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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Di 12.02.2013 | | Autor: | matheist |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Fourierreihe zu der periodischen Funktion f(x) im Grundintervall 0 [mm] \le x<2\pi [/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases}x, & 0\le x<\pi \\ 0, & \pi \le x<2\pi \end{cases}
[/mm]
Geben Sie den Wert der Fourierreihe an den Stellen [mm] x_0=0 [/mm] und [mm] x_2=\pi [/mm] an. |
Zunächst müssen die Koeffizienten bestimmt werden:
[mm] a_k=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{xcos(kx) dx}=\bruch{1}{\pi}*[\bruch{cos(kx)}{k^2}+\bruch{xsin(kx)}{k}]_{0}^{\pi}=\bruch{1}{\pi}(\bruch{(-1)^k}{k^2}+0-\bruch{1}{k^2}-0)=\bruch{(-1)^k-1}{\pi*k^2}
[/mm]
[mm] a_k=0 [/mm] wenn k gerade ist
[mm] a_k=\bruch{-2}{\pi*k^2} [/mm] wenn k ungerade ist
[mm] b_k=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{xsin(kx) dx}=\bruch{1}{\pi}[\bruch{sinx}{k^2}-\bruch{xcosx}{k}]_{0}^{\pi}=\bruch{2}{k}
[/mm]
[mm] b_k=\bruch{2}{k} [/mm] für alle k
[mm] S(x)=\bruch{a_0}{2}+\summe_{i=1}^{\infty}(\bruch{(-1)^k-1}{\pi*k^2}cos(kx)+\bruch{2}{k}sin(kx))
[/mm]
--> Ich weiß leider nicht, was mit [mm] a_0 [/mm] gemeint ist. Ist das Ergebnis soweit richtig? Wie errechnet sich [mm] a_0?
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. (@Moderatoren, es sollte ersichtlich sein, dass ich keine bösen Absichten habe. Der Newbiestatus kann meinetwegen wegfallen)
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Hallo matheist,
> Bestimmen Sie die Fourierreihe zu der periodischen Funktion
> f(x) im Grundintervall 0 [mm]\le x<2\pi[/mm]
>
> [mm]f(x)=\begin{cases}x, & 0\le x<\pi \\ 0, & \pi \le x<2\pi \end{cases}[/mm]
>
> Geben Sie den Wert der Fourierreihe an den Stellen [mm]x_0=0[/mm]
> und [mm]x_2=\pi[/mm] an.
>
>
> Zunächst müssen die Koeffizienten bestimmt werden:
>
> [mm]a_k=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{xcos(kx) dx}=\bruch{1}{\pi}*[\bruch{cos(kx)}{k^2}+\bruch{xsin(kx)}{k}]_{0}^{\pi}=\bruch{1}{\pi}(\bruch{(-1)^k}{k^2}+0-\bruch{1}{k^2}-0)=\bruch{(-1)^k-1}{\pi*k^2}[/mm]
>
> [mm]a_k=0[/mm] wenn k gerade ist
> [mm]a_k=\bruch{-2}{\pi*k^2}[/mm] wenn k ungerade ist
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]b_k=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{xsin(kx) dx}=\bruch{1}{\pi}[\bruch{sinx}{k^2}-\bruch{xcosx}{k}]_{0}^{\pi}=\bruch{2}{k}[/mm]
>
> [mm]b_k=\bruch{2}{k}[/mm] für alle k
>
Das musst Du nochmal nachrechnen.
>
> [mm]S(x)=\bruch{a_0}{2}+\summe_{i=1}^{\infty}(\bruch{(-1)^k-1}{\pi*k^2}cos(kx)+\bruch{2}{k}sin(kx))[/mm]
>
> --> Ich weiß leider nicht, was mit [mm]a_0[/mm] gemeint ist. Ist
> das Ergebnis soweit richtig? Wie errechnet sich [mm]a_0?[/mm]
>
[mm]\bruch{a_{0}}{2}[/mm] ist das Gleichglied:
[mm]\bruch{a_{0}}{2}=\bruch{1}{2 \pi}*\integral_{0}^{\pi}{x \ dx}[/mm]
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. (@Moderatoren, es sollte
> ersichtlich sein, dass ich keine bösen Absichten habe. Der
> Newbiestatus kann meinetwegen wegfallen)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Di 12.02.2013 | | Autor: | matheist |
Es muss lauten:
$ [mm] b_k=\bruch{1}{k} [/mm] $ für alle k
[mm] S(x)=\bruch{\pi}{4}+\summe_{i=1}^{\infty}(\bruch{(-1)^k-1}{\pi\cdot{}k^2}cos(kx)+\bruch{1}{k}sin(kx))
[/mm]
Gibt es für das [mm] a_0 [/mm] eine allgemeine Formel? Ist das Ergebnis richtig?
> Geben Sie den Wert der Fourierreihe an den Stellen $ [mm] x_0=0 [/mm] $ und $ [mm] x_2=\pi [/mm] $ an.
Das scheint mir immer noch nicht gelöst zu sein. Wo soll ich diese Werte einsetzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 Mi 13.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es muss lauten:
>
> [mm]b_k=\bruch{1}{k}[/mm] für alle k
>
>
> [mm]S(x)=\bruch{\pi}{4}+\summe_{i=1}^{\infty}(\bruch{(-1)^k-1}{\pi\cdot{}k^2}cos(kx)+\bruch{1}{k}sin(kx))[/mm]
>
> Gibt es für das [mm]a_0[/mm] eine allgemeine Formel?
Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe
> Ist das
> Ergebnis richtig?
