Fouriertransformation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:28 Mi 10.03.2004 | | Autor: | rad238 |
Hallo!
Ich brauche die Fourietransformierte von
[mm]
F(sign(sin(w_o*t)))=
\integral_{-\infty}^\infty{sign(sin(w_o*t))*e^{-j*w*t}*dt}
[/mm]
und es ist für mich wichtig, ein richtiges Ergebnis zu benutzen. Bei dem, was ich da gerechnet habe, bin ich aber ziemlich misstrauisch. Mein Ergebnis ist:
[mm]
-j*si(\bruch{\pi}{2}*\bruch{w}{w_o})
*sin(\bruch{\pi}{2}*\bruch{w}{w_o})
*\summe_{i=-\infty}^{\infty}\delta (w-n*w_o)
[/mm]
Ich hab auch schon mal bei onlinemathe.de nachgefragt, aber keine Antwort bekommen. Der Link dazu ist:
http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000000565&read=1&kat=Studium
Es wäre schön, wenn jemand das nachrechnen könnte. Ich hab das so gemacht:
Den sign(sin) aufteilen in eine Summe von stückweise konstanten Funktionen und als Faltung mit einer unendlichen Summe von Dirac-Distributionen darstellen. Dann die einzelnen Teile transformieren und im Frequenzbereich zusammensetzen.
Ich vermute aber, dass ich zumindest einen Fehler im Vorfaktor habe.
[mm]
sign(sin(w_o*t)) = rect(\bruch{2}{T}*t)
[/mm]*[mm]
( \delta(t-\bruch{T}{4})-\delta(t+\bruch{T}{4}) )
[/mm]*[mm]
\summe_{n=-\infty}^\infty\delta(t-n*T)
[/mm].
Dabei ist
[mm] T=\bruch{2*\pi}{w_o}[/mm]
und
[mm] rect(\bruch{t}{B})=\begin{pmatrix} {1, |t|<\bruch{B}{2}\\ {0, sonst} \end{pmatrix} [/mm]
und * ist das Faltungsprodukt, mit
[mm]
f(x)[/mm]*[mm]g(x)=
\integral_{-\infty}^\infty{f(u)*g(x-u)*du}
[/mm].
Das wird dann, wenn man es transformiert:
[mm]
\bruch{T}{2}*si(\bruch{T}{2}*\bruch{w}{2})
*(e^{-j*w*\bruch{T}{4}}-e^{j*w*\bruch{T}{4}})
*\bruch{1}{T}*\summe_{n={-\infty}}^{\infty} \delta(w-n*w_o)
[/mm]
=[mm]
\bruch{1}{2}*si(\bruch{T}{2}*\bruch{w}{2})
*(-2*j)*sin(\bruch{T}{4}*w)
*\summe_{n={-\infty}}^{\infty} \delta(w-n*w_o)
[/mm]
=[mm]
-j*si(\bruch{\pi}{w_o}*\bruch{w}{2})
*sin(\bruch{\pi}{w_o}*\bruch{w}{2})
*\summe_{n={-\infty}}^{\infty} \delta(w-n*w_o)
[/mm]
=[mm]
-j*\summe_{n={-\infty}}^{\infty}
si(\bruch{n*\pi}{2})
*sin(\bruch{n*\pi}{2})
* \delta(w-n*w_o)
[/mm]
rad238
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Mi 10.03.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo,
ich würde dir ja gerne helfen, nur verstehe ich nicht, was du da machst. Es liegt sicherlich daran, dass solche Transformationen im Mathestudium nie oders so gut wie nie explizit durchgeführt werden. Daher muss ich erst einmal ein paar Verständnisfragen stellen:
1) [mm]j[/mm] ist die imaginäre Einheit, nehme ich mal an? (Das würde ein Mathematiker nie so schreiben, aber in der E-Technik schreibt man das, glaube ich, so.)
2) Was ist bei dir genau die Signum-Funktion?
[mm]sign(x) = \left\{ \begin{array}{ccc}-1, & \mbox{falls} & x<0,\\
0, &\mbox{falls} & x=0,\\ 1, & \mbox{falls} & x>0 \end{array} \right.[/mm]
Wenn sie bei dir anders definiert ist, dann teile mir das bitte mit.
