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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für jede invertierbare, reelle $ n [mm] \times [/mm] n $ Matrix $ A $ gilt:
$ FT(f) [mm] \circ A^t [/mm] = [mm] \bruch{1}{|det A|} [/mm] FT(f [mm] \circ A^{-1}) [/mm] $ |
Mein Ansatz (achja, die einsdurchzweipihochnochwas schenk ich mir, für hier):
$ FT(f) [mm] \circ A^t [/mm] = [mm] \integral{f(x)*e^{-i} dx} [/mm] = [mm] \integral{f(x)*e^{-i}dx} [/mm] $
Jetzt Anwendung des Transformationssatzes $ [mm] \integral_{U}{g(T(x))*|det dT(x)|dx} [/mm] = [mm] \integral_{V}{f(x)dx} [/mm] $ für $ T:U->V $:
mit $ [mm] T:\IR^n->\IR^n, [/mm] T(x):= [mm] A^{-1}x [/mm] $ => $ det dT(x) = det [mm] A^{-1} [/mm] $, $ [mm] g(x):=f(x)e^{-i} [/mm] $ ist
[mm] \integral{f(x)*e^{-i}dx} [/mm] = [mm] \integral{f(A^{-1}x)*e^{-i}*|det A^{-1}|dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{|det A|} \integral{f(A^{-1}x)*e^{-i}}dx [/mm] = [mm] \bruch{1}{|det A|} [/mm] $FT(f [mm] \circ A^{-1})$ \Box
[/mm]
Jetzt zu den Fragen:
1. Stimmt das so?
2. Eigentlich hätte ich gedacht, dass $ FT(f [mm] \circ A^{-1}) [/mm] $ = [mm] \integral{f(A^{-1}x)*e^{-i}}d(A^{-1}x) [/mm] sein müsste - halt nach der Regel $ FT(f(x)) $ := [mm] \integral{f(x)*e^{-i}}dx. [/mm] Aber dann funktioniert der Beweis ja nicht, wie ich ihn gemacht habe (oder doch irgendwie?).
Schonmal Danke für Antworten...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:42 Mo 30.12.2013 | | Autor: | hippias |
> Zeigen Sie, dass für jede invertierbare, reelle [mm]n \times n[/mm]
> Matrix [mm]A[/mm] gilt:
>
> [mm]FT(f) \circ A^t = \bruch{1}{|det A|} FT(f \circ A^{-1})[/mm]
>
> Mein Ansatz (achja, die einsdurchzweipihochnochwas schenk
> ich mir, für hier):
>
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> [mm]FT(f) \circ A^t = \integral{f(x)*e^{-i} dx} = \integral{f(x)*e^{-i}dx}[/mm]
>
>
> Jetzt Anwendung des Transformationssatzes
> [mm]\integral_{U}{g(T(x))*|det dT(x)|dx} = \integral_{V}{f(x)dx}[/mm]
> für [mm]T:U->V [/mm]:
> mit [mm]T:\IR^n->\IR^n, T(x):= A^{-1}x[/mm] => [mm]det dT(x) = det A^{-1} [/mm],
> [mm]g(x):=f(x)e^{-i}[/mm] ist
>
> [mm]\integral{f(x)*e^{-i}dx}[/mm] =
> [mm]\integral{f(A^{-1}x)*e^{-i}*|det A^{-1}|dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{|det A|} \integral{f(A^{-1}x)*e^{-i}}dx[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{|det A|}[/mm] [mm]FT(f \circ A^{-1})[/mm] [mm]\Box[/mm]
>
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> Jetzt zu den Fragen:
> 1. Stimmt das so?
Ja.
> 2. Eigentlich hätte ich gedacht, dass [mm]FT(f \circ A^{-1})[/mm]
> = [mm]\integral{f(A^{-1}x)*e^{-i}}d(A^{-1}x)[/mm] sein
> müsste - halt nach der Regel [mm]FT(f(x))[/mm] :=
> [mm]\integral{f(x)*e^{-i}}dx.[/mm]
Die zu fouriertransformierende Funktion taucht weder im Exponenten der Exponentialfunktion auf, oder Teile von ihr, noch beim $dx$. Es ist somit nach Definition $FT(f [mm] \circ A^{-1}) [/mm] = [mm] \integral{f(A^{-1}x)*e^{-i}}dx$.
[/mm]
> Aber dann funktioniert der
> Beweis ja nicht, wie ich ihn gemacht habe (oder doch
> irgendwie?).
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> Schonmal Danke für Antworten...
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ah, ja das macht Sinn. Also in meinen Worten nochmal, wenn man eine Verkettung von Funktionen $ f \circ g (x) $ fouriertransformieren möchte, kann man die definieren als $ f \circ g (x) := h(x) $ und dann ist die Fouriertransformierte $ FT(f \circ g (x))(y) = FT(h(x))(y) = \integral{h(x)e^{-i<x,y>}dx = \integral{f(g(x))e^{-i<x,y>}dx} $
=)
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