag. Du hast ja Recht, aber...
... es gilt z.B. für jede auf [mm] [0,\pi] [/mm] definierte Lipschitz stetige Funktion mit [mm] f(0)=f(\pi)=0, [/mm] dass sie ungerade ist und in der Fourier-Reihe die [mm] a_n [/mm] (koeffizienten von cos) verschwinden.
(Beweis, indem man einfach f "erweitert" auf Bereich [mm] [-\pi, \pi] [/mm] und f(-x)=-f(x) setzt)
Das war aller Ursprung meiner Idee Und dabei kenne ich auch die Periode nicht, oder?
Das hatte ich eben nun versucht irgendwie zu verallgemeinern... ? Aber wohl ein Fehlschlag .... hmmm-.... ?!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Mo 04.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo garfieldxxs
> ... es gilt z.B. für jede auf [mm][0,\pi][/mm] definierte Lipschitz
> stetige Funktion mit [mm]f(0)=f(\pi)=0,[/mm] dass sie ungerade ist
> und in der Fourier-Reihe die [mm]a_n[/mm] (koeffizienten von cos)
> verschwinden.
>
> (Beweis, indem man einfach f "erweitert" auf Bereich [mm][-\pi, \pi][/mm]
> und f(-x)=-f(x) setzt)
Gegenbeweis: erweitere einfach mit f(-x)=f(x), dann ist sie erstmal gerade!
Diese Erweiterung reicht nicht! Man muss die Fkt PERIODISCH, Periode [mm] 2\pi [/mm] fortsetzen. Wenn man sie mit f=0 für [mm] x>\pi [/mm] fotsetzt ist der Satz einfach falsch. Fourrierreihen gibts nur für periodische Fktn.
> Das war aller Ursprung meiner Idee Und dabei kenne ich
> auch die Periode nicht, oder? Nur wenn du die fkt weiter als nur zw. [mm] -\pi [/mm] und [mm] +\pi [/mm] kennst!
Gruss leduart
> Das hatte ich eben nun versucht irgendwie zu
> verallgemeinern... ? Aber wohl ein Fehlschlag ....
> hmmm-.... ?!?
>
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Ok, Dank ihr beiden für die Hilfe - sehe ich völlig ein
Aber... nochmal zurück zu meiner Funktion für die ich diesen (falschen) Beweis hatte... ich müsste sie also [mm] 2\pi-periodisch [/mm] fortsetzen. Ok.
Aber wie kann ich denn eine Funktion, die nur auf [mm] [0,\pi] [/mm] definiert ist [mm] 2\pi-periodisch [/mm] fortsetzen? (eindeutig)??
Oder ist es so richtig:
Es gibt keine eindeutige Fortsetzung - aber ich KANN sie so fortsetzen, dass die Funktion gerade wird, ungerade wird oder keines von beiden.
Je nachdem, wie ich es haben will....?
Falls das so stimmen SOLLTE - heißt das dann auch, dass ich jede Funktion, die auf [0,a] definiert ist, so zu einer 2a-periodischen Funktion [-a,a] ergänzen kann, so dass sich z.B eine gerade oder ungerade 2a-periodische Funktion ergibt, und daher die Koeffizienten [mm] b_n [/mm] bzw. [mm] a_n [/mm] wegfallen? Oder geht das nur für [mm] 2\pi?? [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Mo 04.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Oder ist es so richtig:
> Es gibt keine eindeutige Fortsetzung - aber ich KANN sie so
> fortsetzen, dass die Funktion gerade wird, ungerade wird
> oder keines von beiden.
> Je nachdem, wie ich es haben will....?
Genau richtig!
> Falls das so stimmen SOLLTE - heißt das dann auch, dass ich
> jede Funktion, die auf [0,a] definiert ist, so zu einer
> 2a-periodischen Funktion [-a,a] ergänzen kann, so dass sich
> z.B eine gerade oder ungerade 2a-periodische Funktion
> ergibt, und daher die Koeffizienten [mm]b_n[/mm] bzw. [mm]a_n[/mm] wegfallen?
Ja!
> Oder geht das nur für [mm]2\pi??[/mm]
Nein, allgemein!
Gruss leduart
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Entschuldigung - Frage sollte hier rein - hab das alles noch nicht so raus, wo was hin soll. Sorry!! Bezieht sich natürlich auf alle bisherigen Beiträge.....
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