3) Was ist bei dir die Delta-Distribution? Ich kenne das als Distribution (also als Element des Dualraums von [mm]C_K(\Omega)[/mm], dem Raum der unendlich oft differenzierbaren Funktionen mit kompakten Träger auf einem Gebiet [mm]\Omega[/mm], versehen mit der durch die Halbnormenfamilie [mm]p_m(\varphi)=\sup\limits_{\vert \alpha\vert \le m} \sup\limits_{x\in \Omega} \vert D^{\alpha}\varphi)(x)\vert[/mm] induzierten lokalkonvexen Topologie) [mm]\delta_x[/mm], die jeder "Testfunktion" [mm]f \in C_K(\Omega)[/mm] den Wert [mm]\delta_x(f)=f(x)[/mm] zuweist.
Auch wenn du die funktionalanalytischen und topologischen Sachen jetzt nicht verstehst: Könnte das auch deine Definition sein?
4) In welchem Sinne soll dann genau
[mm]\int_{-\infty}^{\infty}sign(\sin(\omega_0\cdot t)) e^{j\omega t} dt =
-j si \left(\frac{n\pi}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\pi \omega}{2\omega_0}\right) \cdot \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(\omega-n\omega_0)[/mm]
gelten? Ist die linke Seite auch als Distribution aufzufassen, als die zu der auf der linken Seite stehenden Funktion (in [mm]\omega[/mm]) aufzufassenden regulären Distribution?
5) Was heißt [mm]si[/mm] ?
Wenn alles beantwortet ist und ich die E-Technik-Notation in Mathematik-Notation übersetzt habe, kann ich es versuchen. 
Liebe Grüße
julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:16 Mi 10.03.2004 | | Autor: | rad238 |
Hi!
Sorry, ich nahm an, die Mathematiker machen das genau so. Naja ok,
1)
Unser [mm] j [/mm] ist glaube ich Euer [mm] i [/mm] - die imaginäre Einheit.
2)
Die Signumfunktion ist gleich.
3)
Da verstehe ich nur Bahnhof. Ich habe die Delta-Distribution kennen gelernt als die Ableitung der Sprungfunktion:
[mm]
\delta = \bruch{d}{dx} E(x) = \bruch{d}{dx} \bruch{1+sign(x)}{2}
[/mm]
Das mit den Testfunktionen und dem 'alles ist unendlich oft diff'bar' kommt mir schon recht bekannt vor.
4)
Das sind doch dann alles Distributionen!? Überall. Oder nicht?
5)
[mm]
si(x)=\begin{pmatrix} \bruch{sin(x)}{x}, x\neq 0 \\ 1, x=0 \end{pmatrix}
[/mm]
Wenn dann alles mathematisch stimmig ist, wäre es nett, wenn Du das mal versuchen könntest. Die Transformation der rect-Funktion ist noch recht leicht mit dem Integral zu lösen. Darum bin ich mir da noch recht sicher. Aber was die Faltung mit der unendlichen Summe der Dirac-Distributionen angeht. Da muss man vermulich bei der Transformation irgendwie Integral und Summe vertauschen und so, und da weiß ich nicht mehr so genau.
Danke für Deine Unterstützung,
rad238
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 Mi 10.03.2004 | | Autor: | rad238 |
3)
Die Sprungfunktion ist eigentlich nicht diff'bar. Darum kommt ja dann auch was unendliches raus, wenn man das doch tut. Also überall 0, außer an der Stelle x=0, da ist der Wert unendlich.
Dann mach ich mal 'ne Beispielrechnung für die rect-Fkt.
F{rect(t)}=
[mm]
\integral_{-\infty}^{\infty}{rect(t)*e^{-i*w*t}*dt}
=\integral_{-\bruch{1}{2}}^{\bruch{1}{2}}{1*e^{-i*w*t}*dt}
=\bruch{1}{-i*w}*(e^{-i*w*\bruch{1}{2}}-e^{i*w*\bruch{1}{2}})
=\bruch{1}{-i*w}*(-2*i)*sin(\bruch{w}{2})
=\bruch{sin(\bruch{w}{2})}{\bruch{w}{2}}
=si(\bruch{w}{2})
[/mm]
Viele Grüße (auch an Rambo),
rad238
Ach so, ehe ich es vergesse! Vielleicht sollte ich erwähnen, dass ich mit dem * in der Formel in der allerersten Frage, das Faltungsprodukt meine:
[mm]
f(x)
[/mm]*[mm]
g(x)
=\integral_{-\infty}^\infty{f(u)*g(x-u)*du}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 Mi 10.03.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo,
> Die Sprungfunktion ist eigentlich nicht diff'bar. Darum
> kommt ja dann auch was unendliches raus, wenn man das doch
> tut. Also überall 0, außer an der Stelle x=0, da ist der
> Wert unendlich.