Ja
>
> > Geben Sie den Wert der Fourierreihe an den Stellen [mm]x_0=0[/mm]
> und [mm]x_2=\pi[/mm] an.
>
> Das scheint mir immer noch nicht gelöst zu sein. Wo soll
> ich diese Werte einsetzen?
In S(x)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Mi 13.02.2013 | | Autor: | matheist |
[mm] S(0)=\bruch{\pi}{4}+\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k-1}{\pi\cdot{}k^2} \to [/mm] für alle ungeraden k
[mm] S(0)=\bruch{\pi}{4} \to [/mm] für alle geraden k
[mm] S(\pi)=\bruch{\pi}{4}+\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k-1}{\pi\cdot{}k^2}*(-1)^k=\bruch{\pi}{4}+\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^2k-1}{\pi\cdot{}k^2}=\bruch{\pi}{4} \to [/mm] für alle k
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Hallo matheist,
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> [mm]S(0)=\bruch{\pi}{4}+\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k-1}{\pi\cdot{}k^2} \to[/mm]
> für alle ungeraden k
>
> [mm]S(0)=\bruch{\pi}{4} \to[/mm] für alle geraden k
>
> [mm]S(\pi)=\bruch{\pi}{4}+\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k-1}{\pi\cdot{}k^2}*(-1)^k=\bruch{\pi}{4}+\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^2k-1}{\pi\cdot{}k^2}=\bruch{\pi}{4} \to[/mm]
> für alle k
Das korrekte Ergebnis lautet:
[mm]S\left(x\right)=\bruch{\pi}{4}+\summe_{k=1}^{\infty}-\bruch{2}{\pi*\left(2*k-1\right)^{2}}*\cos\left(\left(2*k-1\right)*x\right)-\bruch{\left(-1\right)^{k}}{k}*\sin\left(k*x\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Mi 13.02.2013 | | Autor: | matheist |
Danke MathePower.
> Das korrekte Ergebnis lautet:
>
> [mm]S\left(x\right)=\bruch{\pi}{4}+\summe_{k=1}^{\infty}-\bruch{2}{\pi*\left(2*k-1\right)^{2}}*\cos\left(\left(2*k-1\right)*x\right)-\bruch{\left(-1\right)^{k}}{k}*\sin\left(k*x\right)[/mm]
Ich kann das Ergebnis nicht ganz nachvollziehen. Ist das von mir ursprünglich berechnete S(x) falsch gewesen oder hast S(x) durch Einsetzen verändert? Wenn letzteres zutrifft, wie genau hast du das gemacht?
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Hallo matheist,
> Danke MathePower.
>
> > Das korrekte Ergebnis lautet:
> >
> >
> [mm]S\left(x\right)=\bruch{\pi}{4}+\summe_{k=1}^{\infty}-\bruch{2}{\pi*\left(2*k-1\right)^{2}}*\cos\left(\left(2*k-1\right)*x\right)-\bruch{\left(-1\right)^{k}}{k}*\sin\left(k*x\right)[/mm]
>
> Ich kann das Ergebnis nicht ganz nachvollziehen. Ist das
> von mir ursprünglich berechnete S(x) falsch gewesen oder
> hast S(x) durch Einsetzen verändert? Wenn letzteres
> zutrifft, wie genau hast du das gemacht?
Zunächst stimmt der Koeffiizient vor [mm]\sin\left(k*x\right)[/mm]
in Deiner angegeben Formel nicht.
Dann ist der Koeffizient
[mm]\bruch{(-1)^k-1}{\pi\cdot{}k^2}[/mm]
nur für ungerade k von 0 verschieden.
Daher hab ich [mm]k:=2*k'-1[/mm] gesetzt.
Anschliessendes umbenennen von k' in k
liefert die oben angegebene Formel.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Mi 13.02.2013 | | Autor: | matheist |
Hallo MathePower,
> Daher hab ich [mm]k:=2*k'-1[/mm] gesetzt.
Aber du hättest ja auch k:=2*k'+1 nehmen können. Warum -1?
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Hallo matheist,
> Hallo MathePower,
>
> > Daher hab ich [mm]k:=2*k'-1[/mm] gesetzt.
>
> Aber du hättest ja auch k:=2*k'+1 nehmen können. Warum
> -1?
Weil ich den ganzen Ausdruck mit Sinus und Cosinus
unter einer Summe haben will.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Mi 13.02.2013 | | Autor: | matheist |
> Weil ich den ganzen Ausdruck mit Sinus und Cosinus
> unter einer Summe haben will.
Ok, das macht Sinn 
Wenn ich mich jetzt nicht verrechnet habe, kommt folgendes Ergebnis zustande:
[mm] S(0)=\bruch{\pi}{4}+\summe_{k=1}^{\infty}-\bruch{2}{\pi(2k-1)^{2}}
[/mm]
[mm] S(\pi)=\bruch{\pi}{4}+\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2}{\pi(2k-1)^{2}}
[/mm]
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Hallo matheist,
> > Weil ich den ganzen Ausdruck mit Sinus und Cosinus
> > unter einer Summe haben will.
>
> Ok, das macht Sinn
>
> Wenn ich mich jetzt nicht verrechnet habe, kommt folgendes
> Ergebnis zustande:
>
> [mm]S(0)=\bruch{\pi}{4}+\summe_{k=1}^{\infty}-\bruch{2}{\pi(2k-1)^{2}}[/mm]
>
> [mm]S(\pi)=\bruch{\pi}{4}+\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2}{\pi(2k-1)^{2}}[/mm]
>
Das stimmt.
Gruss
MathePower
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