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Hallo,
ich hoffe, dass mir jmd bei folgender Aufgabe behilflich sein kann:
Bestimmen Sie alle x [mm] \in \IR, [/mm] für die :
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2^n)*n^2}*(x+\pi)^n
[/mm]
konvergiert.
Wir hatten ein ähnliches Beispiel, jedoch ohne [mm] (-1)^n [/mm] im Zähler.
Ich bin wie folgt vorgegangen:
Wurzelkriterium:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(-1)^n}{\wurzel[n]{2^n*n^2}}
[/mm]
= 1/2 [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(-1)^n}{\wurzel[n]{n}}
[/mm]
= 0.5 * [mm] -\infty [/mm] = - infty
wäre das so korrekt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:06 Do 13.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Ich bin wie folgt vorgegangen:
um was zu tun? x taucht bei Dir überhaupt nicht mehr auf.
> Wurzelkriterium
was ist denn die Definition des Wurzelkriteriums? Denn Du hast sie nicht angewandt.
> $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(-1)^n}{\wurzel[n]{n}} =-\infty$
[/mm]
Das kann nicht stimmen. Der Nenner konvergiert gegen 1 und der Zähler alterniert zwischen 1 und -1. Da kommt sicher weder ein - noch ein unendlich raus.
Welche anderen Konvergenzkriterien kennst Du denn noch? Vielleicht ein spezielles für alternierende Reihen?
ciao
Stefan
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Oh, da hast du recht.
Ich hab eben noch einmal nachgeguckt, für alternierende Reihen eignet sich das Leibniz-Kriterium, aber wie wende ich das denn an?
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Hallo syoss2012,
> Oh, da hast du recht.
>
> Ich hab eben noch einmal nachgeguckt, für alternierende
> Reihen eignet sich das Leibniz-Kriterium, aber wie wende
> ich das denn an?
Du hast doch hier eine Potenzreihe [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot{}(x-x_0)^n$ [/mm] gegeben.
Wobei [mm] $a_n=\frac{(-1)^n}{2^n\cdot{}n^2}$ [/mm] und [mm] $x_0=-\pi$
[/mm]
Da gilt es zunächst mal, den Konvergenzradius [mm] $\rho$ [/mm] zu bestimmen.
Dazu gibt es eingene Kriterien, hier bietet sich Cauchy-Hadamard an.
Berechne [mm] $\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$
[/mm]
Alternativ [mm] $\rho=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$, [/mm] wenn alles wohldefiniert ist.
Dann hast du (absolute) Konvergenz für [mm] $|x-x_0|<\rho$ [/mm] und sicher Divergenz für [mm] $|x-x_0|>\rho$
[/mm]
Wie es an den Intervallgrenzen [mm] $|x-x_0|=\rho$ [/mm] aussieht, musst du durch Einsetzen der entsprechenden $x$-Werte in die Ausgangsreihe und das Heranziehen der "üblichen" Konvergenzkriterien dann noch herausfinden.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Do 13.10.2011 | | Autor: | Balsam |
Woran seh ich denn, ob eine Reihe wohldefiniert ist?
Ich habs jetzt mal versucht:
[mm] \rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=
[/mm]
[mm] \rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\bruch{(-1)^n}{2^n n^2}|}}
[/mm]
ist das erst einmal so richtig?
Was kann ich jetzt mit diesem Ausdruck veranstalten?
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Hallo,
> Woran seh ich denn, ob eine Reihe wohldefiniert ist?
Nicht die Reihe, der Quotient [mm]\frac{a_n}{a_{n+1}}[/mm].
Du darfst nicht durch 0 teilen ...
>
> Ich habs jetzt mal versucht:
>
> [mm]\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=[/mm]
>
> [mm]\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\bruch{(-1)^n}{2^n n^2}|}}[/mm]
>
> ist das erst einmal so richtig? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Durch den Betrag wird [mm](-1)^n[/mm] zu 1
Dann Potenzgesetze:
[mm]\sqrt[n]{\frac{1}{2^n\cdot{}n^2}}=\frac{\sqrt[n]{1}}{\sqrt[n]{2^n}\cdot{}\sqrt[n]{n^2}}=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{\sqrt[n]{n^2}}[/mm]
Nun weißt du sicher, dass [mm]\sqrt[n]{n}\longrightarrow 1[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
Was passiert also für [mm]\sqrt[n]{n^2}=\left(\sqrt[n]{n}\right)^2[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
Gruß
schachuzipus
> Was kann ich jetzt mit diesem Ausdruck veranstalten?