Hmh. (?) Das ist extrem seltsam.
> Dann mach ich mal 'ne Beispielrechnung für die rect-Fkt.
> F{rect(t)}=
> [mm]
> \integral_{-\infty}^{\infty}{rect(t)*e^{-i*w*t}*dt}
> =\integral_{-\bruch{1}{2}}^{\bruch{1}{2}}{1*e^{-i*w*t}*dt}
> =\bruch{1}{-i*w}*(e^{-i*w*\bruch{1}{2}}-e^{i*w*\bruch{1}{2}})
> =\bruch{1}{-i*w}*(-2*i)*sin(\bruch{w}{2})
> =\bruch{sin(\bruch{w}{2})}{\bruch{w}{2}}
> =si(\bruch{w}{2})
> [/mm]
Danke, die Rechnung habe ich verstanden.
Demnach wäre in deinem Beispiel:
[mm]\int_{-\infty}^{\infty} rect\left( \frac{2}{T} \cdot t \right) e^{-i\omega t}\, dt = \frac{1}{-i\omega} \left( e^{-i\omega \frac{T}{4}} - e^{i\omega\frac{T}{4}} \right)[/mm],
oder?
Wo finde ich das in deiner Rechnung?
Ich denke mal du hast zu recht so argumentiert:
Die Fouriertransformierte eines Faltungsproduktes ist das Produkt der Fouriertransformierten (denn die Fouriertransformierte ist ein topologischer Halbgruppenmorphismus, egal).
Wie rechnet ihr denn die Fouriertransformierte einer Distribution (in eurem Sinne) aus? Wie rechnet man denn da mit "[mm]\infty[/mm]"? Das würde mich echt mal interessieren.
Und: Wie bist du eigentlich auf
[mm]
sign(sin(w_o*t)) = rect(\bruch{2}{T}*t)
[/mm]*[mm]
( \delta(t-\bruch{T}{4})-\delta(t+\bruch{T}{4}) )
[/mm]*[mm]
\summe_{n=-\infty}^\infty\delta(t-n*T)
[/mm]
gekommen? Also, ich sehe das im Moment nicht so direkt, insbesondere für die Sprungstellen. Ich dachte, die Deltafunktion wäre gleich [mm]\infty[/mm] an den Sprungstellen? Links die Funktion ist ja beschränkt. Wie integriert ihr denn über diese Funktion genau? So, wie ich das geschrieben hatte (einfach den Funktionswert an der Stelle nehmen)?
Mir ist das hier alles immer noch extrem unklar, muss ich sagen. Solange ich es nicht verstehe, kann ich leider auch nicht helfen. Tut mir leid... Das liegt nicht an dir, sondern daran, dass in den Ingenieurswissenschaften eine Art "Mathematik" betrieben wird, die mit der (aximomatischen) Mathematik nicht wirklich konsistent ist.
Viele Grüße
julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:55 Do 11.03.2004 | | Autor: | rad238 |
Hallo,
[mm]\int_{-\infty}^{\infty} rect\left( \frac{2}{T} \cdot t \right)
e^{-i\omega t}\, dt = \frac{1}{-i\omega} \left( e^{-i\omega
\frac{T}{4}} - e^{i\omega\frac{T}{4}} \right)
=\bruch{2}{w}*sin(\bruch{T}{4}*w)
=\bruch{T}{2}*si(\bruch{T}{2}*\bruch{w}{2})
[/mm].
<"Ich denke mal du hast zu recht so argumentiert:
<Die Fouriertransformierte eines Faltungsproduktes ist das Produkt der <Fouriertransformierten (denn die Fouriertransformierte ist ein <topologischer Halbgruppenmorphismus, egal). "
Genau so habe ich argumentiert. Darum wird aus '*' vor der Transformation ein '[mm]*[/mm]' nach der Trafo.
<"Wie bist du eigentlich auf
<[mm]
<gekommen? "
sign(sin(x)) besteht ja aus einer Reihe von auf der Abszisse verschobenen Rechteckfunktionen. Und
[mm]
rect(x-x_o)
=rect(x)
[/mm]*[mm]
\delta(x-x_o)
[/mm].
Also ist
[mm]
rect(\bruch{2}{T}*t-\bruch{T}{4})-rect(\bruch{2}{T}*t+\bruch{T}{4})
=rect(\bruch{2}{T}*t)
[/mm]*[mm]
(\delta(t-\bruch{T}{4})-\delta(t+\bruch{T}{4}))
[/mm].
