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Fouriertransformation/Delta: Aufgabe 6.2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:18 Do 15.07.2010
Autor: Joo325

Hi,

ich habe []hier einen Artikel, den ich durcharbeiten soll. Nun komme ich auf Seite 11 Aufgabe 6.2 einfach nicht weiter. Die Fouriertrasnformation habe ich hin bekommen, die Bedingungen an Ah sind kein Thema, aber auf die letzte Aussage
[mm] \gamma_J [/mm] = -0,5 [mm] <\phi, (1-\beta \Delta)^{-1} \phi>_(H^{-1}(R^m), H^1(R^m)) [/mm]
komme ich nicht. Das  [mm] \Delta [/mm] kenne ich nur als Laplace Operator, aber sollte dann nicht eine Funktion dahinter stehen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielleicht hat ja einer von euch eine Idee. Danke!

        
Bezug
Fouriertransformation/Delta: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:07 Do 15.07.2010
Autor: meili

Hallo Joo325,

der Link funktioniert nicht.

Gruß meili

Bezug
                
Bezug
Fouriertransformation/Delta: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:01 Do 15.07.2010
Autor: rainerS

Hallo!

> der Link funktioniert nicht.

Korrigiert.

Rainer

Bezug
        
Bezug
Fouriertransformation/Delta: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:15 Do 15.07.2010
Autor: rainerS

Hallo!

> ich habe
> []hier
> einen Artikel, den ich durcharbeiten soll. Nun komme ich
> auf Seite 11 Aufgabe 6.2 einfach nicht weiter. Die
> Fouriertrasnformation habe ich hin bekommen, die
> Bedingungen an Ah sind kein Thema, aber auf die letzte
> Aussage
> [mm]\gamma_J = -0,5 <\varphi, (1-\beta \Delta)^{-1} \varphi>_{H^{-1}(\IR^m), H^1(\IR^m)}[/mm]
>  
> komme ich nicht. Das  [mm]\Delta[/mm] kenne ich nur als Laplace
> Operator, aber sollte dann nicht eine Funktion dahinter
> stehen?

Das ist eine Schrweibweise für den inversen Operator, also [mm] $(1-\beta \Delta)^{-1}$ [/mm] ist der inverse Operator zu [mm] $(1-\beta \Delta)$. [/mm]

Dass der hier auftritt, scheint mir plausibel: Gleichung (12) beschreibt ein Variationsproblem, und die Euler-Lagrange-Gleichung ist doch

[mm] (1-\beta\Delta) v_g = \varphi [/mm] .

Wenn du jetzt den zweiten Summanden im ersten Integral partiell integrierst, wird daraus [mm] $-\beta v_g\Delta v_g$; [/mm] durch Einsetzen der Euler-Lagrange-Gleichung entsteht im ersten Integral [mm] $-v_g \varphi$, [/mm] also ist es gerade $1/2$ mal dem zweiten Integral. Wenn du dann

[mm] \varphi = (1-\beta \Delta)^{-1} v_g [/mm]

einsetzt, entsteht die gesuchte Gleichung.

(Das ist natürlich Alles ohne exakte Herleitung, nur mit Handwedeln).

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
Fouriertransformation/Delta: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:04 Fr 16.07.2010
Autor: Joo325

Danke für die ausführliche Antwort.

Von der Euler-Lagrange-Gleichung habe ich zwar mal etwas gehört, aber ich kann nicht wirklich viel damit anfangen bzw. sie auf mein jetziges Problem anwenden.

Bezug
                        
Bezug
Fouriertransformation/Delta: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:13 Fr 16.07.2010
Autor: rainerS

Hallo!

> Danke für die ausführliche Antwort.
>
> Von der Euler-Lagrange-Gleichung habe ich zwar mal etwas
> gehört, aber ich kann nicht wirklich viel damit anfangen
> bzw. sie auf mein jetziges Problem anwenden.

In dem gegebenen Optimal-Control-Problem beschreibt Gleichung (12), dass die Funktion [mm] $v_g$ [/mm] so bestimmt werden soll, dass ein Integral minimal wird. Das ist ein Variationsproblem, zu dessen Lösung die Euler-Lagrange-DGL ausgestellt und gelöst wird. Schau mal []hier.

  Viele Grüße
    Rainer

Bezug
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