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[mm] \sqrt[n]{n^2}=\left(\sqrt[n]{n}\right)^2
[/mm]
daraus folgt für n--> [mm] \infty, [/mm] dass [mm] (1)^n [/mm] und unser Ergebnis 0.5 ist.
Stimmt das so?
Konvergenzradius wäre dann 1:0.5 =2
Wie gehts weiter? Du hattest gesag, dass ich dass jetzt irgendwie einsetzen soll ?
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Hallo nochmal,
> [mm]\sqrt[n]{n^2}=\left(\sqrt[n]{n}\right)^2[/mm]
>
> daraus folgt für n--> [mm]\infty,[/mm] dass [mm](1)^n[/mm]
[mm] $\sqrt[n]{n^2}\longrightarrow 1^2=1$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
> und unser
> Ergebnis 0.5 ist.
>
> Stimmt das so?
>
> Konvergenzradius wäre dann 1:0.5 =2
>
> Wie gehts weiter? Du hattest gesag, dass ich dass jetzt
> irgendwie einsetzen soll ?
Nun, das habe ich doch oben ausführlich geschrieben.
Du hast nun sicher (absolute) Konvergenz für [mm] $|x+\pi|<2$ [/mm] und Divergenz für [mm] $|x+\pi|>2$
[/mm]
Welches offene Intervall wird denn durch [mm] $|x+\pi|<2$ [/mm] beschrieben?
Kannst du das mal als Intervall schreiben?
Also sowas wie: Wir haben Konvergenz für [mm] $x\in(...,...)$ [/mm]
An den beiden Rändern dieses Intervalls, also für [mm] $|x+\pi|=2$, [/mm] dh. $x=...$ und $x=...$ kann Konvergenz oder Divergenz vorliegen.
Das musst du noch untersuchen.
Setze dazu die x-Werte an den Intervallgrenzen in die Ausgangsreihe ein und mache eine Konvergenzuntersuchung.
Aber drösel das Obige erstmal auf, wenn du es in der Form [mm] $x\in(...,...)$ [/mm] geschrieben hast, ist es nicht mehr weit!
Gruß
schachuzipus
>
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Welches offene Intervall wird denn durch $ [mm] |x+\pi|<2 [/mm] $ beschrieben?
Kannst du das mal als Intervall schreiben?
Also sowas wie: Wir haben Konvergenz für $ [mm] x\in(...,...) [/mm] $
Hier habe ich schon ein Verständnisproblem:
[mm] |x+\pi| [/mm] < 2 kann doch nie kleiner als 2 sein, weil [mm] \pi [/mm] schon 3,.. ist... deshalb weiß ich nicht, wie ich das bearbeiten soll
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 Do 13.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Welches offene Intervall wird denn durch [mm]|x+\pi|<2[/mm]
> beschrieben?
>
> Kannst du das mal als Intervall schreiben?
>
> Also sowas wie: Wir haben Konvergenz für [mm]x\in(...,...)[/mm]
>
>
> Hier habe ich schon ein Verständnisproblem:
>
> [mm]|x+\pi|[/mm] < 2 kann doch nie kleiner als 2 sein, weil [mm]\pi[/mm]
> schon 3,.. ist... deshalb weiß ich nicht, wie ich das
> bearbeiten soll
[mm] $|x+\pi|<2$ \gdw [/mm] $-2<x+ [mm] \pi<2$ \gdw [/mm] $-2- [mm] \pi [/mm] <x< 2- [mm] \pi$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Do 13.10.2011 | | Autor: | Balsam |
Ach so ist das gemeint.
Hm, dann divergiert die Reihe für:
[mm] |x+\pi| [/mm] > 2, also für [mm] x>-\pi+2 [/mm] und für [mm] x<-\pi-2
[/mm]
und dann noch die Randpunkte:
[mm] |x+\pi|=2, [/mm] also [mm] x=-\pi+2 [/mm] und [mm] x=-\pi-2
[/mm]
Jetzt müsste man die Reihe doch für:
x=2 und x=-2 untersuchen oder?
x=2 : [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n (x+\pi)^n [/mm] =
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n (2+\pi)^n
[/mm]
ist das alles soweit richtig? wenn ja wie geh ich da weiter vor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Do 13.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ach so ist das gemeint.