Wenn man das jetzt noch unendlich oft in positieve und negatieve t-Richtung um ganzzahlig Vielfache von T verschiebt, erhält man den sign(sin(x)). Naja, die rect-Fkt. muss dann so definiert sein, dass der Wert an der abfallenden und ansteigenden Flanke 0.5 ist, dazwischen 1 und sonst 0. Aber das ist ja fast das gleiche.
<"Wie rechnet ihr denn die Fouriertransformierte einer Distribution (in
<eurem Sinne) aus? Wie rechnet man denn da mit "[mm]\infty[/mm]"? Das
<würde mich echt mal interessieren."
[mm]
\integral_{-\infty}^\infty{f(x)*\delta(x-x_o)*dx}
=\integral_{-\infty}^\infty{f(x_o)*\delta(x-x_o)*dx}
=f(x_o)*E(x-x_o)
[/mm].
mit [mm]
E(x-x_o)
[/mm] als Einheits-Sprungfunktion. Das Integral ist ja die Umkehrung der Ableitung, und die Delta-Distribution ist doch die Ableitung der Sprungfunktion.
rad238
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:16 Do 11.03.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo rad238,
vielen Dank für deine Erklärungen! Jetzt ist mir das auch zumindestens von der Idee her klar, im Detail habe ich es nicht nachgerechnet.
Viele Grüße
julius
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:57 Do 11.03.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo rad238,
okay, ich habe mir die Sachen jetzt mathematisch übersetzt und kann dir folgendes sagen: Deine ersten beiden Faktoren sind richtig, der letzte Faktor leider nicht.
Für diesen gilt:
[mm]\int\limits_{-\infty}^{\infty} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT) e^{-i\omega t}\, dt[/mm]
[mm]= \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta(t-nT) e^{-i\omega t}\, dt[/mm]
(diese Vertauschung ist erlaubt, aus funktionalanalytischen Gründen)
[mm]= \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} e^{-i\omega nT}[/mm]
[mm]= \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \left[ \cos(\omega nT) - i\, \sin(\omega nT) \right][/mm].
Jetzt kannst du das Endergebnis ja selber noch mal angeben, wenn du möchtest. Ich kontrolliere es dir dann.
Viele Grüße
julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:16 Do 11.03.2004 | | Autor: | rad238 |
Hallo Julius,
vielen Dank für Deine Rechnung!
Mir ist da ein kleine Fehler bei der Beschreibung der Fouriertransfarmation im 1. Tread unterlaufen, der sich aber zum Glück kaum auswirkt. Es muss natürlich heißen
[mm]
F(f(t))=\integral_{-\infty}^\infty{f(t)*e^{-i*w*t} dt}
[/mm].
Also mit einem Minus im Exponenten. An allen anderen Stellen außer im ersten Beitrag ist das aber richtig. Das war nur ein Tipfehler, den ich auch schon korrigiert habe.
In Deiner Antwort ändert sich dadurch ledigelich das Vorzeichen vom Sinus. Ansonsten ist das ja das selbe.
Dann hat die Foutiertranformierte ja sowohl einen Realteil als auch einen Imaginärteil..
rad238
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:14 Do 11.03.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo rad238,
> Mir ist da ein kleine Fehler bei der Beschreibung der
> Fouriertransfarmation im 1. Tread unterlaufen, der sich
> aber zum Glück kaum auswirkt. Es muss natürlich heißen
>
> [mm]
> F(f(t))=\integral_{-\infty}^\infty{f(t)*e^{-i*w*t} dt}
> [/mm].
Das ist nicht einheitlich. Manchmal wird die Fouriertransformierte mit negativem, manchmal mit positivem Vorzeichen im Exponenten definiert. Außerdem wird das Integral häufig noch normiert.
> Also mit einem Minus im Exponenten. An allen anderen
> Stellen außer im ersten Beitrag ist das aber richtig. Das
> war nur ein Tipfehler, den ich auch schon korrigiert
> habe.
> In Deiner Antwort ändert sich dadurch ledigelich das
> Vorzeichen vom Sinus. Ansonsten ist das ja das selbe.
Ich habe es jetzt gemäß deiner Definition verbessert.
> Dann hat die Foutiertranformierte ja sowohl einen Realteil
> als auch einen Imaginärteil..
Ja, aber das ist ja meistens so.
Damit sehe ich die Aufgabe als erledigt an.
Viele Grüße
julius
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