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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Mo 10.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, Leute!
Ich hab hier eine Aufgabe, die ich versuche zu lösen, aber ich komm leider nicht weiter bzw. ich weiß nicht genau, ob es stimmt.
Ich hoffe, ihr könnt mir weiter helfen! Danke!
Das ist die Aufgabe:
Zeige, dass
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{k}{k^{2}+ n^{2}} [/mm] = 0.
Das ist meine Lösung:
Ich habe [mm] \bruch{k}{n^{2}} [/mm] als Majorante gewählt (weil wir die Aufgabe mit Hilfe der dominierten Konvergenz lösen sollen), da gilt:
[mm] |\bruch{k}{k^{2}+ n^{2}}| \le \bruch{k}{n^{2}}.
[/mm]
Jetzt zeige ich, dass [mm] \bruch{k}{n^{2}} [/mm] eine summierbare Majorante ist.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{k}{n^{2}} [/mm]
= k [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}} [/mm]
Ich weiß, dass [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n(n-1)} [/mm] konvergiert.
Also: [mm] \bruch{1}{n^{2}} \le \bruch{1}{n(n-1)} [/mm] für alle m [mm] \ge [/mm] 2.
Daraus folgt, dass k [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}} [/mm] auch konvergiert (Majorantenkriterium).
Nun habe ich also eine summierbare Majorante gefunden.
Es gilt also nach dem Satz der dominierten Konvergenz:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{k}{k^{2}+ n^{2}} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{k}{k^{2}+ n^{2}} [/mm]
Es gilt:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{k}{k^{2}+ n^{2}} [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{k+ \bruch{n^{2}}{k}} [/mm] = 0
Daraus folgt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{k}{k^{2}+ n^{2}} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] 0 = 0.
Stimmt meine Lösung?
Kann mir vielleicht eine andere bessere Majorante vorschlagen?
Ich weiß aus Büchern, dass [mm] _{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n(n-1)} [/mm] konvergiert, aber wie beweise ich das?
Danke für eure Hilfe!
Ciao!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:50 Di 11.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo VHN,
nur noch kurz hierzu:
> Kann mir vielleicht eine andere bessere Majorante
> vorschlagen?
Naja, wie du hier:
![[]](/images/popup.gif) Skript zur Analysis Beispiel 6.9 (S.53, skriptinterne Zählung) entnimmst, konvergiert bereits [m]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/m].
> Ich weiß aus Büchern, dass [mm]_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n(n-1)}[/mm]
> konvergiert, aber wie beweise ich das?
Du meinst:
[mm]\sum\limits_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n(n-1)}[/mm]
Z.B. so:
[m]\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(n-1)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}[/m] (Dieses Umschreiben deiner Reihe in [m]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}[/m] ist nicht unbedingt notwendig, aber ich habe das schon öfters in dieser Form gerechnet, so dass mir dann ein Fehler eher auffällt, sollte mir einer passieren. 
Du kannst ja auch mal versuchen, das folgende alles analog mit der Darstellung [m]\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(n-1)}[/m] zu rechnen!)
Ist nun $k [mm] \in \IN$ [/mm] fest, so gilt:
[m]\sum\limits_{n=1}^{k}\frac{1}{n(n+1)}
=\sum\limits_{n=1}^k\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}
=\sum\limits_{n=1}^k\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)
=\left(\sum\limits_{n=1}^k\frac{1}{n}\right)-\left(\sum\limits_{n=1}^k\frac{1}{n+1}\right)
=\underbrace{\left(\sum\limits_{n=0}^{k-1}\frac{1}{n+1}\right)}_{Achtung:\;\,Indexverschiebung!!!}-\left(\sum\limits_{n=1}^k\frac{1}{n+1}\right)[/m]
[m]=\frac{1}{0+1}+\underbrace{\left(\sum\limits_{n=1}^{k-1}\frac{1}{n+1}\right)-\left(\sum\limits_{n=1}^{k-1}\frac{1}{n+1}\right)}_{=0}-\frac{1}{k+1}
=1-\frac{1}{k+1}[/m]
(Versuche mal, die Umformungen nachzuvollziehen. Falls es unklar sein sollte und du es aber dringend brauchst, so kannst du auch die Behauptung:
[m]\sum\limits_{n=1}^{k}\frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{k+1}[/m]
durch Induktion über $k$ nachrechnen!)
