Frage Schreibweise < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Sa 29.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo.
Und zwar geht es um eine Schreibweise bzgl. Reihen.
Angenommen, ich hätte eine Partialsumme einer Reihe
[mm] \summe_{k=c}^{n} a_{k} [/mm] gegeben
Wenn ich nun schreibe n [mm] \in \IZ_{c}
[/mm]
Was bedeutet [mm] \IZ_{c}? [/mm]
Ich weiß. Ist kleinlich, wenn ich sowas frage, aber interessiert mich irgendwie. danke schonmal.
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Ich verstehe deine Frage nicht ganz: Eine Partialsumme bezeichnet man doch meistens als [mm] (S_{N})_{N\in\IN}? [/mm] Was meinst du genau?
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:29 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Theoretix,
> Ich verstehe deine Frage nicht ganz: Eine Partialsumme
> bezeichnet man doch meistens als [mm](S_{N})_{N\in\IN}?[/mm] Was
> meinst du genau?
das stimmt so nicht ganz. Z.B. kann man, wenn man eine Folge der Art
[mm] $$(a_k)_{k=c}^\infty$$
[/mm]
hat (d.h. man hat [mm] $a_k$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $k [mm] \ge [/mm] c$), durchaus auch sagen, dass man mit [mm] $\sum_{k=c}^\infty a_k$ [/mm] die Folge [mm] $(S_N)_{N=c}^\infty$ [/mm] der Partialsummen mit
[mm] $$S_N:=\sum_{k=c}^N a_k \text{ fuer alle }N \in \IZ \text{ mit }N \ge [/mm] c$$
bezeichnet.
Natürlich passt das dann nicht direkt zu den Definitionen, wenn man Folgen als Abbildungen [mm] $\IN \to [/mm] M$ mit einer nichtleeren Menge [mm] $M\,$ [/mm] auffasst, aber dadurch, dass man quasi durch eine "einfache Indexverschiebung" arbeiten kann, kann man auch derartiges so auffassen.
Also: Aus [mm] $(a_k)_{k=c}^\infty$ [/mm] erkennt man, dass man eigentlich eine Abbildung $a: [mm] \IZ_{\ge c} \to [/mm] M$ hat. Bezeichnen wir nun mit [mm] $\IN$ [/mm] die Menge der natürlichen Zahlen INKLUSIVE [mm] $0\,,$ [/mm] also $0 [mm] \in \IN\,,$ [/mm] so können wir anstatt
$$a: [mm] \IZ_{\ge c} \to [/mm] M$$
einfach die Folge [mm] $(\tilde{a}_k)_{k=0}^\infty\,,$ [/mm] d.h. [mm] $\tilde{a}: \IN \to M\,,$ [/mm] definiert durch
[mm] $$\tilde{a}_k=\tilde{a}(k):=a(k+c)=a_{k+c}\;(k \in \IN)$$
[/mm]
betrachten. Für diese kann man dann eine entsprechende Folge der Partialsummen [mm] $(\tilde{S}_n)_{N=0}^\infty$ [/mm] betrachten und durch "Indexrückverschiebung" gelangt man dann zu obiger Folge der Partialsummen [mm] $(S_N)_{N=c}^\infty\,.$
[/mm]
P.S.:
Ich finde es daher generell auch nicht verkehrt, zu sagen, dass man unter einer Folge eben nicht eine Abbildung [mm] $\IN \to [/mm] irgendwohin$ versteht, sondern eine Abbildung
[mm] $$\IZ_{ \ge c} \to [/mm] irgendwohin$$
mit einem $c [mm] \in \IZ\,.$ [/mm] Weil aber eh [mm] $\IN$ [/mm] gleichmächtig zu jeder Menge [mm] $\IZ_{\ge c}$ [/mm] ist (wobei eine solche Bijektion auch unter Erhaltung der "Ordnungsstruktur" gewählt werden kann - nämlich einfach der entsprechende "Indexshift" - damit meine ich etwa: das dritte Folgenglied bei [mm] $(a_k)_{k=c}^\infty$ [/mm] entspricht auch dem dritten Folgenglied der "geshifteten" Folge [mm] $(\tilde{a}_k)_{k=0}^\infty$ [/mm] etc. pp.), ist das eigentlich auch egal. Nur die Definition "sähe dann erstmal etwas allgemeiner aus".
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Sax |
Hi,
man trifft ja oft auf die abenteuerlichsten Schreibweisen.
Vielleicht ist damit [mm] \IZ_c [/mm] = { z [mm] \in \IZ [/mm] | z [mm] \ge [/mm] c } gemeint ?
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
also normalerweise ist [mm] $\IZ_c [/mm] = [mm] \{0,\ldots,c-1\}$, [/mm] halt die Restklasse zu c 
MFG,
Gono.
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> Hallo.
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> Und zwar geht es um eine Schreibweise bzgl. Reihen.
