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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 So 15.02.2015 | | Autor: | MuBau |
| Aufgabe | Fouriertransformierte der Hankelfunktion
[mm] \int _{-\infty}^{\infty} H_0^{(1)}(k*\sqrt{x_s^2 + (y-y_s)^2})e^{-i k_y y}dy
[/mm]
k [mm] \in \IR^{+} [/mm] und [mm] (x_s,y_s) \in \IR^{+}\times\IR [/mm] |
Hallo zusammen,
würde gerne die Fouriertransformierte (FT) der Hankelfunktion der ersten Art und Ordnung Null bestimmen, siehe Aufgabenstellung.
Dazu hätte ich als ersten Schritt die Hankelfunktion ausgeschrieben, sprich als Linearkombination von Besselfunktionen der ersten und zweiten Art, [mm] J_0 [/mm] und [mm] Y_0. [/mm] Nun folgendes:
1. Ich finde die FT von [mm] J_0(y) [/mm] im Internet, kein Problem, aber für [mm] Y_0(y) [/mm] wurde ich bisher nicht fündig. Meine Theorie dazu: Aufgrund der Divergenz
[mm] Y_0 \to -\infty [/mm] für y [mm] \to [/mm] 0 gibt es für [mm] Y_0 [/mm] keine FT, korrekt?
2. Auch wenn eine Lösung für [mm] J_0(y) [/mm] ex. kann ich sie bisher nicht auf meinen Fall [mm] J_0(k\sqrt{x_s^2 + (y-y_s)^2}) [/mm] anwenden. Hab es mit der Substitution
u = [mm] k\sqrt{x_s^2 + (y-y_s)^2} [/mm] versucht, allerdings bin ich mir nicht ganz sicher ob ich das richtig mache, bzw. ob ich den Ansatz überhaupt machen darf.
3. Ein weiterer Ansatz bestand in der Darstellung der Besselfunktion als unendliche Reihe wobei ich dann allerdings in die Situation komme Integration und Summation zu vertauschen zu müssen. Habe es mit dem Theorem der dominierten Konvergenz versucht, hat aber leider nichts gebracht. Gibt es andere (anwendbare) Argumentationen für das Vertauschen der beiden Prozesse?
4. Könnte ich bzw. macht es Sinn die Divergenz von [mm] Y_0 [/mm] durch eine geeignete Methode (z. B. Multiplikation mit einer passenden Funktion) zu "entschärfen"?
Vll erscheint obiges etwas wirr, habe erstmal darauf verzichtet alle meine Rechnungen auszuschreiben. Würde mich über Hilfe sehr freuen und demnach gerne bereit diese nachzuliefern falls erwünscht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Die Fragen sind für mich tatsächlich etwas wirr, aber die einseitige Laplace-Transformation von [mm] $Y_0(at)$ [/mm] ist
[mm]-\frac2{\pi} \frac{ \mathrm{arcsinh}\, (s/a) }{\sqrt{s^2+a^2}}[/mm]
Quelle: Polyanin et. al., Handbook of Intergral Equations, 2nd Ed., Chapman+Hall/CRC 2008.
Mit [mm] $s=j\omega$ [/mm] kriegst Du die Fouriertransformierte.
Hlft das?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:45 Mo 16.02.2015 | | Autor: | MuBau |
Alles in diese Richtung ist hilfreich, vielen Dank für die Antwort!!