Und lässt du nun $k [mm] \to \infty$ [/mm] laufen, so folgt:
[m]\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(n-1)}
=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}
=\lim\limits_{k \to \infty}\left(\sum\limits_{n=1}^{k}\frac{1}{n(n+1)}\right)
=\lim\limits_{k \to \infty}\left(1-\frac{1}{k+1}\right)
=1-0
=1[/m]
(Wobei man das besser von rechts nach links lesen sollte!)
Wir wissen also, dass [m]\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(n-1)}[/m] konvergiert und wir kennen sogar den Grenzwert dieser Reihe:
[m]\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(n-1)}=1[/m]
So, das jetzt als "kleine" Antwort. Über den Rest deiner Aufgabe (bzw. über deine Lösung) denke ich vielleicht ein andermal noch nach (sah aber nicht schlecht aus beim flüchtigen Lesen ). Jetzt gehe ich gleich erstmal schlafen.
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
PS: Könntest du vielleicht den "Satz über die dominierte Konvergenz" formulieren oder genauer angeben (verlinken)? Wenn das der ist, von dem ich meine, er ist es, kenne ich diesen Satz eigentlich aus der Integralrechnung... Vielleicht stehe ich aber gerade auch nur auf dem Schlauch ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") oder bin zu müde ![[saumuede]](/images/smileys/saumuede.gif "[saumuede]") ...
Viele Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Di 11.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo VHN!
Leider ist deine Lösung schon vom Ansatz her nicht richtig. Wenn du den Satz von der dominierten Konvergenz anwenden willst, musst du eine Majorante finden, die nicht von $k$ (sondern nur von $n$ abhängt).
Die ist hier aber schwer zu finden!
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Mi 12.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo!
Ich hab versucht die Aufgabe zu lösen. Und das hier ist meine Lösung. Aber vorher gebe ich noch die Definition von der dominierten Konvergenz an, die wir in der Vorlesung benutzt haben:
Definition von der dominierten Konvergenz:
Es sei [mm] (a_{k})^{(n)}, [/mm] k [mm] \in \IN, [/mm] eine Doppelfolge in [mm] \IC:
[/mm]
(1) Für alle n [mm] \in \IN \exists \limes_{k\rightarrow\infty} (a_{k})^{n}
[/mm]
(2) [mm] \exists b^{(n)} \ge [/mm] 0; n [mm] \in \IN, [/mm] mit [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b^{(n)} [/mm] < + [mm] \infty, [/mm] so dass für [mm] \forall [/mm] k, n [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] |(a_{k})^{(n)}| \le b^{(n)} [/mm]
Dann existiert [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{n=0}^{\infty} (a_{k})^{(n)} \in \IC, [/mm] und es gilt:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{n=0}^{\infty} (a_{k})^{(n)} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \limes_{k\rightarrow\infty} (a_{k})^{(n)} [/mm]
So, und jetzt mein Ansatz:
[mm] \bruch{k}{k^{2} + n^{2}} [/mm] = [mm] (a_{k})^{(n)} [/mm]
Meine summierbare Majorante von [mm] (a_{k})^{(n)} [/mm] ist nun [mm] b^{(n)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] (unabhängig von k).
Ich beweise nun, dass [mm] b^{(n)} [/mm] tatsächlich eine summierbare Majorante ist mit [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b^{(n)} [/mm] < + [mm] \infty.
[/mm]
Ich weiß ja, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+1)} [/mm] = 1 ist (siehe Marcel´s Antwort).
Wenn [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+1)} [/mm] = 1 gilt, gilt auch, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2}{n(n+1)} [/mm] konvergiert, und zwar gegen 2.
Also gilt: [mm] \bruch{1}{n^{2}} \le \bruch{2}{n(n+1)}.
[/mm]
Nach dem Majorantenkriterium gilt also weiterhin, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}} [/mm] absolut konvergiert.
Also haben wir eine summierbare Majorante gefunden, und zwar [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}}.
[/mm]
Jetzt darf man [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] und [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] vertauschen, und es gilt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{k}{k^{2} + n^{2}} [/mm] = 0 (siehe meine erste Frage zu diesem Strang).
Stimmt meine Lösung? Wenn nein, bitte ich bitte um Korrektur meiner Fehler!  Danke!