>
> Hm, dann divergiert die Reihe für:
>
> [mm]|x+\pi|[/mm] > 2, also für [mm]x>-\pi+2[/mm] und für [mm]x<-\pi-2[/mm]
Ja
>
> und dann noch die Randpunkte:
>
> [mm]|x+\pi|=2,[/mm] also [mm]x=-\pi+2[/mm] und [mm]x=-\pi-2[/mm]
>
>
> Jetzt müsste man die Reihe doch für:
>
> x=2 und x=-2 untersuchen oder?
Nein, für [mm]x=-\pi+2[/mm] und [mm]x=-\pi-2[/mm]
Z.B. erhältst Du für [mm]x=-\pi+2[/mm] die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n^2}
[/mm]
FRED
>
> x=2 : [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n (x+\pi)^n[/mm] =
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n (2+\pi)^n[/mm]
>
>
> ist das alles soweit richtig? wenn ja wie geh ich da weiter
> vor?
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Hm, das kann ich nicht nachvollziehe:
wenn ich für [mm] x=-\pi [/mm] +2 einsetze, habe ich doch:
[mm] (-\pi+2+\pi)^n= 2^n [/mm] oder nicht.. ?
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Hallo syoss!
Das stimmt schon so ... aber Du musst es auch in die entsprechenden Reihe einsetzen und zusammenfassen / kürzen.
Damit erhältst Du dann Fred's Ausdruck.
Gruß vom
Roadrunner
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Oh, das habe ich total übersehen.
Okay dann komme ich auf Freds ausdruck.
Dann habe ich die Reihe für
[mm] x=-\pi-2 [/mm] betrachtet und bin auf folgendes gekommen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} -\bruch{(-1)^n}{n^2}
[/mm]
da die Reihe [mm] \summe \bruch{1}{n^2} [/mm] absolut konvergiert, konvergieren beide Reihen und die Potenzreihe für:
x [mm] \in [-\pi+2 [/mm] , [mm] -\pi-2]
[/mm]
so fertig ? bzw. richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Do 13.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Oh, das habe ich total übersehen.
>
> Okay dann komme ich auf Freds ausdruck.
>
> Dann habe ich die Reihe für
>
> [mm]x=-\pi-2[/mm] betrachtet und bin auf folgendes gekommen:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} -\bruch{(-1)^n}{n^2}[/mm]
Das stimmt nicht. Man kommt auf
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}[/mm]
>
> da die Reihe [mm]\summe \bruch{1}{n^2}[/mm] absolut konvergiert,
> konvergieren beide Reihen und die Potenzreihe für:
>
> x [mm]\in [-\pi+2[/mm] , [mm]-\pi-2][/mm]
Das stimmt dennoch !
FRED
>
>
> so fertig ? bzw. richtig?
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Ehmm, also nochmal:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2^n n^2} (-\pi-2+\pi)
[/mm]
wird das jetzt zu :
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-2)^n}{2^n n^2}
[/mm]
aber [mm] (-2)^n [/mm] und [mm] 2^n [/mm] darf man doch nicht kürzen , oder nicht?
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Hallo nochmal,
> Ehmm, also nochmal:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2^n n^2} (-\pi-2+\pi)^{\red{n}}[/mm]
"hoch n" fehlte!
>
> wird das jetzt zu :
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-2)^n}{2^n n^2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wohin ist das vordere [mm](-1)^n[/mm] verschwunden?
Du bekommst [mm]\frac{(-1)^n}{2^n\cdot{}n^2}\cdot{}\blue{(-2)^n}=\frac{(-1)^n\cdot{}\blue{(-1)^n\cdot{}2^n}}{2^n\cdot{}n^2}[/mm]
Und [mm](-1)^n\cdot{}(-1)^n=\big[ \ (-1)\cdot{}(-1) \ \big]^n=1^n=1[/mm]
>
> aber [mm](-2)^n[/mm] und [mm]2^n[/mm] darf man doch nicht kürzen , oder
> nicht?
Doch schon: zu [mm](-1)^n[/mm], denn [mm](-2)^n=(-1)^n\cdot{}2^n[/mm]
Gruß
schachuzipus
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