Und Entschuldigung wegen der schlechte gestellten Fragen. Ab jetzt versuch ich etwas expliziter zu sein. Bzgl. der Substitution:
Ich möchte berechnen:
[mm] \int_{-\infty}^{\infty} J_0(k\sqrt{x_s^2 + (y-y_s^2)} e^{ik_y y}dy [/mm]
Dazu teile ich das Integral in zwei Intervalle, nämlich (0, [mm] \infty) [/mm] und [mm] (-\infty, [/mm] 0). Weiterhin benutze ich die Substitution
u = [mm] \sqrt{x_s^2 + (y-y_s)^2}, [/mm] y = [mm] \sqrt{u^2-x_s^2} [/mm] + [mm] y_s, \frac{dy}{du} [/mm] = [mm] \frac{u}{\sqrt{u^2-x_s^2}}
[/mm]
Als neuen Integrationsgrenzen ergeben sich dann
[mm] u|_{y=0} [/mm] = [mm] \sqrt{x_s^2+y_s^2} [/mm] =: [mm] r_s [/mm]
[mm] u|_{y \to \infty} [/mm] = [mm] u|_{y \to -\infty} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Alles einsetzen liefert
[mm] e^{i k_y y_s} \int_{r_s} ^{\infty} J_0(ku) \frac{u}{\sqrt{u^2-x_s^2}} e^{i k_y \sqrt{u^2-x_s^2}}du [/mm] + [mm] e^{i k_y y_s} \int_{\infty} ^{r_s} J_0(ku) \frac{u}{\sqrt{u^2-x_s^2}} e^{i k_y \sqrt{u^2-x_s^2}}du
[/mm]
was aber 0 ergibt wenn ich die Grenzen im zweiten Teil umdrehe.
Mal abgesehen davon ob ich mit der Methode überhaupt ans Ziel komme, würde mich interessieren wo ich einen Fehler bzw. eine nicht erlaubte/problematische Umrechung gemacht habe?
So gesehen könnte ich die entstandenen Integrale nämlich zumindest zum Teil mit partieller Integration lösen.
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> Alles einsetzen liefert
> [mm]e^{i k_y y_s} \int_{r_s} ^{\infty} J_0(ku) \frac{u}{\sqrt{u^2-x_s^2}} e^{i k_y \sqrt{u^2-x_s^2}}du[/mm]
> + [mm]e^{i k_y y_s} \int_{\infty} ^{r_s} J_0(ku) \frac{u}{\sqrt{u^2-x_s^2}} e^{i k_y \sqrt{u^2-x_s^2}}du[/mm]
>
> was aber 0 ergibt wenn ich die Grenzen im zweiten Teil
> umdrehe.
Im Detail bin ich nicht sattelfest genug, aber Integrationsgrenzen umdrehen geht natürlich nicht ohne das Integral mit $-1$ zu multiplizieren ;)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:38 Mo 16.02.2015 | | Autor: | MuBau |
Heißt dass dann demnach, dass meine Rechnung sprich die Substitution falsch ist? Gefühlt naiv betrachtet sollte doch da nicht null rauskommen oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 18.02.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Mo 16.02.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Alles einsetzen liefert
> > [mm]e^{i k_y y_s} \int_{r_s} ^{\infty} J_0(ku) \frac{u}{\sqrt{u^2-x_s^2}} e^{i k_y \sqrt{u^2-x_s^2}}du[/mm]
> > + [mm]e^{i k_y y_s} \int_{\infty} ^{r_s} J_0(ku) \frac{u}{\sqrt{u^2-x_s^2}} e^{i k_y \sqrt{u^2-x_s^2}}du[/mm]
>
> >
> > was aber 0 ergibt wenn ich die Grenzen im zweiten Teil
> > umdrehe.
>
> Im Detail bin ich nicht sattelfest genug, aber
> Integrationsgrenzen umdrehen geht natürlich nicht ohne das
> Integral mit [mm]-1[/mm] zu multiplizieren ;)
macht er doch, deswegen wird aus
[mm] $e^{i k_y y_s} \int_{r_s} ^{\infty} J_0(ku) \frac{u}{\sqrt{u^2-x_s^2}} e^{i k_y \sqrt{u^2-x_s^2}}du$ [/mm] + [mm]e^{i k_y y_s} \int_{\infty} ^{r_s} J_0(ku) \frac{u}{\sqrt{u^2-x_s^2}} e^{i k_y \sqrt{u^2-x_s^2}}du[/mm]
doch die Null (das rote + wird 'nach' dem Umdrehen der Grenzen zu einem Minus!).
P.S. Ich habe die Substitution aber auch noch nicht im Detail nachgerechnet!
Gruß,
Marcel
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Ja, da hab ich schief hingeschaut, entschuldigt bitte!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Di 17.02.2015 | | Autor: | MuBau |
Kein Ding. Macht den prinzipiell so eine Substitution Sinn?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:21 Mi 18.02.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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