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Habe eine "dumme" Frage zur Fouriertransformation...
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Was bedeutet das [mm] \delta [/mm] in der transformierten der Sinusfunktion??
f(x) = [mm] a*sin(2\pi\alpha [/mm] x)
<=>
[mm] F(\omega) [/mm] = [mm] a/2*i*\delta(\omega [/mm] + [mm] \alpha)-a/2*i*\delta(\omega [/mm] - [mm] \alpha)
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Mi 14.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Was bedeutet das [mm]\delta[/mm] in der transformierten der
> Sinusfunktion??
> f(x) = [mm]a*sin(2\pi\alpha[/mm] x)
> <=>
> [mm]F(\omega)[/mm] = [mm]a/2*i*\delta(\omega + \alpha)-a/2*i*\delta(\omega - \alpha)[/mm]
Das ist die [mm]\delta[/mm]-Distribution, oft auch [mm]\delta[/mm]-Funktion genannt.
Häufig wird folgende Definition von [mm]\delta[/mm] zitiert, die zwar anschaulich, aber mathematisch in sich widersprüchlich ist:
[mm]\delta(x) = \begin{cases} 0 & \text{ für $x\not=0$,} \\ 1 & \text{ für $x=0$,} \end{cases}[/mm] und [mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\, dx = 1 [/mm].
Das heisst: man beginnt mit einem ![[]](/images/popup.gif) Rechteckimpuls mit Fläche 1 und lässt ihn immer schmaler und höher werden, ohne die Fläche zu ändern.
In deiner Fouriertransformierten wäre [mm]\delta(\omega + \alpha)[/mm] 0, außer für [mm]\omega=-\alpha[/mm]. Die Fouriertransformierte wäre also nur für [mm]\omega=\pm\alpha[/mm] von 0 verschieden; trotzdem ist das Integral über [mm]F(\omega)[/mm] eine von 0 verschiedene Größe.
Tatsächlich kann muss man den Begriff der Funktion verallgemeinern, um die verschiedenen Eigenschaften unter einen Hut zu bringen:
Distributionen sind lineare Funktionale, das sind sind lineare Abbildungen von einem Funktionenraum in die (reellen oder komplexen) Zahlen.
[mm]\delta[/mm] ist definiert über die Eigenschaft
[mm]\integral_{-\infty}^{+\infty}\delta(x) *f(x)\, dx = f(0) [/mm] für beliebige Funktionen f.
Viele Grüße
Rainer
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