>
> Angenommen, ich hätte eine Partialsumme einer Reihe
>
> [mm]\summe_{k=c}^{n} a_{k}[/mm] gegeben
>
> Wenn ich nun schreibe n [mm]\in \IZ_{c}[/mm]
>
> Was bedeutet [mm]\IZ_{c}?[/mm]
>
> Ich weiß. Ist kleinlich, wenn ich sowas frage, aber
> interessiert mich irgendwie. danke schonmal.
Hallo,
zuerst zu deiner Schlussbemerkung: eine gewisse
Pingeligkeit ist bei mathematischen Schreibweisen
keineswegs als Untugend zu betrachten. Wer in
Mathematik klar denkt, schreibt auch entsprechend
klar.
Aber dann die Frage: woher hast du denn die
Schreibweise [mm] \IZ_c [/mm] überhaupt ? Was damit gemeint
war, solltest du dort nachfragen, nicht bei uns.
Nur zur Information: [mm] \IZ_n [/mm] (mit [mm] n\in\IN) [/mm] dient in der
Algebra zum Beispiel als Bezeichnung für den
![[]](/images/popup.gif) Restklassenring der ganzen Zahlen modulo n .
Dies ist aber im Zusammenhang deiner Summen-
bildung wohl eher nicht gemeint.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Sa 29.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..danke für alle Antworten. Ich hab das in einem Buch gelesen, aber diese Schreibweise wird da nicht erklärt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo.
>
> Und zwar geht es um eine Schreibweise bzgl. Reihen.
>
> Angenommen, ich hätte eine Partialsumme einer Reihe
>
> [mm]\summe_{k=c}^{n} a_{k}[/mm] gegeben
>
> Wenn ich nun schreibe n [mm]\in \IZ_{c}[/mm]
>
> Was bedeutet [mm]\IZ_{c}?[/mm]
>
> Ich weiß. Ist kleinlich, wenn ich sowas frage, aber
> interessiert mich irgendwie. danke schonmal.
also meines Erachtens wird hier mit [mm] $\IZ_c$ [/mm] logischerweise wirklich
[mm] $$\IZ_c:=\{k \in \IZ: k \ge c\}$$
[/mm]
bezeichnet, wobei ich dafür
[mm] $$\IZ_{ \ge c}:=\{k \in \IZ: k \ge c\}$$
[/mm]
schreiben würde (eben aus oben erwähnten "Verwechslungsgefahren").
Der Grund liegt einfach darin:
Wenn man von einer Reihe [mm] $\sum_{k=c}^\infty a_k$ [/mm] spricht, so meint man zunächst damit einfach deren Folge [mm] $(S_N)_{N \in \IZ_{\ge c}}$ [/mm] mit
[mm] $$S_N:=\sum_{k=c}^N a_k \text{ fuer alle }N \in \IZ \text{ mit }N \ge c\,,$$
[/mm]
und um dabei dieses "für alle $N [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $N [mm] \ge [/mm] c$" abzukürzen, charakterisiert man dieses eben durch die Menge
[mm] $$\IZ_{ \ge c}:=\{m \in \IZ: m \ge c\}\,.$$
[/mm]
[mm] $\text{(}$Eine [/mm] einfache Weise, dies zu umgehen, wäre es, einfach zu schreiben:
[mm] $${\left(S_N\right)}\limits_{N=c}^\infty$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$\left(\sum_{k=c}^N a_k\right)_{N=c}^\infty\,.\text{)}$$
[/mm]
Eine wirklich präzise Antwort kann Dir aber wirklich nur der Autor geben, wie er diese Menge [mm] $\IZ_c$ [/mm] definiert hat. Ich finde die Bezeichnungsweise hier dann zwar auch etwas "unglücklich", aber manchmal wird - entgegen dem Wissen, dass dieses Symbol auch woanders mit einer anderen Bedeutung genutzt wird - ein derartiges Symbol entweder aus Faulheit dann mit einer neuen Definition belegt, oder aber man belegt es mit einer neuen Definition, weil man dann damit manches "einfacher Rechnen kann".
Ein weiterer Grund, warum ich meine, dass bei
[mm] $$\sum_{k=c}^n a_k$$
[/mm]
mit $n [mm] \in \IZ_c$ [/mm] die Menge [mm] $\IZ_c$ [/mm] sicher [mm] $=\IZ_{\ge c}:=\{m \in \IZ: m \ge c\}$ [/mm] bezeichnet:
Ist $n [mm] \in \IZ$ [/mm] und $n < [mm] c\,,$ [/mm] so ist definitionsgemäß
[mm] $$\sum_{k=c}^n a_k=0\,,$$
[/mm]
weil man vereinbart hat
[mm] $$\sum_{k \in \emptyset}a_k:=0\,.$$
[/mm]
P.S.:
Eine Angabe der Literaturquelle (Buchtitel, Autor, Verlag, etc.), oder aber eine nähere Angabe, in welchem Zusammenhang [mm] $\IZ_c$ [/mm] da verwendet wird (z.B. kannst Du ja evtl. einen kleinen Abschnitt des Buches abschreiben, wo es verwendet wird), kann durchaus auch dazu beitragen, ohne bei dem Autor direkt nachzufragen, hier die Bedeutung dieses Zeichens zu klären.
Gruß,
Marcel
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