Ciao!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Do 13.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Nein, das ist leider nicht richtig!
> Ich beweise nun, dass [mm]b^{(n)}[/mm] tatsächlich eine summierbare
> Majorante ist mit [mm]\summe_{n=0}^{\infty} b^{(n)}[/mm] < +
> [mm]\infty.
[/mm]
Dann müsstest du insbesondere zeigen, dass
[mm] $\frac{k}{k^2 + n^2} \le \frac{1}{n^2}$
[/mm]
für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] und alle hinreichend großen $k [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, was du nicht tust (und was auch falsch ist).
Ich selber habe auch keine konvergente Majorante gefunden. Mir scheint die Aufgabe muss ganz anders gelöst werden. Mich würde die Lösung interessieren. Teile sie mir bitte mit, sobald du sie kennst.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:30 Fr 14.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo!
Unser Prof hat uns die falsche Angabe angegeben.
Wir sollen jetzt naemlich zeigen, dass
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{k}{n(k^{2}+n^{2})} [/mm] = 0 ist.
Diesen Beweis sollen wir mit Hilfe des Satzes der dominierten Konvergenz zeigen.
Kann mir bitte jemand helfen, und sagen, wie hier meine Majorante lauten koennte.
Ich habe es mit [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] versucht als Majorante, aber ich weiss nicht, ob das stimmt.
Danke fuer eure Hilfe.
Ciao!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Fr 14.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, ich habe jetzt versucht eine Majorante zu finden.
das ist sie:
[mm] \bruch{1}{n(n^{2}+1)}
[/mm]
Stimmt das?
[mm] \bruch{1}{n(n^{2}+k^{2})} \le \bruch{1}{n(n^{2}+1)}
[/mm]
[mm] \bruch{n^{2}+1}{n(n^{2}+k^{2})(n^{2}+1)} \le \bruch{n^{2}+k^{2}}{n(n^{2}+k^{2})(n^{2}+1)} [/mm]
Ich habe hier auf den selben Hauptnenner gebracht. Jetzt vergleiche ich die Zaehler der beiden Brueche:
[mm] n^{2}+1 \le n^{2}+k^{2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n(n^{2}+1)} [/mm] ist jetzt meine summierbare Majorante. stimmt sie?
danke fuer eure Hilfe!
Ciao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:30 Sa 15.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo VNH!
Nein, das stimmt wieder nicht. Du hast das $k$ im Zähler vergessen...
Richtig geht es jetzt so:
Wir haben:
[mm] $(k-n)^2 \ge [/mm] 0$,
also:
[mm] $k^2 [/mm] + [mm] n^2 \ge [/mm] 2nk$
und damit
[mm] $\frac{k}{n(k^2+n^2)} \le \frac{k}{2n^2k} [/mm] = [mm] \frac{1}{2n^2}$.
[/mm]
Somit ist
[mm] $a_n:=\frac{1}{2n^2}$
[/mm]
die konvergente Majorante.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 Sa 15.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, Julius!
Danke für deine Hilfe. Ich glaub, ich hab die Aufgabe jetzt lösen können.
Ich müsste eigentlich von selber auf diese Majorante kommen, aber ich habe noch nicht dieses "mathematische Auge" dafür!
Danke nochmals! Ciao!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:20 Mi 19.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, Julius!
Nochmals danke für deine Hilfe. Ich habe deine Lösung verstanden und konnte sie auch umsetzen in meiner Aufgabe.
Aber trotzdem verstehe ich nicht ganz, warum meine Majorante, nämlich
[mm] \bruch{1}{n(n^{2}+1)}, [/mm] falsch ist.
Mir ist zwar klar, dass deine Majorante besser ist, vor allem logischer , aber warum ist meine falsch?
Liegt es daran, weil ich die Zähler vielleicht doch nicht wirklich miteinander vergleichen kann?
Danke für deine Mühe!
Ciao!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:46 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Deine Majorante ist deswegen falsch, weil eben nicht für alle hinreichend großen $k [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm] $\frac{k}{n(k^2+n^2)} \le \frac{1}{n(n^2+1)}$.
[/mm]
Bei deinem Beweisversuch hast du ja nur
[mm] $\frac{1}{n(k^2+n^2)} \le \frac{1}{n(n^2+1)}$
[/mm]
gezeigt...
Viele Grüße
Julius
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