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Forum "Fourier-Transformation" - Fouriertransformierte von rect
Fouriertransformierte von rect < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Fouriertransformierte von rect: Verständnisprob. Rechnung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:39 So 28.12.2008
Autor: energizer

Folgendes Beispiel: Ich habe ein Rechteckimpuls der Breite T und der Höhe A

T geht von [mm] -\bruch{T}{2} [/mm] bis [mm] +\bruch{T}{2} [/mm]
f(t)=A*rect(t/T) davon soll die Fouriertransformierte bestimmt werden.

[mm] F({\omega})=\integral_{-({infty})}^{{\infty}}{A*e^{-j{\omega}t} d{\omega}} [/mm]
[mm] =A*\integral_{-\bruch{T}{2}}^{\bruch{T}{2}}{e^{-j{\omega}t} d{\omega}} [/mm]

[mm] =A*[\bruch{e^{-j{\omega}t}}{-j{\omega}}] [/mm] (Grenzen von -T/2 - +T/2)

bis hierhin hab ich alles so wie im Beispiel hinbekommen

Nach dem Einsetzen der Grenzen steht im Script ->

[mm] =\bruch{A}{-j{\omega}}*2j*\bruch{e^{-j{\omega}\bruch{T}{2}}-e^{j{\omega}\bruch{T}{2}}}{2j} [/mm]

Wenn ich die Grenzen einsetze bekomme ich das raus ->

[mm] =\bruch{A}{-j{\omega}}*(e^{-j{\omega}\bruch{T}{2}}-e^{j{\omega}\bruch{T}{2}}) [/mm]

Wie kommt man darauf, kann mir einer das erklären?
Im Grunde wurde einfach mit 2j multipliziert aber warum? Es kürzt sich ja im Endeffekt raus...

Und den letzten Schritt(siehe Link [mm] \bruch{\bruch{T}{2}*2A}{{\omega}\bruch{T}{2}}*sin({\omega}\bruch{T}{2}) [/mm] kann ich irgendwie nicht nachvollziehen, kleine Vorahnung hab ich, das man vielleicht mit [mm] e^{j*w*t}=cos(w*t)+jsin(w*t) [/mm] zum Ziel kommt?

Wäre nett wenn mir einer den Rechenweg erklärt.

Hier der Ausschnitt aus dem Script:
[]klickmich

Mfg

        
Bezug
Fouriertransformierte von rect: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:36 So 28.12.2008
Autor: MathePower

Hallo energizer,

> Folgendes Beispiel: Ich habe ein Rechteckimpuls der Breite
> T und der Höhe A
>  
> T geht von [mm]-\bruch{T}{2}[/mm] bis [mm]+\bruch{T}{2}[/mm]
> f(t)=A*rect(t/T) davon soll die Fouriertransformierte
> bestimmt werden.
>  
> [mm]F({\omega})=\integral_{-({infty})}^{{\infty}}{A*e^{-j{\omega}t} d{\omega}}[/mm]
>  
> [mm]=A*\integral_{-\bruch{T}{2}}^{\bruch{T}{2}}{e^{-j{\omega}t} d{\omega}}[/mm]
>  
> [mm]=A*[\bruch{e^{-j{\omega}t}}{-j{\omega}}][/mm] (Grenzen von -T/2
> - +T/2)
>  
> bis hierhin hab ich alles so wie im Beispiel hinbekommen
>  
> Nach dem Einsetzen der Grenzen steht im Script ->
>  
> [mm]=\bruch{A}{-j{\omega}}*2j*\bruch{e^{-j{\omega}\bruch{T}{2}}-e^{j{\omega}\bruch{T}{2}}}{2j}[/mm]
>  
> Wenn ich die Grenzen einsetze bekomme ich das raus ->
>  
> [mm]=\bruch{A}{-j{\omega}}*(e^{-j{\omega}\bruch{T}{2}}-e^{j{\omega}\bruch{T}{2}})[/mm]
>  
> Wie kommt man darauf, kann mir einer das erklären?
>  Im Grunde wurde einfach mit 2j multipliziert aber warum?
> Es kürzt sich ja im Endeffekt raus...


Die ganze Trickserei, d.h. das Erweitern mit einer künstlichen Eins ([mm]\bruch{2j}{2j}[/mm] bzw. [mm]\bruch{\bruch{T}{2}}{\bruch{T}{2}}[/mm])
wurde nur gemacht um dann die im Skript in der letzten Zeile stehenden Funktion
[mm]\operatorname{si}\left(x\right)[/mm] definieren zu können.


>  
> Und den letzten Schritt(siehe Link
> [mm]\bruch{\bruch{T}{2}*2A}{{\omega}\bruch{T}{2}}*sin({\omega}\bruch{T}{2})[/mm]
> kann ich irgendwie nicht nachvollziehen, kleine Vorahnung
> hab ich, das man vielleicht mit
> [mm]e^{j*w*t}=cos(w*t)+jsin(w*t)[/mm] zum Ziel kommt?


So ist es.


>  
> Wäre nett wenn mir einer den Rechenweg erklärt.
>
> Hier der Ausschnitt aus dem Script:
>  []klickmich
>  
> Mfg


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Fouriertransformierte von rect: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:09 So 28.12.2008
Autor: energizer

Hi danke erstma, noch ne Frage und zwar ist den [mm] e^{-jwt}=cos(-w*t)+jsin(-w*t)? [/mm]

bin mir da nicht so sicher bzw. weiß nicht mehr wie man das genau umwandelt.

Mfg

Bezug
                        
Bezug
Fouriertransformierte von rect: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:13 So 28.12.2008
Autor: MathePower

Hallo energizer,

> Hi danke erstma, noch ne Frage und zwar ist den
> [mm]e^{-jwt}=cos(-w*t)+jsin(-w*t)?[/mm]


Ja, und da

[mm]\cos\left(-w*t\right)=\cos\left(w*t\right)[/mm]

gilt

[mm]e^{-jwt}=\cos\left(w*t\right)-j*\sin\left(w*t\right)[/mm]


>  
> bin mir da nicht so sicher bzw. weiß nicht mehr wie man das
> genau umwandelt.
>  
> Mfg


Gruß
MathePower


Bezug
                
Bezug
Fouriertransformierte von rect: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:02 So 28.12.2008
Autor: energizer

Danke habs hinbekommen.

Mfg

Bezug
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